X射线的衍射原理ppt课件
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另外，从上述三式还能看出，衍射线束 的方向与原子在晶胞中的位置和原子种 类无关，只有通过衍射线束强度的研究， 才能解决这类问题。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
7）衍射的限制条件
由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因
| sin | ≤1 ，故n / 2d = | sin | ≤1 。
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1） X射线衍射的几何条件
X射线衍射花样有两方面信息：
衍射方向－－晶胞形状，尺寸
衍射强度－－原子种类，原子位置
衍射几何——衍射线在空间的分布规律， 是由晶胞的大小、形状决定的。
衍射强度——取决于原子的种类及原子 在晶胞中的位置。
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1） X射线衍射的几何条件
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的 各种问题，必须在衍射现象与晶体结构之 间建立起定性和定量的关系，这是x射线衍 射理论要解决的中心问题。
衍射线束的方向可以用布拉格定律来描述
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1） X射线衍射的几何条件
（a）一个晶面的反射；
（b）相邻晶面的反射
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光学反射定律与晶面反射
3.1.7 常见的衍射方程
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3
3.1.1 劳埃方程
一维点阵的情况：
a (cos - cos 0) = h
a 是点阵列重复周期， 0为入射线与点阵列所成的角度；
为衍射方向与点阵列所成的精角选版课度件pp，t h为任意整数
4
3.1.1 劳埃方程
对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件： a (cos - cos 0) = h b (cos - cos 0) = k c (cos - cos 0) = l
强。与可见光的反射定律类似，X 射线从一层原子面呈镜面
反射的方向，就是散射线干涉加强的方向。因此，常将这种
散射称为从晶面反射。
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1） X射线衍射的几何条件
X 射线有强的穿透能力， 在X 射线作用下晶体的散 射线来自若干层原子面， 除同一层原子面的散射线 相互干涉外，各原子面的 散射线之间还要互相干涉。
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3.1.7 常见的衍射方法
1）劳埃法
采用连续X射线照射不动的单晶体，
其连续谱的波长从λ0(短波限)到 λm。
大球以B为中心，其半径为λ0的倒 数；小球以A为中心，其半径为λm 的倒数。在这两个球之间，以线段 AB上的点为中心有无限多个球，其 半径从(BO)连续变化到(AO)。凡是落 到这两个球面之间的区域的倒易结 点，均满足布拉格条件，它们将与 对应某一波长的反射球面相交而获 得衍射。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
2）产生衍射的方向有限
布拉格方程表达了反射线空间方位(θ)与 反射晶面面间距(d)及入射线方位(θ)和波 长(λ)的相互关系。
因为：Sinθ=nλ/ 2d（hkl）≤1 所以：n≤2d（hkl）/λ n即衍射级数 但：n≥1
即：波长一定，一组晶面衍射X射线的方 向有限。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
由于带有公因子n 的平面指标(nh nk nl)是一 组和(hkl)平行的平面，相邻两个平面的间距 d(nh nk nl)和相邻两个晶面的间距d(hkl)的关系 为：
d(nh nk nl)=1/n d(hkl)
2d（nh nk nl）Sinθ（nh nk nl）=λ 这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由
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3.1.3 布拉格方程的讨论
1）选择反射 布拉格方程描述了“选择反射”的规律。
产生“选择反射”的方向是各原子面反 射线干涉一致加强的方向，即满足布拉 格方程的方向。 原子面对X射线的反射只有当λ、θ和d三 者之间满足布拉格方程时才能发出反射， 所以把X射线的这种反射称为选择反射。
为使物理意义更清楚， 现考虑n＝1（即1级反射）的
情况，此时 ≤ 2d 。 ——产生衍射的限制条件。
它说明用波长为λ的x射线照射晶体时，晶体中只有面
间距d ≥ / 2 的晶面才能产生衍射。当波长λ大于
（或等于）晶面间距的两倍时，将没有衍射产生。 换言之，当晶面间距到了小于（或等于）λ/2的程度，
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布拉格方程最后简写为：
2dsinθ=λ
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3.1.3 布拉格方程的讨论
6）衍射线方向与晶体结构的关系
从 2dsin看出，波长选定之后，衍射
线束的方向（用hkl表示）是晶面间距d的函数。 如将立方、正方、斜方晶系的面间距公式代入 布拉格公式，并进行平方后得：
立方系 si2n2 H2K2L2 4a2
材料研究与测试方法
主讲人 董秀珍
