麦克斯韦方程组的复数形式

移电流密度Jd 的物理意义如何？是否符合物理事实？
下面将进一步讨论。
时变场的安培环路定律也具有积分形式，即:
H dl C
J dS
S
S Jd dS I Id
（5-12）
式中，I 和Id分别为穿过回路 C所围区域的真实电流
（传导电流和运流电流）和位移电流。
对安培环路定律和位移电流的诠释：
如图5.1所示。
n B
s
C
图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S BdS
于是（5-2）可以写成
in


d dt
B dS
S
（5-3）
二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式
从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的，
而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场 力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为
第五章 时变电磁场
主要内容：
本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假 说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的 形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印 廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导 出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物 理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之 后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程 及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的 对偶性 。
♠ 感应电场是有旋场，其旋涡源为 B ，即磁场随
时间变化的地方一定会激发起电场，并t 形成旋涡状
的电场分布。故又称 Ein为涡旋电场。
♠ 式（5-6）虽然是对导体回路得到的，但是它对任意
回路（不一定有导体存在）同样成立。
♠ 当磁场随时间的变化率为零时，有 Ein 0,这与静 电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时 变电场的特殊情况。
n
1、1; 2区媒质的参数为: 2 、2、 2 ; 设分界面上的面电流密度 Js的
H1
1 l
h
的方向垂直于纸面向内，则磁场
1 2
矢量在纸上。在分界面上取一个 H2 2
无限靠近分界面的无穷小闭合路 图5-2 H的边界条件
径，即长为无穷小量 Δl ，宽为高阶无穷小量 Δh，
把积分形式的麦克斯韦方程(5-13a)应用于此闭合路
回路中就会产生感应电动势 in，其大小等于磁通量 的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量
的改变，即
in


d
dt
(5-2)
式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻
止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势
的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。
设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为，
1.在时变电场情况下，磁场仍然是有旋场，但其
旋涡源除了传导电流外，还有位移电流。
2. 位移电流代表的是电场随时间的变化率,当空
间中电场发生变化时，就会形成磁场的旋涡源，从
而激发起旋涡状的磁场，即变化的电场会激发磁场
这就是位移电流的物理意义，同时也是前面分析所
期望的。
3. 位移电流是一种假想的电流。麦克斯韦用数 学方法引入了位移电流，深刻地提示了电场和磁 场之间的相互联系，并且由此建立了麦克斯韦方 程组，从而奠定了电磁理论的基础。赫兹实验和 近代无线电技术的广泛应用，完全证实了麦克斯 韦方程组的正确性，同时也证实了位移电流的假
如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 Ec ,
则总电场为 E Ein Ec ，这时
E dl C

C
( Ein
Ec ) dl

S
B dS t
（5-7）

E

(Ein

Ec )


Ein


B t
（5-8）
♠
当导体回路
C以速度运动
v
时，利用关系式
时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛
伦兹力为F qv B。显然，导体中的感应电场实际上
是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说
明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。
5.2 位移电流
矛盾分析:
★静态下: E 0 ，
★★非静态下: E B (法拉第电磁感应定律所揭 示的一个极为重要的电t 磁现象—变化的磁场可以激 发电场)。
D E r0E
(5-15)
B H r0H
(5-16)
J E
(5-17)
这是媒介的本构关系。利用本构关系，麦克斯韦方
程组可用E 和 H 两个场量写出
H J D E E
t
t
E H
t
H 0
(5-18a) (5-18b) (5-18c)
故 Jdm 1.125103 J cm
5.3 麦克斯韦方程组
一、 非限定形式的麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是整个宏观电磁场理论的核心。
用 E,D,B,H四个场量写出的方程称为麦克斯
韦方程的非限定形式。
◆ 积分形式包括如下的四个方程
C
H
dl

S
J
dSSD t dSBt
t t
如果令 Jd

D t
可得:
H J D t
（5-11）
显然，此时 ( H ) (J J d ) 0。式（5-11）就是
时变场的安培环路定律的微分形式，是麦克斯韦方
程组中的一个，其中的 Jd

