普通高中新课程学科教学研讨会(长沙)

涛声依旧秉承传统立足基础 雪山春晓支持课改有所创新
——高中新课程实验区高考数学试题的反思与课堂教学 高中新课程实验区高考数学试题的反思与课堂教学 广东仲元中学 谭曙光 gztsg@ 13312806588
一、实验区高考数学试题分析 二、高考备考方法与主要措施 三、新课程理念下的课堂教学
作如下变形：
2 an + 1 (an − α ) 2 − (α 2 + α − 1) (an − α ) 2 an +1 − α = −α = = 2an + 1 2an + 1 2an + 1
(an − β ) 2 a −β a −β 2 同样 an +1 − β = ，两式相除： n +1 =( n ) ，就可以得出数列 {bn } 的通项公 2an + 1 an +1 − α an − α
广东
分值：88分 知识点分布：复数、函数、平面向 量、统计方法、算法、三角、数 列、解析几何、线性回归、简单 不等式应用等。 分值：51分 知识点分布：集合、三视图、函数 、命题、统计、算法、立几、解 几等。 分值：57分 知识点分布：命题、向量、三角函 数、以及解三角形、解析几何、 三视图、统计、算法。
对于实数集（或其子集）上的函数 f ( x ) ，我们把满足 f ( x ) = x 的实数 x ，称之为函数
f ( x) 的不动点。 “不动点法”求数列通项公式是数学竞赛中常用的方法：
由已知得到：
2 an + 1 x2 + 1 −1 ± 5 an +1 = ，令函数 g ( x) = ，求其不动点 g ( x) = x ，得到 x = ， 2x +1 2an + 1 2
式。
再如广东文科第 21 题： 已知 a 是实数，函数 f ( x ) = 2ax + 2 x − 3 − a .如果函数 y = f ( x) 在区间 [−1,1] 上有零
2
点，求 a 的取值范围. 将函数解析式变形为
a (2 x 2 − 1) + 2 x − 3 = y ，令 2 x 2 − 1 = 0, 则 y = 2 x − 3 ，即曲线 f ( x) = 2ax 2 + 2 x − 3 − a 不
广东文科 山东理科 山东文科 海宁理科
海宁文科
对新增内容考查 广东理科 算法、条形统计图、线性回归、零点、几何证明选讲、参数方程 与极坐标、不等式选讲。 分值：25分。 广东文科 算法、几何证明选讲、线性回归、三视图、参数方程与极坐标。 分值：28分。 山东理科 三视图、命题量词、算法、条件概率。 分值：19分。 山东文科 三视图、命题量词、算法。 分值：15分。 海宁理科 命题量词、算法、三视图、几何概型、几何证明选讲、参数方程 与极坐标、不等式选讲。 分值：31分。 海宁文科 命题量词、算法、三视图、极坐标与参数方程、几何证明选讲。 分值：25分。
(1)不超大纲 不超大纲 (2)不加题量 不加题量 (3)不增难度 不增难度
向 知识点 量
函 数
三 角 函 数
数 列
解 析 几 何
立 体 几 何 24
排 列 组 合 5
概 率 统 计 12
复 数
研 究 性 题
选 做
试 卷 分 值 06 年 5 26 14 22 19 5 5
文 07 年 理
11
39
一、实验区高考数学试题分析
（三）试题背景分析
1.以教材中的典型习题为背景 以教材中的典型习题为背景
试题： （广东理科第 4 题） 客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中，正确的是（ ） s(km)
（三）试题背景分析
1.以教材中的典型习题为背景 以教材中的典型习题为背景
这道题目取自于教材，它的原题（人教 A 版必修 5 第 16 页 例 5） ： 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得 公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 150 的方向上，行驶 5km 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 250 的方向上，仰角为 80 ，求此山的高 度 CD 。
（三）试题背景分析
1.以教材中的典型习题为背景 以教材中的典型习题为背景
此题目的原型是人教版必修 1 第 3 页练习 2 下图中哪几个图象与下述三件事情分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事。 (1)我离开接不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
一、实验区高考数学试题分析
（三）试题背景分析
1.以教材中的典型习题为背景 以教材中的典型习题为背景
试题： （海南宁夏理科第17 题） 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底
B 在同一水平面内的两个测点C 与D．现测得
∠BCD =α，∠BDC = β，CD = s ，求塔高AB
一、实验区高考数学试题分析
n 1 1 − 3 都成立． 2 n n
这里只分析第（Ⅲ）问，标准答案中为了证明这个问题， 构造了函数 h( x) = x − x + ln( x + 1) 。这与高等数学中的泰勒级数有关。
3 2
x 2 x3 x 4 将 ln( x + 1) 展开成泰勒级数： ln( x + 1) = x − + − + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, −1 < x ≤ 1 2 3 4
一、实验区高考数学试题分析
（三）试题背景分析
1.以教材中的典型习题为背景 以教材中的典型习题为背景 2.以数学竞赛中的一些内容和方法为背景 以数学竞赛中的一些内容和方法为背景 3.以与高中数学紧密衔接的高等数学知识为背景 以与高中数学紧密衔接的高等数学知识为背景 4.以社会生活中的热点问题为背景 以社会生活中的热点问题为背景 5.以中等数学研究的一些热点问题为背景 以中等数学研究的一些热点问题为背景 6.以我国古代的重大数学成就为背景 以我国古代的重大数学成就为背景 7.以经典的数学问题为背景 以经典的数学问题为背景
（1） 若 f ( x ) = x 且 x ∈ R ，则称 x 为 f ( x ) 的实不动点，求 f ( x ) 的实不动点； 在数列 {an } 中， a1 = 2 ， an +1 = f ( an )( n ∈ N ) ，求数列 {an } 的通项公式。
