【解析】陕西省汉中市2020届高三第六次质量检测数学(文)试题

2020届高三第六次质量检测文科数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面向量()1,2a =-r ，()2,b m =r ，且//a b r r
，则m =（ ）
A. 4
B. 1
C. -1
D. -4
【答案】D 【分析】
利用平面向量共线定理即可得出．
【详解】解：Q ()1,2a =-r ，()2,b m =r ，且//a b r r ，
40m ∴+=，解得4m =-．
故选：D ．
【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.已知集合{}|13A x x =-<<，{}
2
|40B x Z x x =∈-<，则A B =I （ ）
A. {}|03x x <<
B. {}1,2,3
C. {}1,2
D.
{}2,3,4
【答案】C 【分析】
解不等式求出集合A 、B ，再求A B I ． 【详解】解：{
}
2
|40B x Z x x =∈-<Q
{}1,2,3B ∴=
{}|13A x x =-<<Q
{}1,2A B ∴=I
故选：C
【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，属于基础题． 3.设3443i z i
-=+，()2
1f x x x =-+，则()f z =（ ） A. i B. i -
C. 1i -+
D. 1i +
【答案】A 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解+析式求解． 【详解】解：3443i
z i
-=
+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴=
==-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 4.下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个
①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；②若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β；③平面α⊥平面β，且l αβ=I ，点A α∈，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A 【分析】
利用空间中线线、线面、面面间位置关系求解． 【详解】解：
①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α与β相交或平行，故①错误；
②若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β或m β⊂，故②错误；
③当点B 不在平面α内，满足AB l ⊥时，但AB 与β不垂直，故③错误； ④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β， 由面面垂直的性质得αβ⊥，故④正确． 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了空间想象能力，属于基础题． 5.下列说法错误的是( )
A. “若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”
B. “3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件
C. “2
x R,560x x ∀∈-+≠”的否定是“2000,560x R x x ∃∈-+=”
D. 命题：“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题 【答案】D
依题意，根据逆否命题的定义可知选项A 正确；由2560x x -+>得3x >或
2,x <∴“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题命题的否
是特称命题，所以C 正确；锐角ABC ∆中，02
2
2
A B A B π
π
π
+>
⇒
>>
->，
sin cos 2A sin B B π⎛⎫
∴>-= ⎪⎝⎭
，D ∴错误，故选D.
6.若()tan sin 2f x x =，则()1f -的值为（ ） A. sin 2- B. -1 C.
1
2
D. 1
【答案】B 【分析】
令tan 1x =-，利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式可得sin 2x 的值.
【详解】令tan 1x =-，则2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1
x x x
x x x x x x ===++，
故sin 21x =-. 故选B.
【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 7.若函数f(x)与g(x)＝2x -的图象关于直线y ＝x 对称，则f(4－x 2)的单调递增区间是( ) A. (－2,2] B. [0，＋∞) C. [0,2) D. (－∞，0]
【答案】C
【详解】由已知得：12
()log f x x =，则
212
2
()log (44)x x f =－－ 12
()log f x x =在()
0,∞+上单调递减，24y x =－，当0y >时，在[0,2)上单调递减，于是f(4－x 2)的单调递增区间是[0,2)
8.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在直线CC 1上，直线OP 与B 1D 1所成的角为α，则sin α为（ ）
A. 1
B.
C.
12
D. 变化的
值 【答案】A 【分析】
证明11B D ⊥平面11AAC C 得到11OP B D ⊥，计算得到答案.
【详解】易知：11111,B D AC BD AA ⊥⊥，1111A A AC A ⋂=，故11B D ⊥平面11AAC C ，
OP ⊆平面11AAC C ，故11OP B D ⊥，故,sin 12
π
αα=
=.
故选：A.
【点睛】本题考查了异面直线夹角，证明11B D ⊥平面11AAC C 是解题的关键.
