三角变换的常用方法

三角变换的常用方法
一、角的变换
根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，化异角为同角；化复角为单角，使已知角与结合角互相沟通。

例1. 已知，求的值。

分析：由于
，所以
，
得
由有意义，则，相除得。

例2. 若
，求的值。

分析：，所以，又，则
，
所以
且易得，，而原式代入化简
得原式。

二、名的变换
即变不同函数名称为同名函数，通常是切割化弦或弦化切。

例3. 不查表求值
解：原式
例4. 已知，求的值。

分析：因为（否则），所以，即，又。

，则原式。

三、幂的变换
对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，对化简根式问题应采用升幂的方法。

例5. 求函数
的最大值和最小值。

分析：由于
（其中）易知y的最大值为，最小值为。

例6. 已知，化简。

分析：因为，所以，所以
，
又原式
四、公式变形
运用三角公式或将三角公式变形后再运用可获简解，如
例7. 不查表求值。

分析：因为
，
所以原式
例8. 已知是方程的两根，求的值。

分析：由韦达定理知
，
由如上变形公式得
，所以。

五、常数代换
将常数值转化为三角函数值，有时能起到特殊的效果。

如
等。

例9. 不查表求值的值。

解：原式
六、配方变形
根据给出式的结构，若平方项较多，用配方法可获佳解。

例10. 化简
分析：观察给出式的形式，采用配方法，原式。

七、消元变形
考察题目的结构，如题设部分含有的角在结论中没有出现，可考虑用消元法。

例11. 已知锐角满足
，求的值。

分析：由于
，平方法消元消去，得，
所以，又、为锐角且，所以，所以。

八、平方变形
若给出二式是两单角形式，而欲求两角和或差，可考虑二式平方后相加（减）。

例12. 已知
，求的值。

简解：因为①
②
得，所以。

得
，即
，将代入得。