【华东师大版】八年级数学上期中模拟试卷(含答案)

一、选择题
1．已知锐角AOB ∠，如图
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；
（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．②③④
C ．③④
D ．③ 2．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒
C ．60,60A B ∠=︒∠=︒
D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 3．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，A
E 和BD 相交于点O ，若
30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
4．以下说法正确的是（ ）
A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 5．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）
A ．x d =或x a ≥
B ．x a ≥
C ．x d =
D ．x d =或x a > 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点
E ，使EC ＝BC ，过点E 作E
F ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．∠F ＝∠BCF
B ．AE ＝7cm
C ．EF 平分AB
D ．AB ⊥CF 7．如图，AB 与CD 相交于点
E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）
A ．AE=CE ；SAS
B ．DE=BE ；SAS
C ．∠D=∠B ；AAS
D ．∠A=∠C ；ASA
8．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）
A ．35°
B ．30°
C ．25°
D ．20°
9．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）
A ．70︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒
10．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
11．已知直线//a b ，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A 在直线a 上，斜边BC 与直线b 交于点D ，若135∠=︒，则2∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．45︒
C ．65︒
D ．75︒
12．如图，已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ⊥⊥∠=︒．则结论①//FG AD ；②DE 平分ADB ；③B ADE ∠=∠；④CFG BDE ∠+∠90=︒．正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
二、填空题
13．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．
14．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．
15．如图，∠ABC=∠DCB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需要补充一个条件：___．（一个即可）
16．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．
17．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．
18．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．
19．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．
20．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．
三、解答题
21．如图，在ABC ∆中，已知D 是BC 的中点，过点D 作BC 的垂线交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ．
（1）求证：BF=CG ；
（2）若AB=12，AC=8，求线段CG 的长．
22．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．
（1）求证：BC CD =；
（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．
23．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．
求证：（1）CBA FED ∠=∠；
（2）AM DM =．
24．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，
交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．
（1）求证：直线FH 是O 的切线；
（2）若42AD =，且点H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与
O 的位置关系？说明
理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积． 25．如图①，在ABC 中，,CD CE 分别是ABC 的高和角平分线，
(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>
（1）若70,40BAC B ︒︒∠=∠=，求DCE ∠的度数
（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，则DCE ∠= (用含,αβ的代数式表示)； （3）若将ABC 换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含,αβ的代数式表示DCE ∠的度数，并说明理由；
（4）如图③，若CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，交BA 延长线与点E ，且30αβ︒-=，则DCE ∠= (直接写出结果)
26．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F ．
（1）若∠DCB=48°，求∠CEF 的度数；
（2）求证：∠CEF=∠CFE ．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．
【详解】
由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，
∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．
∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；
由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，
又∵CD OP ⊥，
∴CP=2CQ ，故②正确；
若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，
又∵=AOP BOP ∠∠，
∴=CPO AOP ∠∠，
∴OC=PC ，
故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．
综上，正确的有②③④．
故选：B ．
【点睛】
本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性
质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】
A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；
B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△AB
C 是等边三角形，故本选项不符合题意；
C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；
D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．A
解析：A
【分析】
由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．
【详解】
解：∵△AEC ≌△BED ，
∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，
∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，
∴∠BEO=∠CED,
∵∠AED=30°，∠BEC=120°，
∴∠BEO=∠CED=
120302
︒-︒=45°， 在△EDC 中，
∵EC=ED ，∠CED=45°，
∴∠C=∠EDC=67.5°，
∴∠BDE=∠C=67.5°，
∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性
质．
4．D
解析：D
【分析】
对每个选项一一分析即可得到正确答案．
【详解】
解：A 、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B 、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；
C 、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D 、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，
当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；
当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，
x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合， 所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，
故选为：A ．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 6．C
解析：C
【分析】
证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ≅，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．
【详解】
解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；
在Rt ACB 和Rt FEC 中，
CB EC AB FC =⎧⎨=⎩
， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ≅，
∴AC ＝EF ＝12cm ，
∵CE ＝BC ＝5cm ，
∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ．故B 正确；
如图，记AB 与EF 交于点G ，
如果AE ＝CE ，
∵EF ∥BC ，
∴EG 是△ABC 的中位线，
∴EF 平分AB ，
而AE 与CE 不一定相等，
∴不能证明EF 平分AB ，故C 错误；
∵Rt ACB Rt FEC ≅，
∴∠A ＝∠F ，
∴∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，
∴AB ⊥CF ，故D 正确．
∴结论不正确的是C ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 7．C
解析：C
【分析】
根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．
【详解】
解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；
D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
8．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案．
【详解】
解：∵△ACB ≌△A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB ，
∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB ，
∴∠ACA′=∠BCB′=25°，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
9．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质求出140∠=︒，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵//AB CD ，40B ∠=︒，50C ∠=︒，
∴140B ∠=∠=︒，
∴ 1801180405090E C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
设多边形有n 条边，则内角和为180°（n ﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n ﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n 条边，由题意得：