9.已知()f x 是R 上的偶函数，若将()f x 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若()21f =-，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ） A. 2019 B. 1
C. -1
D. -2019
【答案】C 【分析】
由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由()21f =-求出(2)1f -=-，由奇函数的性质得出(1)0f -=，从而可得()10f =，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+的值． 【详解】解：由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，
()()f x f x ∴-=，(1)(1)f x f x --=--，①
(1)(1)f x f x ∴--=+，②
由①②得(1)(1)f x f x +=--③恒成立， (1)(3)f x f x ∴-=--④
由③④得(1)(3)f x f x +=-恒成立，
∴函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值
由于()f x 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即(01)0f -=，即(1)0f -=，由偶函数知()10f =，由周期性知()30f =
由()21f =-得(2)1f -=-，由(1)(1)f x f x +=--，知(0)1f =，故()41f =故有
()()()()12340f f f f ∴+++=
()()()()()()()()12320191230101f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=+-+=-
故选：C ．
【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，求解本题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一个周期中函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和．
10.设曲线()()
*
cos f x m x m R =∈上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，则函数
()2y x g x = 的部分图象可以为
A. B. C.
D.
【答案】D
∵()cos ()f x m x m R *=∈上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ∴()()sin g x f x m x =-'=
∴函数2
2
2
()()sin sin y x g x x m x mx x ==-=-，则该函数为奇函数，且当0x +→时，
0y <.
故选D.
点睛：（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向；（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负
转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量
大小关系.
11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则3
9121239
S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A. 1013 B. 1035
C. 2037
D. 2059
【答案】A 【分析】
根据1
1
12n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a ，求出前n 项和为n S ，即可得到21n n n S a =-，
再用分组求和求得其前9项和. 【详解】解：1n n a S +=Q 当1n =时111a S +=得112
a = 当2n ≥时111n n a S --+= ()110n n n n a S a S --∴+-+=
112
n n a a -∴=
数列{}n a 是以112
a =
为首项，1
2q =为公比的等比数列.
12n
n a ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
112n
n S ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
21n n
n
S a ∴
=- 29103
9121239
22292111013S S S S a a a a ∴
+++⋅⋅⋅+=++-=-=L 故选：A
【点睛】本题考查利用n S 求n a ，以及等比数列的前n 项和为n S ，属于基础题.
12.已知抛物线2
2y mx =与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>有相同的
焦点F ，P 是两曲线的公
共点，若56
m
PF =
，则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
22
- D.
1
2
【答案】D 【分析】
根据两个曲线的焦点相同,可得2
m c =.由抛物线定义可得22
23m y =.结合两式即可用c 表示出P 点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.
【详解】抛物线2
2y mx =与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>有相同的焦点F ,P 是两曲线的公
共点, 所以,02m F ⎛⎫
⎪⎝⎭
,即椭圆中的2m c =
设2,2y P y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,由抛物线定义可知222y m
PF m =+ 由题意56
m PF =,即25226y m m
m += 化简可得2
2
23
m y =
将2
m c =变形为2m c =代入等式可得22
83c y =
则P
的坐标可化为23c P ⎛ ⎝⎭
由点P 在椭圆上,代入可得22
22
2
22
48931
c c a b b a c
⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩,化简可得422443790c a c a -+= 除以4a 可化为4243790e e -+=即()()
22
4190e e --=
解得2
1
4
e =
或29e = 因为()0,1e ∈ 所以12
e = 故选:D
【点睛】本题考查了抛物线与椭圆标准方程及性质的综合应用,共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.
13.抛物线22x y =-的准线方程是____________
【答案】18
x = 【分析】
先将抛物线方程化为标准方程，即可求解.
【详解】由2
2x y =-，所以2
12y x =-
，故准线方程为18
x =. 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.
14.若x y z R ∈、、，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______. 【答案】4 【分析】
由条件利用柯西不等式可得222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=…
，由此求得222x y z ++ 的最小值．
【详解】解：由于222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=…
， 即2229()36x y z ++…，2224x y z ∴++…，即222x y z ++ 的最小值为4， 故答案为：4．
【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．
15.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x
f x
g x x +=+，
则()2log 3f =______. 【答案】5
3
【分析】
根据函数奇偶性定义,并令x x =-代入即可解方程组求得()f x .将2log 3代入解+析式即可求解.
