高中数学必修四教案-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(11)-人教A版

正弦函数、余弦函数的图象和性质
【教学目标】
1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法。

【教学重点】
正、余弦函数的性质
【教学难点】
正、余弦函数性质的理解与应用
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习引入：
1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0，0) (2π，1) (π，0) (23π，-1) (2π，0)
余弦函数y=cosx x ∈[0，2π]的五个点关键是 (0，1) (2π，0) (π，-1) (23π，0) (2π，1)
3．定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sinx ，x ∈R y ＝cosx ，x ∈R
4．值域
正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx ，x ∈R
（1）当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1
（2）当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1
而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R
（1）当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1
（2）当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1
5．周期性 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

6．奇偶性
y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数
正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称
7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2
π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2
π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。

二、讲解范例：
例1 求函数y ＝sin 21x -π的单调增区间 误解：令ｕ＝21x -π
∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z)上递增
∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π
解得－4k ≤x ≤－4k ＋2
∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝2
1x -π，忽视了ｕ是x 的减函数，未考虑复合后单调性的变化。

正解如下： 解法一：令ｕ＝2
1x -π，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π＋2
π，2k π＋23π］(k ∈Z)上为减函数， ∴原函数在［2k π＋2
π，2k π＋23π］(k ∈Z)上递增 设2k π＋2
π≤21x -π≤2k π＋23π 解得－4k －2≤x ≤－4k(k ∈Z)
∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z)上单调递增
解法二：将原函数变形为y ＝－sin 2
1-x π 因此只需求sin 2
1-x π＝y 的减区间即可 ∵ｕ＝2
1-x π为增函数 ∴只需求sin ｕ的递减区间
∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π 解之得：4k+2≤x ≤4k+4(k ∈Z)
∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z)
一、利用三角函数的有界性
利用三角函数的有界性如｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1来求三角函数的最值。

A ．b 是不相等的正数
求y ＝x b x a x b x a 2222cos sin sin cos +++的最大值和最小值
解：y 是正值，故使y2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小)
y2＝acos2x ＋bsin2x ＋2x b x a 22sin cos +·x b x a 22cos sin +＋asin2x ＋bcos2x ＝a ＋b ＋x b a ab 2sin )(422-+
∵a ≠b ，(a －b)2＞0，0≤sin22x ≤1
∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z)时，y 有最大值)(2b a +；
当sinx ＝0时，即x ＝2
πk (k ∈Z)时，y 有最小值a ＋b 。

二、利用三角函数的增减性
如果f(x)在［α，β］上是增函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(β)，最小值f(α)；
如果f(x)在［α，β］上是减函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β)。

例3 在0≤x ≤2
π条件下，求y ＝cos2x －sinxcosx －3sin2x 的最大值和最小值。

解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有
y ＝22cos 1x +－2sin2x －3·2
2cos 1x -＝2(cos2x －sin2x)－1 ＝22 (cos2xcos 4π－sin2xsin 4
π)－1 ＝22cos(2x ＋4
π)－1 ∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4
π≤45π cos(2x ＋4π)在［0，8
3π）上是减函数 故当x ＝0时有最大值
22 当x ＝83π
时有最小值－1
cos(2x ＋
4π)在［83π，2π］上是增函数 故当x ＝83π
时，有最小值－1
当x ＝2π时，有最大值－2
2 综上所述，当x ＝0时，ymax ＝1 当x ＝83π
时，ymin ＝－22－1
三、换元法
利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解 例4求f(x)＝sin4x ＋2sin3xcosx ＋sin2xcos2x ＋2sinxcos3x ＋cos4x 的最大值和最小值
解：f(x)＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2xcos2x ＋2sinxcosx(sin2x ＋cos2x)＋sin2xcos2x=1＋2sinxcosx －sin2xcos2x 令ｔ＝2
1sin2x
∴－21≤ｔ≤2
1 ① f(ｔ)＝1＋2ｔ－ｔ2＝－(ｔ－1)2＋
2 ②
在①的范围内求②的最值 当ｔ＝21，即x ＝k π＋4
π(k ∈Z)时，f(x)max ＝47 当ｔ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z)时，f(x)min ＝－4
1 四、求三角函数最值时应注意的问题
三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：
1．注意sinx 、cosx 自身的范围
例5求函数y ＝cos2x －3sinx 的最大值。

解：y ＝cos2x －3sinx ＝－sin2x －3sinx ＋1＝－(sinx ＋
23)2＋413 ∵－1≤sinx ≤1，
∴当sinx ＝－1时，ymax ＝3
说明：解此题易忽视sinx ∈［－1，1］这一范围，认为sinx ＝－
23时，y 有最大值413，造成误解。

2．注意条件中角的范围
例6已知｜x ｜≤4
π，求函数y ＝cos2x ＋sinx 的最小值 解：y ＝－sin2x ＋sinx ＋1＝－(sinx －21)2＋4
5 ∵－4π≤x ≤4
π ∴－22≤sinx ≤2
2 ∴当sinx ＝－
22时 ymin ＝－(－2
2－21)2＋45＝221- 说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4
π，使本题正确求解，否则认为sinx ＝－1时y 有最小值，产生误解。

3．注意题中字母(参数)的讨论
例7求函数y ＝sin2x ＋acosx ＋85a －23(0≤x ≤2 )的最大值。

解：∵y ＝1－cos2x ＋acosx ＋85a －23＝－(cosx －2a )2＋4
2
a ＋85a －21
∴当0≤a ≤2时，cosx ＝2a ，ymax ＝42
a ＋85a －21
当a ＞2时，cosx ＝1，ymax ＝813a －23
当a ＜0时，cosx ＝0，ymax ＝85a －21 说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cosx ＝2a 时，y 有最大值会产生误解
4．注意代换后参数的等价性
四、小结
三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.。