《新坐标》高考数学(文山东)二轮复习课件：第2部分-专题2 三角函数与平面向量
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＋cos
α)2.
【推荐理由】 该题较好的考查了同角三角函数的基本关系，以及切化弦 的思想．
习题推荐 2 证明：对于任意的 a、b、c、d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
【推荐理由】 该题实际上是柯西不等式的二维形式，在解决最值时，可 收到较好的效果．
A＝2sin
3 Acos
A.
∵A 为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝ 23.
π
π
又 0＜A＜π，∴A＝ 6 ，∴B＝2A＝ 3 .
π ∴C＝π－A－B＝ 2 ，∴△ABC 为直角三角形．
由勾股定理得 c＝ 12＋（ 3）2＝2. 【答案】 B
【真题探源】 (2013·北京高考，理 15)在△ABC 中，a＝3，b＝2 6，∠B ＝2∠A，
A．向左平移π12个单位
B．向右平移π12个单位
π C．向左平移 3 个单位
π D．向右平移 3 个单位
【解析】 根据三角函数图象的变换关系求解．
由
y＝sin4x－π3 ＝sin
4x－π12得，只需将
y＝sin
4x
π 的图象向右平移12个单
位即可，故选 B.
【答案】 B
【真题探源】 (2014·四川高考，理 3)为了得到函数 y＝sin(2x＋1)的图象， 只需把函数 y＝sin 2x 的图象上所有的点( )
x，A2cos
2x(A>0)，函数
f(x)＝m·n
的最大值为
6.
(1)求 A；
π (2)将函数 y＝f(x)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标
缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在0，52π4 上 的值域．
【点评】 对照两题我们可以看出：2014 年山东高考理科第 16 题与 2012 年山东高考理科第 17 题命题角度完全一致，均以向量为切入点，考查三角恒等 变换及三角函数的图象与性质，姊妹题．
命题角度 3 解三角形
【真题示例 3】 (2013·山东高考，文 7)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c.若 B＝2A，a＝1，b＝ 3，则 c＝( )
A．2 3
B．2
C. 2
D．1
【解析】 由正弦定理得：sina A＝sinb B，∵B＝2A，a＝1，b＝ 3，
∴sin1
【解】 (1)由题意知 f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
因为 y＝f(x)的图象过点π12， 3和2π3 ，－2，
所以
3＝msin
－2＝msin
π6＋ncos
π 6，
4π3 ＋ncos 4π3 ，
即－32＝＝12－m＋23m23－n，12n，解得mn＝＝1. 3，
(2)由(1)知 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6 . 由题意知 g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6 . 设 y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)， 由题意知 x20＋1＝1，所以 x0＝0， 即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)． 将其代入 y＝g(x)得 sin2φ＋π6 ＝1， 因为 0<φ<π，所以 φ＝π6 ，
习题推荐 5 已知函数 f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x∈0，π2 时，求 f(x) 的最小值以及取得最 小值时 x 的集合．
A．向左平行移动12个单位长度 B．向右平行移动12个单位长度 C．向左平行移动 1 个单位长度 D．向右平行移动 1 个单位长度
【点评】 对照两题我们可以看出：2015 年山东高考理科第 3 题、文科第 4 题与 2014 年四川高考理科第 3 题命题背景完全一致，只是改变了题目数据， 姊妹题．
命题角度 2 三角函数的性质与平面向量、三角恒等变换交汇 【真题示例 2】 (2014·山东高考，理 16)已知向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y＝f(x)的图象过点π12， 3和点2π3 ，－2. (1)求 m，n 的值； (2)将 y＝f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y＝g(x)的图象， 若 y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递 增区间．
(1)求 cos A 的值； (2)求 c 的值． 【点评】 对照两题我们可以看出：2013 年山东高考文科第 7 题与 2013 年 北京高考理科第 15 题几乎相同，只是变换了题目数据而已，姊妹题．
习题推荐 1
已知 tan α＝3，计算：
(1)4sin 5cos
α－2cos α＋3sin
αα；(2)sin
真
教
题 研
专题 2 三角函数与平面向量
材 回
究
访
对历年的高考试题进行再加工、改造，并赋予新意是高考命题的一个手段.
命题角度 1 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
【真题示例 1】 (2015·山东高考，理 3，文 4)要得到函数 y＝sin4x－π3 的
图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象( )
习题推荐 3 如图 2-1，在圆 C 中，是不是只需知道圆 C 的半径或弦 AB 的长度，就可 以求A→B·A→C的值？
图 2-1
【推荐理由】 该题以向量的数量积为载体考查圆的几何性质及数量积的 几何意义，颇为经典．
习题推荐 4 观察以下各等式： sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3，
4 sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3，
4 sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3.
4 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确 性作出证明．
【推荐理由】 该题以三角恒等变换为载体，融推理证明与其中，体现了 特殊与一般的关系．
因此 g(x)＝2sin2x＋π2 ＝2cos 2x. 由 2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z 得
π kπ－ 2 ≤x≤kπ，k∈Z， 所以函数 y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2 ，kπ，k∈Z.