*
一、实验区高考数学试题分析
（三）试题背景分析
只关注高考的教学是一种缺损的教学 不研究高考的教学是一种不完美的教学
一、实验区高考数学试题分析
（一）试卷整体情况 （二）试卷的特点
（三）试题背景分析
一、实验区高考数学试题分析
（一）试卷整体情况
文理相同部分 文理不同部分 知识点分布： 记数原理、概率、立体几何、不等式 证明、三角、解析几何、数列等。
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10
10
一、实验区高考数学试题分析
（二）试卷的特点 2.锐意改革 理念更新 锐意改革 新高考，新在哪里？ 新高考，新在哪里？ (1)尝试新形式 尝试新形式 (2)构建“新双基” 构建“新双基” 构建 (3)增加新考点 增加新考点
1、广东文7、 （ 艺术理6） 上面左图是某县参加2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各 条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10 （如A2 表示身高（单位：cm） （150，155）内 的学生人数）.右图是统计左图中身高在一定范 围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高 在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数， 那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（B） A.i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9
对应用问题的考查 广东理科 广东文科 山东理科 山东文科 海宁理科 海宁文科 函数（识图）、统计图、概率、线性回归等。分值：32分。 同上。 频率分布、概率、解三角形（航海）。分值：34分。 频率分布、概率、线性规划。分值：22分。 统计（平均数与方差）、记数原理、三角测量、概率等。分值： 34分。 统计（平均数与方差）、三角测量、概率等。分值：29分。
1 < 0， 所以要使得在区间 [−1,1] 有 2a
当 a < 0 时，首先应有 ∆ ≥ 0 ，解之有 a ≤ −
3 + 7 −3 + 7 或 ≤ a < 0， 2 2
如果 a ≤ − 点； 如果
3+ 7 1 1 2 ， 那么有 0 < − ， 所以在区间 [−1,1] 上有两个不同的零 ≤ < 2 2a 3 + 7 2
山东
知识点分布： 三角、复数、平面向量、概率、解析 几何、数列、不等式、记数原理等 。 知识点分布： 立体几何、函数、平面向量、概率等 。
海南 宁夏
对新增内容考查 广东理科 算法、条形统计图、线性回归、零点、几何证明选讲、参数方程与极坐 标、不等式选讲。 分值：25分。 算法、几何证明选讲、线性回归、三视图、参数方程与极坐标。 分值：28分。 三视图、命题量词、算法、条件概率。 分值：19分。 三视图、命题量词、算法。 分值：15分。 命题量词、算法、三视图、几何概型、几何证明选讲、参数方程与极坐 标、不等式选讲。 分值：31分。 命题量词、算法、三视图、极坐标与参数方程、几何证明选讲。 分值：25分。
160 140 120 100 80 60
s(km)
160 140 120 100 80 60
s(km)
160 140 120 100 80 60
s(km)
160 140 120 100 80 60
0
1

2
3
t(h) 0
1
2
3
A．
B．
t(h)
0
1
2
3
C．
t(h) 0
1
2
3
D．
一、实验区高考数学试题分析
−3 + 7 ≤ a < 0 ，由于此时 f (1) = a − 1 < 0 ，所以在区间 [−1,1] 上无零点。 2 3+ 7 。 2
综上，实数 a 的取值范围为 a ≥ 1 或 a ≤ −
（2006 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） ）
( x + 1) 4 + ( x − 1) 4 ( x ≠ 0) 。 已知函数 f ( x ) = 4 4 ( x + 1) − ( x − 1)
2
f ( an ) 的导数．设 a1 = 1 ， an +1 = an − (n = 1， ⋯) ． 2， ′(an ) f
（1）求 α，β 的值； （2）已知对任意的正整数 n 有 an > α ，记 bn = ln 项和 S n ．
an − β (n = 1， ⋯) ．求数列 {bn } 的前 n 2， an − α
3.以与高中数学紧密衔接的高等数学知识为背景 以与高中数学紧密衔接的高等数学知识为背景
试题： （山东理科 22 题） 设函数 f ( x) = x 2 + b ln( x + 1) ，其中 b ≠ 0 ． （Ⅰ）当 b > 1 时，判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性；
2
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数 n ，不等式 ln 1 + 1 >
A
B
C
D
一、实验区高考数学试题分析
（三）试题背景分析
2.以数学竞赛中的一些内容和方法为背景 以数学竞赛中的一些内容和方法为背景
试题： （广东文科第 20 题） 已知函数 f ( x) = x + x − 1 ，α，β 是方程 f ( x ) = 0 的两个根 (α > β ) ， f ′( x ) 是 f ( x )
一、实验区高考数学试题分析
（二）试卷的特点 1.平稳过渡 涛声依旧 平稳过渡 2.锐意改革 理念更新 锐意改革 3.强化应用 淡化理论 强化应用 4.强化能力 淡化知识 强化能力 5.强化思维 淡化计算 强化思维
一、实验区高考数学试题分析
（二）试卷的特点 1.平稳过渡，涛声依旧 平稳过渡， 平稳过渡
论 a 取任何实数均经过定点 M (
2 2 , 2 − 3) 、N (− , − 2 − 3) ， 这又是另外一种意义的 2 2
“不动点” ！ 那么当 a = 0 时，显然不符合要求； 当 a > 0 时， 曲线恒有两个零点， 由于此时对称轴 x = − 零点，当且仅当 f (1) ≥ 0 ，即 a ≥ 1 ；