2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 4.1平面向量
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解答：延长BO交圆O于D点，连AD、DC，则BD为圆O的直径，故∠BCD=∠BAD=900。又∵AE⊥BC，DC⊥BC。各AH//DC，同理DA//CH。∴四边形ANCD为平行四边形，∴ 。
又∵ ∴ 又∵ ∴
注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心，H为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例
（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题
※相关※
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式 来计算，二是利用 来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
〖例〗已知 ， 与 的夹角为 ，求：（1） ；（2） 。
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
二、平面向量的基本定理及坐标表示
（一）平面向量基本定理及其应用
※相关※
1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同；
延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使 。DC与OA交于E，设 用 表示向量 及向量 。
解答：∵A是BC的中点，∴ ，即
（三）向量的共线问题
〖例〗设两个非零向量 与 不共线，
（1）若 求证：A、B、 三点共线；
（2）试确定实数k，使 和 共线
（3）
思路解析：（1）由已知求 判断 和 的关系 判断 、B、D的关系；（2）应用共线向量的充要条件 列方程组 解方程组得k值。
思路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1）问；求 可先求 ，再开方。
解答：（1） ，
∴ =
（2） ，
∴
（二）平面向量的垂直问题
※相关※
1、非零向量
2、当向量 与 是非坐标形式时，要把 、 用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。
〖例〗已知向量 ，（1）求证： ;（2）若存在不等于0的实数k和t，使 满足 试求此时 的最小值。
2、对于两个向量 ， ，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映 与 的关系；
3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。
注：由于基底向量不共线，所以 不能作为一个基底向量。
※例题解析※
〖例〗如图： 在平行四边形 BC 中，M，N分别为DC，BC的中点，已知 试用 表示 。
（2）∵
∴
（3）∵ ，∴ 。∴M（0，20）又∵ ，∴ ∴N（9，2）。∴ 。
（三）平面向量共线的坐标表示
※相关※
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
※例题解析※
〖例〗已知 当k为何值时， 与 平行；平行时它们是同向还是反向？
思路解析：将 用坐标表示 将 用坐标表示 应用共线向量的充要条件求k 把k代入向量判断结果。
解答：∵ =k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， =（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），∴ 与 平行等价于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，解得k= 。故当k= 时， 与 平行。此时 = ，∴ 与 反向。
注：若 为BC的中点，则 。
※例题解析※
〖例1〗在Δ BC中，
。
思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如
在进行计算时要充分利用 ∽Δ BC，ΔADN∽ΔABM等条件。
解答：
由ΔADE∽ΔABC，得 ，又AM是ΔABC的中线，DE//BC，且AM与DE交于点N，得
。
〖2〗在ΔOAB中，
（2）单位向量的长度及方向。
※例题解析※
【例1】下列结论中，不正确的是（）
向量 ， 共线与向量 // 同义；
若向量 // ，则向量 与 共线；
若向量 = ，则向量 = ；
只要向量 ， 满足| |=| |，就有 = 。
解答：选 。根据平行向量（或共线向量）定义知 ，B均正确；根据向量相等的概念知C正确， 不正确。
思路解析：直接用 表示 有难度，可换一个角度，由 表示 ， ，进而解方程组可求 。
解答：方法一：设 ,则
①
②
将②代入①得 BC中点，所以
因而
即
（二）平面向量的坐标运算
※相关※
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；
注：向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用。
（四）向量与其他知识的综合[
〖例〗已知向量 现向量 的对应关系用 表示。
（1）设 ，求向量 与 的坐标；
（2）求使
（3）证明：对任意的向量 及常数m,n恒有 成立。
解答：（1）∵
∴
∴ 、 共线，又∵它们有公共点B，∴ 、B、 三点共线
（2）∵ 和 共线，∴存在实数λ，使 =λ（ ），即 = 。∴ ∵ 、 是不共线的两个非零向量，∴ = ，∴ -1=0。∴ =±1。
注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：4.1平面向量
一、平面向量的概念及其线性运算
（一）向量的有关概念
※相关※
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。
2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：
（1）零向量的方向及与其他向量的关系；
解答：设木块的位移为 则 ， 在铅垂方向上分力大小为 sin30°=50× =25(N). =8×10=80(N)
∴摩擦力 的大小为 ，
∴ =1.1×20×(-1)=-22(J).