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1
3 X射线的衍选版课件ppt
2
3.1 X射线衍射的方向
3.1.1 劳埃方程
3.1.2 布拉格方程
3.1.3 布拉格方程的讨论
3.1.4 衍射矢量方程
3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
3.1.6 布拉格方程的应用
b．衍射线来自晶体表面以下整个受照区 域中所有原子的散射贡献。可见光反射 仅发生在表面。
c．良好的平面镜对于可见光的反射率几
乎可达100％，而x射线衍射束的强度微
弱。衍射线强度通常比入射强度低。衍
射强度与晶体结构有关，有系统消光现
象。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
5）干涉面和干涉指数
衍射就终止了。这也就是为什么不能用可见光（波长 约为200―700nm）来研究晶体结构的原因。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
衍射矢量方程可以
用等腰矢量三角形
O
表达，它表示产生
衍射时，入射线方
O'
向矢量，衍射线方
向矢量和倒易矢量
之间的几何关系。 O
A1
A2
*
*
*
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当波长一定时，对指定的某一族平面点 阵(hkl)来说，n 数值不同，衍射的方向也
不同，n=1, 2, 3,……，相应的衍射角 为 1 , 2 , 3,……，而n=1, 2, 3 等衍射分别
为一级、二级、三级衍射。 为了区别不同的衍射方向， 常将布拉格
公式改写成。
2d (hkl) Sinθ /n=λ
该方程组即为Laue方程。h，k，l称为衍射指数。
, , , 0, 0, 0分别为散射光和入射光与三个点阵轴矢 的夹角。
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3.1.2 布拉格方程
X射线 —晶体 — 衍射—衍射花样 X 射线照射到晶体上产生的衍射花样除与
X 射线有关外，主要受晶体结构的影响。 晶体结构与衍射花样之间有一定的内在 联系。 通过衍射花样的分析就能测定晶体结构 和研究与结构相关的一系列问题。
首先考虑一层原子面上散射X 射线的干涉。当X 射
线以 角入射到原子面并以 角散射时，相距为a
的两原子散射X 射线的光程差为：
根据光的干涉原理，当光程差等于波长的整数倍（ n ）时，
在角散射方向干涉加强。假定原子面上所有原子的散射线
同位相，即光程差=0，从而可得 = 。也就是说，当入
射角与散射角相等时，一层原子面上所有散射波干涉将会加
25
3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
这种关系说明，要使（HKL）晶面发生
反射，入射线必须沿一定方向入射，以
保证反射线方向的矢量端点恰好落在倒
易矢量的端点上，即
S
的 端点应落在
HKL倒易点 上。
g
首先作晶体的倒易点阵，O为倒易原点。
入射线沿O’O方向入射，且令O’O
=S0/λ 。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
3）入射线照射各原子面产生的反射线实 质是各原子面产生的反射方向上的相 干散射线．而衍射线实质是各原子面 反射方向上散射线干涉一致加强的结 果。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
4） X射线的衍射与镜面反射的区别
a．在X射线衍射现象中，仅在一定数目 的投影角上产生衍射（n为有限个），而 当可见光反射时可选择任何投射角。
I a
A
b’
1 d
BC
2 d
D
3
h
I
1 2 3
B) 若确定d和，则衍射方向对应固 定的波长。
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1
2
3 34
3.1.6 布拉格方程的应用
（1）结构分析：已知 ，测角，计算d； （2）X射线谱分析：已知d 的晶体，测角，得 到特征辐射波长 ，莫塞莱定律确定元素，X射
线荧光分析的基础。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
晶体中每一个可
能产生反射的（HKL）
晶面均有各自的衍射 矢量三角形。可能产 生反射的晶面，其倒 易点必落在反射球上。 各衍射矢量三角形的 关系如图。
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X射线衍射的物理含义
S S0
gn
S S0
Gn*
k k0
Gn*
衍射实验是把晶体的周期分布，按倒易矢量（波数 矢量)分别显示给我们。当然一次实验只能显示一 部分，即与反射球相交的部分。通过衍射实验看晶 体结构，并不能看到按其空间分布的本来面目，而 只是看到按波矢量分类的各种波。所以在理解衍射 实验时，从波分布观点更能反映事物的本质。
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X射线衍射图
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32
衍射的物理意义
衍射是晶体的固有特性 衍射是散射波的叠加，是波动的特性 衍射的特点是能量守恒，动量不守恒
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3.1.6 布拉格方程的应用
2dsink(k1.2.3 )
A） 、 d确定，则在满足布拉格
方程条件的方向发生衍射。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
由此可见，当x射线沿O’O方向入射的 情况下，所有能发生反射的晶面，其倒易 点都应落在以O’为球心，以1/λ为半径的球 面上，从球心O’指向倒易点的方向是相应 晶面反射线的方向。
以上求衍射线方向的作图法称厄瓦尔 德图解，它是解释各种衍射花样的有力工 具。