【真题探源】 (2012·山东高考，理 17)已知向量 m＝(sin x，1)，n＝
3Acos
α)2.
【推荐理由】 该题较好的考查了同角三角函数的基本关系，以及切化弦 的思想．
习题推荐 2 证明：对于任意的 a、b、c、d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
【推荐理由】 该题实际上是柯西不等式的二维形式，在解决最值时，可 收到较好的效果．
A＝2sin
3 Acos
A.
∵A 为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝ 23.
π
π
又 0＜A＜π，∴A＝ 6 ，∴B＝2A＝ 3 .
π ∴C＝π－A－B＝ 2 ，∴△ABC 为直角三角形．
由勾股定理得 c＝ 12＋（ 3）2＝2. 【答案】 B
【真题探源】 (2013·北京高考，理 15)在△ABC 中，a＝3，b＝2 6，∠B ＝2∠A，
A．向左平移π12个单位
B．向右平移π12个单位
π C．向左平移 3 个单位
π D．向右平移 3 个单位
【解析】 根据三角函数图象的变换关系求解．
由
y＝sin4x－π3 ＝sin
4x－π12得，只需将
y＝sin
4x
π 的图象向右平移12个单
位即可，故选 B.
【答案】 B
【真题探源】 (2014·四川高考，理 3)为了得到函数 y＝sin(2x＋1)的图象， 只需把函数 y＝sin 2x 的图象上所有的点( )
x，A2cos
2x(A>0)，函数
f(x)＝m·n
的最大值为
6.
(1)求 A；
π (2)将函数 y＝f(x)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标
缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在0，52π4 上 的值域．
【点评】 对照两题我们可以看出：2014 年山东高考理科第 16 题与 2012 年山东高考理科第 17 题命题角度完全一致，均以向量为切入点，考查三角恒等 变换及三角函数的图象与性质，姊妹题．
命题角度 3 解三角形
【真题示例 3】 (2013·山东高考，文 7)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c.若 B＝2A，a＝1，b＝ 3，则 c＝( )
A．2 3
B．2
C. 2
D．1
【解析】 由正弦定理得：sina A＝sinb B，∵B＝2A，a＝1，b＝ 3，
∴sin1
【解】 (1)由题意知 f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
因为 y＝f(x)的图象过点π12， 3和2π3 ，－2，
所以
3＝msin
－2＝msin
π6＋ncos
π 6，
4π3 ＋ncos 4π3 ，
即－32＝＝12－m＋23m23－n，12n，解得mn＝＝1. 3，
(2)由(1)知 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6 . 由题意知 g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6 . 设 y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)， 由题意知 x20＋1＝1，所以 x0＝0， 即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)． 将其代入 y＝g(x)得 sin2φ＋π6 ＝1， 因为 0<φ<π，所以 φ＝π6 ，
习题推荐 5 已知函数 f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x∈0，π2 时，求 f(x) 的最小值以及取得最 小值时 x 的集合．
A．向左平行移动12个单位长度 B．向右平行移动12个单位长度 C．向左平行移动 1 个单位长度 D．向右平行移动 1 个单位长度
【点评】 对照两题我们可以看出：2015 年山东高考理科第 3 题、文科第 4 题与 2014 年四川高考理科第 3 题命题背景完全一致，只是改变了题目数据， 姊妹题．
命题角度 2 三角函数的性质与平面向量、三角恒等变换交汇 【真题示例 2】 (2014·山东高考，理 16)已知向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y＝f(x)的图象过点π12， 3和点2π3 ，－2. (1)求 m，n 的值； (2)将 y＝f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y＝g(x)的图象， 若 y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递 增区间．
(1)求 cos A 的值； (2)求 c 的值． 【点评】 对照两题我们可以看出：2013 年山东高考文科第 7 题与 2013 年 北京高考理科第 15 题几乎相同，只是变换了题目数据而已，姊妹题．
习题推荐 1
已知 tan α＝3，计算：
(1)4sin 5cos
α－2cos α＋3sin
αα；(2)sin
真
教
题 研
专题 2 三角函数与平面向量
材 回
究
访
对历年的高考试题进行再加工、改造，并赋予新意是高考命题的一个手段.
命题角度 1 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
【真题示例 1】 (2015·山东高考，理 3，文 4)要得到函数 y＝sin4x－π3 的
图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象( )
习题推荐 3 如图 2-1，在圆 C 中，是不是只需知道圆 C 的半径或弦 AB 的长度，就可 以求A→B·A→C的值？
图 2-1
【推荐理由】 该题以向量的数量积为载体考查圆的几何性质及数量积的 几何意义，颇为经典．
习题推荐 4 观察以下各等式： sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3，
4 sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3，
4 sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3.
4 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确 性作出证明．
【推荐理由】 该题以三角恒等变换为载体，融推理证明与其中，体现了 特殊与一般的关系．
因此 g(x)＝2sin2x＋π2 ＝2cos 2x. 由 2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z 得
π kπ－ 2 ≤x≤kπ，k∈Z， 所以函数 y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2 ，kπ，k∈Z.
【真题探源】 (2012·山东高考，理 17)已知向量 m＝(sin x，1)，n＝
3Acos