高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等
式学案
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)．
考点2 基本不等式≤a＋b
2
1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；
3．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
考点3 利用基本不等式求最大、最小值问题
1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
[必会结论]
常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)；
(2)ab≤2(a，b∈R)；
(3)2≤(a，b∈R)；
(4)＋≥2(a，b同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )
答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．[课本改编]已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为( )
A．1 B. C. D.2
2
答案B
解析∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．3．[课本改编]已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
答案C
解析y＝(a＋b)＝≥，故选C.
4．[2018·苏州模拟]若0≤x≤6，则f(x)＝的最大值为( )
A. B．4 C. D.5
答案B
解析∵0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，
等号成立．故f(x)的最大值为4.
5．[课本改编]若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝( )
A. B．3 C. D．4
答案B
解析由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得
等号．故选B. 6．[2018·上海模拟]若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
答案22
解析∵x2＋2y2≥2＝2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2.
板块二典例探究·考向突破
考向利用基本不等式求最值
例 1 [2017·山东高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小
值为________．
答案8
解析∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，
∴＋＝1，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．
故2a＋b的最小值为8.
本例条件不变，求ab的最小值．解∵1＝＋≥2，当＝，即a＝2，b＝4时，ab≥8，∴ab的最小值为8.
若4a＋2b＝1，求2a＋b的最大值．
解∵4a＋2b≥2＝2，
∴2≤1，∴2a＋b≤－2，
∴2a＋b的最大值为－2.
若log2a＋log2b＝1，求2a＋b的最小值．
解∵log2ab＝1，∴ab＝2，
∴2a＋b≥2＝4，当a＝1，b＝2时，2a＋b的最小值为4.
触类旁通
利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三
相等”．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、
和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．【变式训练1】(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B. C. D.2
3
答案C
解析∵0<x<1，∴x·(3－3x)＝·3x·(3－3x)≤2＝，当3x＝3－3x，即x＝时，
x(3－3x)取得最大值.选C.
(2)设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
答案0
解析y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以
函数的最小值为0.
考向条件最值问题
例 2 [2018·大同检测]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：
(1)ab的取值范围；
(2)a＋b的取值范围．
解(1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.
∴t≥3即≥3，∴ab≥9，
当且仅当a＝b＝3时取等号．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2.
令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
触类旁通
求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法．【变式训练2】(1)[2018·珠海模拟]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋
3y的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案C
解析解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，当且仅
当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，得
t≥6.即x＋3y≥6.
解法二：∵x＋3y＝9－xy≥2，∴()2＋2·－9≤0，∴(＋3)·(－)≤0，
∴0<xy≤3，∴x＋3y＝9－xy≥6.
(2)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
答案2
解析因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy.
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.
当且仅当x＝y＝1时等号成立，
所以x＋y的最大值为2.
考向利用基本不等式解决实际问题
例 3 [2017·湖南模拟]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车
流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为_______辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/
小时．
答案(1)1900 (2)100
解析(1)当l＝6.05时，F＝，
∴F＝＝≤＝1900，
当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”．
∴最大车流量为1900辆/小时．
(2)当l＝5时，F＝＝，
∴F≤＝2000，
当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100(辆/小时)．
触类旁通
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式训练3】某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年
销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分
资金)．
(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴2018年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
核心规律
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的
放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及
公式的逆用等．
满分策略
1．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基
本不等式中“正”“定”“等”的条件．2．注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，
－b>0，再运用基本不等式求解．3．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这
一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.
板块三启智培优·破译高考
易错警示系列8——连续应用基本不等式时切记等号成立的条件
[2017·天津高考]若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
错因分析两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出错．解析∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，
∴≥＝4ab＋，
由于ab>0，∴4ab＋≥2＝4，
故当且仅当时，的最小值为4.
答案4答题启示连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等．
跟踪训练
已知a>b>0，求a2＋的最小值．
解∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
当a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝时等号成立．
∴a2＋的最小值为16.
板块四模拟演练·提能增分
[A级基础达标]
1．[2018·浙江模拟]已知x>0，y>0，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的( )
B．必要不充分条件
A．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
C．充要条件
答案A
解析若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满
足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选
A.
2．当x>0时，函数f(x)＝有( )
B．最大值1
A．最小值1
D．最大值2
C．最小值2
答案B
解析∵x>0，∴f(x)＝≤1.故选B.
3．[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
答案C
解析由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．选C.
4．[2018·人大附中模拟](－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B. C．3 D.32
2
答案B
解析因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知≤＝，当
且仅当a＝－时等号成立．
5．[2018·秦皇岛模拟]函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2
答案A
解析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2(当且仅当x＝1
＋时取“＝”)．选A.
6．设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10 C．4 D．2
答案D
解析∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，
∴x＋4y≥2＝4(当且仅当x＝4y时取“＝”)，
∴4≤40.∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2.
∴lg x＋lg y的最大值为2. 7．[2018·山西模拟]已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实
数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案B
解析(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，
当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．
∴(x＋y)的最小值为(＋1)2≥9.
∴a≥4. 8．[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为
6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，
则x 的值是________．
答案 30
解析 一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x 万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2 ＝240，当且仅当＝4x ，即x ＝30时取得等号，
所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
9．函数y ＝2x ＋(x>1)的最小值为________．
答案 2＋2
解析 因为y ＝2x ＋(x>1)，所以y ＝2x ＋＝2(x －1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.
当且仅当x ＝1＋时取等号，故函数y ＝2x ＋(x>1)的最小值为2＋2.
10．[2018·正定模拟]若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是
________．
答案 5
解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得＋＝1，
所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝＋＋＋≥＋2 ＝＋＝5，当且仅当x ＝1，y ＝时取等号，故3x ＋4y 的最小值是
5.
[B 级 知能提升]
1．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m2－3m 有解，则实数m 的取值
范围是( )
A ．(－1,4)
B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C ．(－4,1)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 B
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋＝＝2＋＋≥4，∴min＝4，
∴m2－3m>4，解得m<－1或m>4.选B.
2．设a>0，b>1，若a ＋b ＝2，则＋的最小值为( )
A ．3＋2
B ．6
C ．4
D ．22 答案 A
解析 由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，∴＋＝(a ＋b －1)＝2＋＋＋1≥3＋2，
当且仅当＝，即a ＝2－，b ＝时等号成立．故选A.
3．[2018·湖北八校联考]已知正数a ，b 满足2a2＋b2＝3，则a 的最大值为________． 答案 2 解析 a ＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝， 当且仅当a ＝，且2a2＋b2＝3， 即a2＝1，b2＝1时，等号成立． 故a 的最大值为. 4．[2018·郑州模拟]若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)因为a>0，b>0，且＋＝， 所以＝＋≥2 ，所以ab≥2， 当且仅当a ＝b ＝时取等号． 因为a3＋b3≥2≥2＝4， 当且仅当a ＝b ＝时取等号， 所以a3＋b3的最小值为4. (2)由(1)可知，2a ＋3b≥2＝2≥4>6， 故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立． 5．已知lg (3x)＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值． 解 由lg (3x)＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，y>0，3xy ＝x ＋y ＋1. (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x ＋y ＋1≥2＋1， ∴3xy －2－1≥0，即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy ≥1， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.
精品试卷
精品试卷
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴x＋y的最小值为2.。