∴ 所做的功分别是500 J、22J。
注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积。故在解决此类问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形，把已知、所求各量用向量的对应量表示出来。然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功
（二）向量的线性运算
※相关※
（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；
（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。
※例题解析※
〖例〗已知 （-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设 且 求：
（1）
（2）满足 的实数m,n;
（3）M、N的坐标及向量 的坐标。
思路解析：利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。
解答：由已知得
（1） =3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42）
思路解析：（1）可通过求 证明 ;
（2）由 得 ，即求出关于k，t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。
解答：（1）
（2）由 得： ，即
（三）平面向量的夹角问题
※相关※
1、当 与 是非坐标形式时，求 与 的夹角。需求得 及 或得出它们的关系。
2、若已知 与 的坐标，则可直接利用公式 .
〖例2〗已知力 与水平方向的夹角为30°（斜向上）， 的大小为50N， 拉着一个重80N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20m，问 和摩擦力 所做的功分别是多少？(g=10 N/kg).
思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力 ， 和位移的夹角，然后应用数量积公式求解。
注：平面向量 、 的夹角
※例题解析※
〖例〗已知 、 都是非零向量，且 +3 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角θ。
思路解析：把向量垂直转化为数量积为0 联立求 与 的关系 应用夹角公式求结果。
解答：
（四）向量的综合应用
〖例1〗设Δ BC的外心为O，则圆O为Δ BC的外接圆，垂心为H。求证：
思路解析：本题的关键是探求 的联系，利用向量的三角形法则可得 下一步需确定 的关系，由条件O为Δ BC的外心，可延长BO交圆于O于点 ，连 D、DC，利用圆周角是直角的性质可证四边形ANCD为平行四边形，从而 问题得以解决。
思路解析：本题关键是找出“函数” 的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题。
解答：（1） 又
（2）
（3）
注：对于信息处理题应注意以下几点：
①认真领会题中所给信息（注意概念的内涵与外延）；
②将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题（当然注意条件与结论，往往是三段论推理）。
【例2】给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②若 则 BCD为平行四边形；
③若
④若 。
其中正确命题的个数是（）
（ ）0（B）1（C）2（ ）3
思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。
解答：选B。①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。②错，因为 则可能 、B、C、 四点在一条直线上。③正确。④错，若 ，则对不共线的向量 与 ，也有 // ， // ，但 与 不平行。
又∵ ∴ 又∵ ∴
注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O为外心，H为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例
（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题
※相关※
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式 来计算，二是利用 来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
〖例〗已知 ， 与 的夹角为 ，求：（1） ；（2） 。
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
二、平面向量的基本定理及坐标表示
（一）平面向量基本定理及其应用
※相关※
1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同；
延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使 。DC与OA交于E，设 用 表示向量 及向量 。
解答：∵A是BC的中点，∴ ，即
（三）向量的共线问题
〖例〗设两个非零向量 与 不共线，
（1）若 求证：A、B、 三点共线；
（2）试确定实数k，使 和 共线
（3）
思路解析：（1）由已知求 判断 和 的关系 判断 、B、D的关系；（2）应用共线向量的充要条件 列方程组 解方程组得k值。
思路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1）问；求 可先求 ，再开方。
解答：（1） ，
∴ =
（2） ，
∴
（二）平面向量的垂直问题
※相关※
1、非零向量
2、当向量 与 是非坐标形式时，要把 、 用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。
〖例〗已知向量 ，（1）求证： ;（2）若存在不等于0的实数k和t，使 满足 试求此时 的最小值。
2、对于两个向量 ， ，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映 与 的关系；
3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。
注：由于基底向量不共线，所以 不能作为一个基底向量。
※例题解析※
〖例〗如图： 在平行四边形 BC 中，M，N分别为DC，BC的中点，已知 试用 表示 。
（2）∵
∴
（3）∵ ，∴ 。∴M（0，20）又∵ ，∴ ∴N（9，2）。∴ 。
（三）平面向量共线的坐标表示
※相关※
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
※例题解析※
〖例〗已知 当k为何值时， 与 平行；平行时它们是同向还是反向？