【详解】函数()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数 则()()f x f x =-,()()g x g x =--
因为()()2x
f x
g x x +=+
则()()2
x
f x
g x x --+-=-,即()()2x f x g x x --=-
则()222
x x
f x -+=
所以
()22log 3
log 3
21
32
2532
23
log 3f -++=
==
故答案为:
53
【点睛】本题考查了函数奇偶性定义及性质应用,函数解+析式的求法,属于基础题. 16.定义在区间()0,2上的函数()2
1f x x x t =-+-恰有1个零点，则实数t 的取值范围是
____
【答案】11t -<≤或5
4
t = 【分析】
分为函数()f x 有一个点零点和两个零点分类讨论，若()f x 一个点零点则0∆=，若()f x 有两个零点，再分为三种情况求解.
【详解】（1）若函数()f x 只有一个零点，则14(1)0t ∆=--=，即54
t =
， 此时()2
21142f x x x x ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
，函数只有一个零点12，符合题意；
（2）若函数()f x 有两个零点，且在区间()0,2恰有1个零点，
则()()020f f <或()()0020f f ⎧=⎪⎨>⎪⎩或()()00
20f f ⎧>⎪⎨=⎪⎩
，
由()()020f f <得()()110t t -+<，解得11t -<<，
由()()0020f f ⎧=⎪⎨>⎪⎩得10
10t t -=⎧⎨
+>⎩ ，解得1t = ， 由()()0020f f ⎧>⎪⎨=⎪⎩
得1010t t ->⎧⎨+=⎩，无解.
所以，当11t -<≤时，函数()f x 有两个零点，且在区间()0,2恰有1个零点. 综上所述，实数t 的取值范围是11t -<≤或54
t =
. 【点睛】本题考查函数零点所在区间.方法：1、根据二次函数的性质按零点个数分类讨论；2、分离参数t 转化为两个函数的交点问题求解.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设函数()22cos 2cos 132
x
f x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 的值域；
（2）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为(),,a b c a b >，若()0f B =，1b =，
c =a 的值.
【答案】（1）[]1,1-；（2）2. 【分析】
（1）利用二倍角公式及两角和的余弦公式将()22cos 2cos 132
x
f x x π⎛
⎫=++- ⎪⎝⎭化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．
（2）由()0f B =求出B Ð，利用余弦定理建立关于a 的方程求出a ． 【详解】解：（1）()22cos cos
sin sin cos 33f x x x x ππ=-+cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∵x ∈R ，∴1cos 13x π⎛
⎫
-≤+≤ ⎪⎝
⎭
， ∴()f x 值域为[]1,1-.
（2）由()0f B =得：cos 03B π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.在ABC ∆中，0B π<<，故6B π
=. 在ABC ∆中，由余弦定理得：2
2
2
2cos
6
b a
c ac π
=+-，
∴2320a a -+=，∵1a b >=，解得：2a =.
【点睛】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属于基础题， 18.某厂商调查甲乙两种不同型号汽车在10个不同地区卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图，为了鼓励卖场，在同型号汽车的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场”.
（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号汽车的“星级卖场”的个数；
（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号汽车销售量的平均数为26.7，求a b <的概率； （Ⅲ）若1a =，记乙型号汽车销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值（只写出结论）.
注：方差()()()
2222
121n S x x x x x x n ⎡
⎤=-+-++-⎢⎥⎣
⎦L ，其中x 是1x ，2x ，…，n x 的平均数. 【答案】（1）5 （2）()4
9
P A = （3）0b = 【
分析】
（Ⅰ）根据茎叶图,代入即可求得甲型号汽车的平均值,即可求得“星级卖场”的个数; （Ⅱ）根据乙组数据的平均值,可代入求得8a b +=.由古典概型概率,列举出所有可能,即可求得符合a b <的概率.