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正方系 si2n42H2a2K2 cL22
斜方系
si2n42H a22精选版K b课2件2ppt cL22
22
3.1.3 布拉格方程的讨论
从三个公式可以看出，波长选定后，不 同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶 体，其衍射线束的方向不相同。因此， 研究衍射线束的方向，可以确定晶胞的 形状大小。
面间距为dHKL的（HKL）晶面的1级反射， （hkl)与（HKL）面互相平行。面间距为dHKL 的晶面不一定是晶体中的原子面，而是为了
简化布拉格公式而引入的反射面，常将它称
为干涉面。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
为简化起见，我们将晶面指数(nh nk nl) 改用衍射指数hkl，衍射指数hkl 不加括号， 晶面指数(hkl)带有括号；
干涉条件： 相等，相位 差固定，光程差等于波长 的整数倍（ n ） 假定原子面之间的晶面间 距为d（hkl）。
Б =DB+BF=2d sin=n
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2）Braag方程
2dsin = n
X射线的衍射线： 大量原 子散射波的叠加、干涉而 产生最大程度加强的光束。 ：入射线、反射线与反 射晶面之间的交角，称掠 射角或布拉格角、衍射半 角； n ：整数，反射级数； 这个公式把衍射方向、平 面点阵族的间距d(hkl)和 X 射线的波长λ 联系起来 了。
衍射指数不要求互质，可以有公因子， 晶面指数只能是互质的整数。
在数值上衍射指数为晶面指数的n倍。
例如晶面(110)由于它和入射X 射线的 取向不同，可以产生衍射指数为110、 220、330、……等面网的衍射。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
• 当干涉指数也互为质数时，它就代表 一组真实的晶面，因此，干涉指数为 晶面指数的推广，是广义的晶面指数。
• 干涉指数表示的晶面并不一定是晶体 中的真实原子面，即干涉指数表示的 晶面上不一定有原子分布。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
把衍射级数（n）隐函到晶面指数中， 成为带公因子的衍射指数（nhnknl）， 则布拉格方程可写为：
2dhklsinθ=λ 式中hkl 为衍射指数，d是hkl 所对应 的面间距。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
• 以0’为球心，以1/λ 为半径画一球，称反 射球。若球面与倒易 点B相交，连O’B则有 O’B-O’O =OB。
• O’O =OB=1/λ，故 △O’OB为与等腰三角 形等效，O’B是一衍 射线方向。
Sinθ=λ/2d=(1/d)/(2/λ)
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3.1.3 布拉格方程的讨论
7）衍射的限制条件
由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因
| sin | ≤1 ，故n / 2d = | sin | ≤1 。
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1） X射线衍射的几何条件
X射线衍射花样有两方面信息：
衍射方向－－晶胞形状，尺寸
衍射强度－－原子种类，原子位置
衍射几何——衍射线在空间的分布规律， 是由晶胞的大小、形状决定的。
衍射强度——取决于原子的种类及原子 在晶胞中的位置。
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1） X射线衍射的几何条件
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的 各种问题，必须在衍射现象与晶体结构之 间建立起定性和定量的关系，这是x射线衍 射理论要解决的中心问题。
衍射线束的方向可以用布拉格定律来描述
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1） X射线衍射的几何条件
（a）一个晶面的反射；
（b）相邻晶面的反射
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光学反射定律与晶面反射
3.1.7 常见的衍射方程
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3.1.1 劳埃方程
一维点阵的情况：
a (cos - cos 0) = h
a 是点阵列重复周期， 0为入射线与点阵列所成的角度；
为衍射方向与点阵列所成的精角选版课度件pp，t h为任意整数
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3.1.1 劳埃方程
对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件： a (cos - cos 0) = h b (cos - cos 0) = k c (cos - cos 0) = l
强。与可见光的反射定律类似，X 射线从一层原子面呈镜面
反射的方向，就是散射线干涉加强的方向。因此，常将这种
散射称为从晶面反射。
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1） X射线衍射的几何条件
X 射线有强的穿透能力， 在X 射线作用下晶体的散 射线来自若干层原子面， 除同一层原子面的散射线 相互干涉外，各原子面的 散射线之间还要互相干涉。
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3.1.7 常见的衍射方法