思路解析：将 用坐标表示 将 用坐标表示 应用共线向量的充要条件求k 把k代入向量判断结果。
解答：∵ =k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， =（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），∴ 与 平行等价于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，解得k= 。故当k= 时， 与 平行。此时 = ，∴ 与 反向。
注：若 为BC的中点，则 。
※例题解析※
〖例1〗在Δ BC中，
。
思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如
在进行计算时要充分利用 ∽Δ BC，ΔADN∽ΔABM等条件。
解答：
由ΔADE∽ΔABC，得 ，又AM是ΔABC的中线，DE//BC，且AM与DE交于点N，得
。
〖2〗在ΔOAB中，
（2）单位向量的长度及方向。
※例题解析※
【例1】下列结论中，不正确的是（）
向量 ， 共线与向量 // 同义；
若向量 // ，则向量 与 共线；
若向量 = ，则向量 = ；
只要向量 ， 满足| |=| |，就有 = 。
解答：选 。根据平行向量（或共线向量）定义知 ，B均正确；根据向量相等的概念知C正确， 不正确。
思路解析：直接用 表示 有难度，可换一个角度，由 表示 ， ，进而解方程组可求 。
解答：方法一：设 ,则
①
②
将②代入①得 BC中点，所以
因而
即
（二）平面向量的坐标运算
※相关※
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；
注：向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用。
（四）向量与其他知识的综合[
〖例〗已知向量 现向量 的对应关系用 表示。
（1）设 ，求向量 与 的坐标；
（2）求使
（3）证明：对任意的向量 及常数m,n恒有 成立。
解答：（1）∵
∴
∴ 、 共线，又∵它们有公共点B，∴ 、B、 三点共线
（2）∵ 和 共线，∴存在实数λ，使 =λ（ ），即 = 。∴ ∵ 、 是不共线的两个非零向量，∴ = ，∴ -1=0。∴ =±1。
注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：4.1平面向量
一、平面向量的概念及其线性运算
（一）向量的有关概念
※相关※
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。
2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：
（1）零向量的方向及与其他向量的关系；
解答：设木块的位移为 则 ， 在铅垂方向上分力大小为 sin30°=50× =25(N). =8×10=80(N)
∴摩擦力 的大小为 ，
∴ =1.1×20×(-1)=-22(J).
∴ 所做的功分别是500 J、22J。
注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积。故在解决此类问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形，把已知、所求各量用向量的对应量表示出来。然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功
（二）向量的线性运算
※相关※
（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；
（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。
※例题解析※
〖例〗已知 （-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设 且 求：
（1）
（2）满足 的实数m,n;
（3）M、N的坐标及向量 的坐标。
思路解析：利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。
解答：由已知得
（1） =3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42）
思路解析：（1）可通过求 证明 ;
（2）由 得 ，即求出关于k，t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。
解答：（1）
（2）由 得： ，即
（三）平面向量的夹角问题
※相关※
1、当 与 是非坐标形式时，求 与 的夹角。需求得 及 或得出它们的关系。
2、若已知 与 的坐标，则可直接利用公式 .
〖例2〗已知力 与水平方向的夹角为30°（斜向上）， 的大小为50N， 拉着一个重80N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20m，问 和摩擦力 所做的功分别是多少？(g=10 N/kg).
思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力 ， 和位移的夹角，然后应用数量积公式求解。
注：平面向量 、 的夹角
※例题解析※
〖例〗已知 、 都是非零向量，且 +3 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角θ。
思路解析：把向量垂直转化为数量积为0 联立求 与 的关系 应用夹角公式求结果。
解答：
（四）向量的综合应用
〖例1〗设Δ BC的外心为O，则圆O为Δ BC的外接圆，垂心为H。求证：
思路解析：本题的关键是探求 的联系，利用向量的三角形法则可得 下一步需确定 的关系，由条件O为Δ BC的外心，可延长BO交圆于O于点 ，连 D、DC，利用圆周角是直角的性质可证四边形ANCD为平行四边形，从而 问题得以解决。
思路解析：本题关键是找出“函数” 的对应关系，此处的变量为向量的坐标，因此，可通过坐标运算来解决问题。
解答：（1） 又
（2）
（3）
注：对于信息处理题应注意以下几点：
①认真领会题中所给信息（注意概念的内涵与外延）；
②将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题（当然注意条件与结论，往往是三段论推理）。
【例2】给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②若 则 BCD为平行四边形；
③若
④若 。
其中正确命题的个数是（）
（ ）0（B）1（C）2（ ）3
思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。
解答：选B。①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。②错，因为 则可能 、B、C、 四点在一条直线上。③正确。④错，若 ，则对不共线的向量 与 ，也有 // ， // ，但 与 不平行。