D t
,即为位移电流密度。
这里已经解决了前面所述的矛盾，但是附加项位
显然这个结果应该是正确的）。 假定非静态情况下方程 H J仍然成立，对此方程 边取散度，有 ( H) J 。利用恒等式 ( A) 0, 得 J 0（一个结果是在假定静态场的安培环路定律 在非静态时仍然成立的条件得出的）。 解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培
利用斯托克斯公式，C Adl S AdS 并考虑到回路
c(或面积s)的任意性，得
B Ein t
(5-6)
这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克
斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律
的解释：
♠ 式中的电场强度 Ei是n 因磁场随时间变化而 激发的，称为感应电场。
C E dl S t dS
SB dS 0
(5-13a) (5-13b) (5-13c)
S D dS q
(5-13d)
◆ 相应的微分形式为
H J D E Bt
t
B 0 D
(5-14a) (5-14b) (5-14c) (5-14d)
C Ein dl 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动
势。此时电源电动势就是感应电动势 in , 有
in C Ein dl
（5-4）
式（5-3）
d dt
SB

dS
右边的表示穿过面积s的磁通量随
时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两
个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变
d dt

t
v

和 B 0，可以得到
d dt
S
B
dS

S
B t
dS

C
(B

v)

dl
（5-9）
等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运
动的贡献。当磁场不随时间变化时，有
C
E
dl

d dt
S
B dS

C (v B) dl
（5-10）
比较等式两边，E F v B。得当导体在磁场中运动 q
化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。
1.法拉第电磁感应定律的积分形式
当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间
变化而引起的，时间导数 ddt可以换成时间偏导数 t， 并且可以移到积分内，故有
B
C Ein dl S t dS
(5-5)
2. 法拉第电磁感应定律的微分形式
5.1 法拉第电磁感应定律 一、 法拉第电磁感应定律
感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁 通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明 此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。
著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步 的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时
环路定律作相应的修正。 修正的思路：
1. 在方程的右边加入一个附加项J d ,即有 H J Jd , 且J d 满足 (J J d ) 0 ; 2. 加入的Jd 应该具有合理的物理意义。
对高斯定理的 D 两边求时间的偏导数，得:
。 , D D
★静态下，安培环路定律 H J ，
★★非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如 果发生变化，又会产生什么物理现象呢？
★★非静态情况下,
t

0再由电荷守恒定律 J


t

0
得 J （0 这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而
电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这
有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发
♠ 电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构
成一个整体——电磁场，电场和磁场分别为电磁场 的两个分量。
♠ 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷 密度和电流密度为零，电场和磁场仍然可以相互激
发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁
波。所以，麦克斯韦方程组实际上已经预言了电磁 波的存在，而这个预言已被事实证明。
♠
在无源空间中，两个旋度方程分别为
E
B t
和 H D 。可以看到两个方程的右边相差一个负号， 而正是这t个负号使得电场和磁场构成一个相互
约束的关系，即当磁场减小时，电场的旋涡源为正， 电场将增大；而当电场增大时，将使磁场增大，磁 场增大反过来又使电场减小，……。但是，如果没 有这个负号的差别，电场和磁场之间就不 会形成这种不断继续下去的激励关系。
比值。
解:设电场是正弦变化的，表示为
E Em costex
则位移电流密度为
Jd

D t

r0Em sin tex
其振幅值为
J dm

r 0 Em

2
106
81
4
1 9109
Em

4.5103 Em
传导电流密度的振幅值为 Jcm Em 4Em
径，得
(H1sin1

H2sin2
)l

lim
h0


S
J

dS

S
D t

dS


I
D
式中， 的模是有限量。当 时， ， H1t
H2t
lim h0
E
(5-18d)
麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的总规律，静
电场与恒定磁场的基本方程是麦克斯韦方程的特例。
5.4 时变电磁场的边界条件
在时变电磁场中,分析两种不同媒质分界面上的
边界条件,与静态电磁场一样,必须应用麦克斯韦方
程的积分形式。
一、H 的切向分量边界条件
图5-2表示两种媒质的分界面，1区媒质的参数为1
式中，J J f , Jc J f为外部强加的电流源，Jc E 为传导
电流。本书中若没有特别说明，将无外部强加的电
流源 J f 时的 Jc记为 J。
习惯上把上述四个方程称为麦克斯韦第一、二、 三、四方程 。
关于麦克斯韦方程组的讨论：
♠ 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的 磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还
想。
4.将 D ε0E P, 代入位移电流的定义式中，得
, J d
0
E t

P t
式中第一项
0
E为真空中的位移电流，
t
仅表示电场随时间的变化，并不对应于任何带电
质点的运动，而第二项 P 表示介质分子的电极化 t
强度随时间变化引起的极化电流。
【例5-1】 海水的电导率为4S/ m，相对介电常数为 81 ，求当频率为1 MHz时，位移电流与传导电流的
♠ 麦克斯韦方程可以以不同的形式写出。用 E,D,B,H四个场量写出的方程称为麦克斯韦方程的 非限定形式。因为它没有限定 D 与 E之间及 B与
H 之间的关系，故适用于任何媒质。
二、限定形式的麦克斯韦方程组 用E 和 H 两个场量写出的麦克斯韦方程组，是
麦克斯韦方程的限定形式。
对于线性和各向同性媒质，有