1）劳埃法
采用连续X射线照射不动的单晶体，
其连续谱的波长从λ0(短波限)到 λm。
大球以B为中心，其半径为λ0的倒 数；小球以A为中心，其半径为λm 的倒数。在这两个球之间，以线段 AB上的点为中心有无限多个球，其 半径从(BO)连续变化到(AO)。凡是落 到这两个球面之间的区域的倒易结 点，均满足布拉格条件，它们将与 对应某一波长的反射球面相交而获 得衍射。
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2）产生衍射的方向有限
布拉格方程表达了反射线空间方位(θ)与 反射晶面面间距(d)及入射线方位(θ)和波 长(λ)的相互关系。
因为：Sinθ=nλ/ 2d（hkl）≤1 所以：n≤2d（hkl）/λ n即衍射级数 但：n≥1
即：波长一定，一组晶面衍射X射线的方 向有限。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
由于带有公因子n 的平面指标(nh nk nl)是一 组和(hkl)平行的平面，相邻两个平面的间距 d(nh nk nl)和相邻两个晶面的间距d(hkl)的关系 为：
d(nh nk nl)=1/n d(hkl)
2d（nh nk nl）Sinθ（nh nk nl）=λ 这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由
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1）选择反射 布拉格方程描述了“选择反射”的规律。
产生“选择反射”的方向是各原子面反 射线干涉一致加强的方向，即满足布拉 格方程的方向。 原子面对X射线的反射只有当λ、θ和d三 者之间满足布拉格方程时才能发出反射， 所以把X射线的这种反射称为选择反射。
为使物理意义更清楚， 现考虑n＝1（即1级反射）的
情况，此时 ≤ 2d 。 ——产生衍射的限制条件。
它说明用波长为λ的x射线照射晶体时，晶体中只有面
间距d ≥ / 2 的晶面才能产生衍射。当波长λ大于
（或等于）晶面间距的两倍时，将没有衍射产生。 换言之，当晶面间距到了小于（或等于）λ/2的程度，
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布拉格方程最后简写为：
2dsinθ=λ
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6）衍射线方向与晶体结构的关系
从 2dsin看出，波长选定之后，衍射
线束的方向（用hkl表示）是晶面间距d的函数。 如将立方、正方、斜方晶系的面间距公式代入 布拉格公式，并进行平方后得：
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3.1 X射线衍射的方向
3.1.1 劳埃方程
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3.1.4 衍射矢量方程
3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
3.1.6 布拉格方程的应用
b．衍射线来自晶体表面以下整个受照区 域中所有原子的散射贡献。可见光反射 仅发生在表面。
c．良好的平面镜对于可见光的反射率几
乎可达100％，而x射线衍射束的强度微
弱。衍射线强度通常比入射强度低。衍
射强度与晶体结构有关，有系统消光现
象。
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5）干涉面和干涉指数
衍射就终止了。这也就是为什么不能用可见光（波长 约为200―700nm）来研究晶体结构的原因。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
衍射矢量方程可以
用等腰矢量三角形
O
表达，它表示产生
衍射时，入射线方
O'
向矢量，衍射线方
向矢量和倒易矢量
之间的几何关系。 O
A1
A2
*
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当波长一定时，对指定的某一族平面点 阵(hkl)来说，n 数值不同，衍射的方向也
不同，n=1, 2, 3,……，相应的衍射角 为 1 , 2 , 3,……，而n=1, 2, 3 等衍射分别
为一级、二级、三级衍射。 为了区别不同的衍射方向， 常将布拉格
公式改写成。
2d (hkl) Sinθ /n=λ
该方程组即为Laue方程。h，k，l称为衍射指数。
, , , 0, 0, 0分别为散射光和入射光与三个点阵轴矢 的夹角。
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3.1.2 布拉格方程
X射线 —晶体 — 衍射—衍射花样 X 射线照射到晶体上产生的衍射花样除与
X 射线有关外，主要受晶体结构的影响。 晶体结构与衍射花样之间有一定的内在 联系。 通过衍射花样的分析就能测定晶体结构 和研究与结构相关的一系列问题。
首先考虑一层原子面上散射X 射线的干涉。当X 射
线以 角入射到原子面并以 角散射时，相距为a
的两原子散射X 射线的光程差为：
根据光的干涉原理，当光程差等于波长的整数倍（ n ）时，
在角散射方向干涉加强。假定原子面上所有原子的散射线
同位相，即光程差=0，从而可得 = 。也就是说，当入
射角与散射角相等时，一层原子面上所有散射波干涉将会加
25
3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
这种关系说明，要使（HKL）晶面发生
反射，入射线必须沿一定方向入射，以
保证反射线方向的矢量端点恰好落在倒
易矢量的端点上，即
S
的 端点应落在
HKL倒易点 上。
g
首先作晶体的倒易点阵，O为倒易原点。
入射线沿O’O方向入射，且令O’O
=S0/λ 。