（Ⅲ）当1a =时,由方差公式可知,当b 的值越小,其方差值越小,即0b =时方差2s 取得最小
值.
【详解】（1）根据茎叶图得到甲组数据的平均值：
()1
101018142225273041432410
x =
+++++++++=甲. 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场”, 在这10个卖场中,甲型号汽车的“星级卖场”的个数为5个.
（2）记事件A 为“a b <”,乙组数据的平均值：
()1
1018202223313230304310
x a b =
+++++++++++乙26.7=, ∴8a b +=,
和取值共9种,分别为：()0,8,()1,7,()2,6,()3,5,()4,4,()5,3,()6,2,()7,1,()8,0,其a b <的有4种, ∴a b <的概率()49
P A =
. （3）由题意可知当b 的值越小,其方差值越小 所以0b =时,2S 达到最小值.
【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用,古典概型概率的求法,方差的性质应用,属于基础题. 19.已知抛物线：24y x =的焦点为F ，直线l ：()()20y k x k =->与抛物线交于A ，B 两点，AF ，BF 的延长线与抛物线交于C ，D 两点. （1）若AFB ∆的面积等于3，求k 的值； （2）记直线CD 的斜率为CD k ，证明：CD
k k
为定值，并求出该定值. 【答案】（1）2；（2）证明见解+析，2. 【
分析】
（1）设出抛物线上两点A 、B 的坐标，由24(2)
y x
y k x ⎧=⎨=-⎩消去x ，根据AFB ∆的面积和根
与系数的关系即可求出k 的值；
（2）设出抛物线上点C 、D ，利用向量法和三点共线的知识，求出点C 与D 的坐标表示，
再计算CD 的斜率，即可证明
CD
k k
为定值． 【详解】解：（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由()2
42y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
得2480ky y k --=，216320k ∆=+>，∴124y y k +=，128y y =-，
12112AFB y y S ∆⨯=
=⨯-3==，解得2k =.
（2）设2
33,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则21
11,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2331,4y y FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r ，
因为A ，F ，C 共线，所以2
2313111044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2
3131440y y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
， 解得：31y y =（舍）或314y y =-
，所以21144,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理22244,D y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 121212221244
244CD
y y y y k k y y y y -
+==-=+-，故2CD k k =（定值）.
【点睛】本题考查了直线与双曲线、直线与抛物线的应用问题，也考查了弦长公式以及根与系数的应用问题，属于中档题．
20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//ABCD AB DC ，已知
228,245BD AD PD AB DC =====．
（1）设M 是PC 上一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）若M 是PC 的中点，求三棱锥P DMB -的体积． 【答案】（1）证明见解+析；（2）16
3
．
试题分析：（1）由勾股定理可得AD BD ⊥，又PD ⊥平面,ABCD BD ⊆平面
ABCD PD BD ⊥，又PD AD D ⋂=BD ⊥平面PAD 平面MBD ⊥平面
PAD ；
（2）由M 是PC 的中点可得P DMB C DMB M BCD V V V ---==．又点M 到平面ABCD 的
距离等于
124
PD =，可求得1168233M BCD V -=⨯⨯=，即三棱锥P DMB -的体积为163．
试题详细分析：（1）在ABD ∆中，
2224,8,45,AD BD AB AB BD AB ===+=，
AD BD ⊥
又PD ⊥平面,ABCD BD ⊆平面ABCD PD BD ⊥，
又PD AD D
⋂=BD ⊥平面PAD
又BD ⊆平面MBD ，
平面MBD ⊥平面PAD ，
（2）因为M 是PC 的中点，所以P DMB C DMB M BCD V V V ---==
在四边形ABCD 中，由已知可求得8BCD S ∆=，又点M 到平面ABCD 的距离等于
1
24
PD =， 所以1168233M BCD V -=
⨯⨯=，即三棱锥P DMB -的体积为163
考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、锥体的体积．
21.已知函数2()ln f x x ax =-在1x =处的切线与直线10x y -+=垂直. （1）求函数()'()y f x xf x =+（'()f x 为()f x 的导函数）的单调递增区间；
（2）记函数2
3()()(1)2
g x f x x b x =+
-+，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，若211e b e
+≥-，证明：2x e ≥.
