2017-2018学年高中数学人教A版必修2练习：第二章 单元

第二章单元检测
班级____姓名____考号____分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为()
A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂α
C．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α
答案：B
2．有下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：平行于同一直线的两平面可能相交，①错，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，③错，可知②④正确．
3．若α⊥β，α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
答案：C
解析：两平面垂直，两直线分别在两平面内，且两直线与交线不垂直，两直线若平行，则均与交线平行，因此可能平行；若a与b垂直，根据面面垂直的性质，则a与l垂直或b 与l垂直，与已知矛盾，选C.
4．两条异面直线在同一平面的正投影不可能是()
A．两条平行直线B．两条相交直线
C．一个点和一条直线D．两个点
答案：D
解析：如果两条直线在同一平面内的正投影是两个点，则这两条直线都和平面垂直，这两条直线平行，不会是异面直线．
5．给出下列命题：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面，其中正确命题的个数是()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
答案：A
解析：两两相交且过同一点的直线，可以不在同一平面内，所以①②都错；两平面相交，也可以有三个不同的公共点，所以③错；两两平行的三条直线可以在同一平面内，所以④错．
6.
如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为() A．30°
B．60°
D ．45° 答案：B
解析：AC 与A ′C ′平行，三角形A ′C ′B 为等边三角形，结合等角定理可知所求角为60°.
7．已知三条不同的直线a ，b ，c ，三个不同的平面α，β，γ，有下面四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b 且a ∥b ，则α∥γ；
②若直线a ，b 相交，且都在α，β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案：B
解析：命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a 与b 确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A 、C 、D ，答案选B.
8．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，D ∈a ，线段AB ，AD 分别交α于E ，G ，若BD ＝15，BE ＝2AE ，则EG 等于( )
A ．10 B.10
3
C ．5 D.5
3
答案：C
解析：由三角形AEG 与三角形ABD 相似得，EG ＝1
3
BD ＝5.
9．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )
A ．16和12
B ．15和13
C ．17和11
D ．18和10 答案：B
解析：令AB ＝x ，CD ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝28x 2－81＝y 2
－25，⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝15y ＝13. 10.
如图所示，正三棱锥V —ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，D ，E ，F 分别是VC ，VA ，AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )
A ．30°
B ．90°
侧棱垂直于底面且底面为正三角形的三棱柱
所成角的正弦值为(
，在等边△ABC
为所求，
＝2a，
，CD⊥α，垂足分别为
，给出四个条件：
BD在β内的正投影在同一条直线上；
内的正投影所在的直线交于一点．
内的正投影所在的直线相交时，平面
若EF⊥BD，由于EF⊥
小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
中，平面AB1D1和平面
∥平面AB1D1，同理BC
，BC1⊂平面BDC1，
1
ABCD所在平面，且∠
ABCD 是菱形且∠ABC ＝上的射影，即∠PCA 为所求角，的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离所求距离即球心与球的外切正方体的顶点的距离，也即正方体对角线长度的一，故其外切正方体的棱长为2R ，其对角线长为
ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1EF ⊥平面EFP ，则
1O ，OP ，显然A 1E ＝P 的平面角，若平面A 1中，A 1O ＝1＋(14(1－x )2，∴98＋98＋x 2＝
－A 1B 1C 1D 1中，底面AF 綊CD ，∴AD ∥CF ADD 1A 1，
－BCD 中，侧棱长和底面边长均相等，，同理
⎬⎪⎫AD ＝BD ⇒DE ⊥
中，平面P AD ⊥平面ABCD 5.
AD ＝2，BD ＝4，AB ＝，平面P AD ∩平面ABCD ＝PO ⊥平面ABCD . 的等边三角形，
中，
4 5
5.
×5×4 5
5＝2.
1
3×2×3＝2 3 3
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图
底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．
请画出该安全标识墩的侧(左)视图；
求该安全标识墩的体积；
⊥平面PEG.
该安全标识墩的侧视图如图所示．
该安全标识墩的体积为：
－EFGH
×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．
(3)证明：如图，由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又∵ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH，
设点O是EFGH的对称中心，
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，
∴PO⊥FH.
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，
∴FH⊥平面PEG.
而BD∥FH，故直线BD⊥平面PEG.
21.
(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C，求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明：(1)由E、F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC.
因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1
故DD1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C.
所以A1D⊥平面BB1C1C.
又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
22．(12分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE ：EB＝CF ：F A＝CP ：PB＝1 ：2(如图甲)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1—EF—B成直二面角，连接A1B，A1P(如图乙)．
(1)求证：A1E⊥平面BEP；
(2)求二面角A1—BP—E的大小．
解：不妨设正三角形的边长为3，则
(1)证明：在题图甲中，取BE的中点D，连接DF，
∵AE ：EB＝CF ：F A＝1 ：2，
∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°.
∴△ADF为正三角形．
又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.
在题图乙中，A1E⊥EF，BE⊥EF.
∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A1E⊥BE.
又BE∩EF＝E，。