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3）入射线照射各原子面产生的反射线实 质是各原子面产生的反射方向上的相 干散射线．而衍射线实质是各原子面 反射方向上散射线干涉一致加强的结 果。
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4） X射线的衍射与镜面反射的区别
a．在X射线衍射现象中，仅在一定数目 的投影角上产生衍射（n为有限个），而 当可见光反射时可选择任何投射角。
I a
A
b’
1 d
BC
2 d
D
3
h
I
1 2 3
B) 若确定d和，则衍射方向对应固 定的波长。
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3.1.6 布拉格方程的应用
（1）结构分析：已知 ，测角，计算d； （2）X射线谱分析：已知d 的晶体，测角，得 到特征辐射波长 ，莫塞莱定律确定元素，X射
线荧光分析的基础。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
晶体中每一个可
能产生反射的（HKL）
晶面均有各自的衍射 矢量三角形。可能产 生反射的晶面，其倒 易点必落在反射球上。 各衍射矢量三角形的 关系如图。
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X射线衍射的物理含义
S S0
gn
S S0
Gn*
k k0
Gn*
衍射实验是把晶体的周期分布，按倒易矢量（波数 矢量)分别显示给我们。当然一次实验只能显示一 部分，即与反射球相交的部分。通过衍射实验看晶 体结构，并不能看到按其空间分布的本来面目，而 只是看到按波矢量分类的各种波。所以在理解衍射 实验时，从波分布观点更能反映事物的本质。
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X射线衍射图
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衍射的物理意义
衍射是晶体的固有特性 衍射是散射波的叠加，是波动的特性 衍射的特点是能量守恒，动量不守恒
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3.1.6 布拉格方程的应用
2dsink(k1.2.3 )
A） 、 d确定，则在满足布拉格
方程条件的方向发生衍射。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
由此可见，当x射线沿O’O方向入射的 情况下，所有能发生反射的晶面，其倒易 点都应落在以O’为球心，以1/λ为半径的球 面上，从球心O’指向倒易点的方向是相应 晶面反射线的方向。
以上求衍射线方向的作图法称厄瓦尔 德图解，它是解释各种衍射花样的有力工 具。
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斜方系
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3.1.3 布拉格方程的讨论
从三个公式可以看出，波长选定后，不 同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶 体，其衍射线束的方向不相同。因此， 研究衍射线束的方向，可以确定晶胞的 形状大小。
面间距为dHKL的（HKL）晶面的1级反射， （hkl)与（HKL）面互相平行。面间距为dHKL 的晶面不一定是晶体中的原子面，而是为了
简化布拉格公式而引入的反射面，常将它称
为干涉面。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
为简化起见，我们将晶面指数(nh nk nl) 改用衍射指数hkl，衍射指数hkl 不加括号， 晶面指数(hkl)带有括号；
干涉条件： 相等，相位 差固定，光程差等于波长 的整数倍（ n ） 假定原子面之间的晶面间 距为d（hkl）。
Б =DB+BF=2d sin=n
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2）Braag方程
2dsin = n
X射线的衍射线： 大量原 子散射波的叠加、干涉而 产生最大程度加强的光束。 ：入射线、反射线与反 射晶面之间的交角，称掠 射角或布拉格角、衍射半 角； n ：整数，反射级数； 这个公式把衍射方向、平 面点阵族的间距d(hkl)和 X 射线的波长λ 联系起来 了。
衍射指数不要求互质，可以有公因子， 晶面指数只能是互质的整数。
在数值上衍射指数为晶面指数的n倍。
例如晶面(110)由于它和入射X 射线的 取向不同，可以产生衍射指数为110、 220、330、……等面网的衍射。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
• 当干涉指数也互为质数时，它就代表 一组真实的晶面，因此，干涉指数为 晶面指数的推广，是广义的晶面指数。
• 干涉指数表示的晶面并不一定是晶体 中的真实原子面，即干涉指数表示的 晶面上不一定有原子分布。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
把衍射级数（n）隐函到晶面指数中， 成为带公因子的衍射指数（nhnknl）， 则布拉格方程可写为：
2dhklsinθ=λ 式中hkl 为衍射指数，d是hkl 所对应 的面间距。
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3.1.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解
• 以0’为球心，以1/λ 为半径画一球，称反 射球。若球面与倒易 点B相交，连O’B则有 O’B-O’O =OB。
• O’O =OB=1/λ，故 △O’OB为与等腰三角 形等效，O’B是一衍 射线方向。
Sinθ=λ/2d=(1/d)/(2/λ)
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