【答案】（1）6
(0,6
；（2）见解+析.
试题分析：（1）由题意求得()f x ¢，根据()11f '=-，求得1a =，进而利用()
0f x ¢>，
即可求解函数的单调递增区间；
（2）由()g x ，求得()g x '，根据12,x x 是()g x 的两个极值点，转化为方程的两个根，得出1212,x x x x +，得到2211
1x b e x e +
=+≥+，令1()h x x x
=+，即可证明结论.
（1）由题意可得：()1
'2f x ax x
=
-，()'1121f a =-=-，可得：1a =； 又()()2
'31y f x xf x lnx x =+=-+，所以2
116'6x y x x x -=-= (0)x >；
当0,6x ⎛∈ ⎝⎭
时，'0y >，y 单调递增；
当时6x ∞⎛⎫∈+ ⎪ ⎪⎝⎭，'0y <，y
单调递减；故函数的单调增区间为0,6x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（2）()()2112g x lnx x b x =+-+，()()1'1g x x b x =+-+ ()211
x b x x
-++=，
因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程()2
110x b x -++=的两个根，由韦
达定理可知：
12121{
1
x x b x x +=+=，12x x <Q ，可知21x >，又2211
1x b e x e
+
=+≥+， 令()1
h x x x
=+
，可证()h x 在()1,∞+递增，由()()2h x h e ≥，从而可证2x e ≥. 考点：导数在函数中的应用.
点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性的应用的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把12,x x 是()g x 的两个极值点，转化为方程的两个根，创设函数，利用函数的单调性求解是解答的关键.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C
：2x y α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为
()3
θρπ
=
∈R . （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与1C ，2C 在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为2C 上的动点.求PAB ∆面
【答案】（Ⅰ）2
4cos 30ρρθ--=，3y x =；（Ⅱ）23+
【分析】
(Ⅰ)先求出曲线1C 的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出211AB ρρ=
-=,再求出以AB 为底边的PAB ∆的高的最大值为423+,
再求PAB ∆面积的最大值.
【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线1C 的普通方程为()2
227x y -+=, 曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ--=,
直线l 的直角坐标方程为3y x =．
(Ⅱ)曲线2C 的直角坐标方程为()2
2416x y -+=,设1,3A πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
,2,
3B πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
, 则2
114cos
303
π
ρρ--=,即211230ρρ--=,得13ρ=或11ρ=-(舍),
28cos
43
π
ρ==,则211AB ρρ=-=,
()24,0C 到l 的距离为4334
d =
=以AB 为底边的PAB ∆的高的最大值为423+
则PAB ∆的面积的最大值为
(1
1423232
⨯⨯+=【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出211AB ρρ=
-=.
23.已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈.
（1）当1a =时，求()2f x ≤的解集；
（2）若()121f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）4|03x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）51,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）当1a =时，()121f x x x =-+-，分类去绝对值讨论即可；（2）由()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()21f x x ≤+恒成立，然后去绝对值参变分离转化为函数的最值问题即可.
【详解】解：（1）当1a =时，()121f x x x =-+-，
()21212f x x x ≤⇒-+-≤，
上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或1121212x x x ⎧
<<⎪
⎨⎪-+-≤⎩或11212x x x ≥⎧⎨
-+-≤⎩， 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或1
122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
，
∴102x ≤≤
或112x <<或413x ≤≤，∴原不等式解集为4|03x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩
⎭
. （2）∵()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()21f x x ≤+恒成立，
即2121x a x x -+-≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
∴2121x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∴22x a -≤-≤，
∴22x a x -≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴()()max min 22x a x -≤≤+， ∴512
a -≤≤
， ∴a 的取值范围是51,2⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦.
【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，参变分离法是解决恒成立有关问题的好方法.。