180（n ﹣2）＝360×4，
解得：n ＝10，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n ﹣2）． 11．C
解析：C
【分析】
如图，根据三角形外角的性质可得出∠3，再根据平行线的性质可得出∠2．
【详解】
解：如图，
∵135∠=︒，∠B=30°
∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°
∵//a b
∴∠2=∠3=65°
故选：C
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用．
12．C
解析：C
【分析】
根据,,AD BC FG BC ⊥⊥得到FG ∥AD ，判断①正确；
根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确；
根据//DE AC ， 证明∠BDE=∠C ，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确； 证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确．
【详解】
解：∵,,AD BC FG BC ⊥⊥
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，
故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠CAB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∠=∠，
∴B ADE
∴③正确；
DE AC，
∵//
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴②不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是解题关键．
二、填空题
13．5【分析】连接CE根据等边三角形的性质得到AE＝ABAC＝AD∠CAD＝
∠BAE＝60°再利用SAS推出△BAD≌△EAC由全等三角形的性质得到BD＝EC由于线段BD长的最大值＝线段EC的最大值即可
解析：5
【分析】
连接CE,根据等边三角形的性质得到AE＝AB，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，再利用SAS 推出△BAD≌△EAC，由全等三角形的性质得到BD＝EC，由于线段BD长的最大值＝线段EC的最大值，即可得到结果．
【详解】
解：连接CE，
∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，
∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，
∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，
即∠BAD ＝∠EAC ，
在△BAD 与△EAC 中，
AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BAD ≌△EAC （SAS ），
∴BD ＝EC ；
∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，
当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，
∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于
H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12
a 【分析】
作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．
【详解】
解：作DH ⊥AB 于H ，
∵15DBE BDE ∠=∠=︒
∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==
∴DH=
11=22
DE a ， ∵DE ∥BC ，
∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH=12
a ， 故答案为：
12a ． 【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）【分析】根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC 再添加任意一组角或是AB=CD 即可【详解】∵∠ABC=∠DCBBC=CB ∴当AB=
解析：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）
【分析】
根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC ，再添加任意一组角，或是AB=CD 即可．
【详解】
∵∠ABC=∠DCB ，BC=CB ，
∴当AB=CD 时，利用SAS 证明△ABC ≌△DCB ；
当∠A=∠D 时，利用AAS 证明△ABC ≌△DCB ；
当∠ACB=∠DBC 时，利用ASA 证明△ABC ≌△DCB ，
故答案为：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 16．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC
解析：1或1.5
【分析】
分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1
AP BQ ==， 从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，， 从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．
【详解】
解：当△ACP ≌△BPQ 时，
则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，
∵AC ＝3cm ，
∴BP ＝3cm ，
∵AB ＝4cm ，
∴AP ＝1cm ，
∴BQ ＝1cm ，
∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；
当△ACP ≌△BQP 时，
则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，
∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，
∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，
∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；
故答案为：1或1.5．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．
17．22【分析】由三角形全等性质可得mn 中有一边为5pq 中有一边为3mn 与pq 中剩余两边相等再由三角形三边关系可知mn 与pq 中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q 的最大值【详解】∵△ABC ≌△DE
解析：22
【分析】
由三角形全等性质可得m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m 、n 与p 、q 中剩余两边最大为7，如此即可得到m+n+p+q 的最大值．
【详解】
∵△ABC ≌△DEF ，
∴m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等， ∵3+5=8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q 的最大值为：3+5+7+7=22．
【点睛】
本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键 ．
18．125°【分析】求出O 为△ABC 的三条角平分线的交点求出
∠OBC=∠ABC ∠OCB=∠ACB 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB 求出∠OBC+∠OCB 再根据三角形内角和定理求出∠BOC 的度数即
解析：125°
【分析】
求出O 为△ABC 的三条角平分线的交点，求出∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12
∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，求出∠OBC+∠OCB ，再根据三角形内角和定理求出∠BOC 的度数即可；
【详解】
∵ 在△ ABC 中，点O 是△ABC 内的一点，且点O 到△ ABC 三边距离相等，
∴ O 为△ABC 的三条角平分线的交点，
∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12
∠ACB ， ∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∴∠OBC+∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=125°，
故答案为：125°．
【点睛】
本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键；
19．【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°再由三角形的内角和定理即可解答【详解】∵AF 是的高∴在中∴
解析：20︒
【分析】
根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数，再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数，由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【详解】
∵AF 是ABC 的高，∴90AFB ∠=︒，
在Rt ABF 中，36B ∠=︒，
∴90BAF B ∠=︒-∠9036=︒-︒54=︒．
又∵在ABC 中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，
∴18068BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒，
又∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422
BAD CAD BAC ∠=∠=∠=⨯=︒，
∴DAF BAF BAD
∠=∠-∠
5434
=︒-︒
20
=︒．
故答案为：20︒．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的高线、及三角形的角平分线等知识，难度中等．20．25【分析】依据角平分线的定义即可得到∠DBC的度数再根据三角形外角的性质即可得到∠CAE的度数【详解】解：∵∠ABC=30°BD平分
∠ABC∴∠DBC=∠ABC=×30°=15°又∵AE⊥BD∴∠
解析：25
【分析】
依据角平分线的定义即可得到∠DBC的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠CAE 的度数．
【详解】
解：∵∠ABC=30°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=1
2∠ABC=1
2
×30°=15°，
又∵AE⊥BD，
∴∠BEA=90°-15°=75°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠CAE=∠AEB-∠C=75°-50°=25°，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌△BFE，从而证出BF=CG；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=AG，求得AG=10，于是得到结论．
【详解】
（1）连接EC、EB．
∵AE是∠CAB的平分线，
EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴EG=EF，
又∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB，
∴Rt△CGE≌Rt△BFE（HL），∴BF=CG；
（2）在Rt△AEF和Rt△AEG中，
AE AE EF EG
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴△AEF≌△AEG（HL），
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AG，
∵AB=12，AC=8，
∴AG=10，
∴CG=AG-AC=2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，在解题时要注意全等三角形的判定和性质的灵活应用以及与角平分线的性质的联系是本题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD，则可利用AAS证明△ABC≌△ECD，再由全等三角形的性质可证得结论；
（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC，结合∠ABC=∠ECD，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC，即可证明
∠ABD=∠EBD．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
ABC ECD A E
AC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），
∴BC=CD ．
（2）证明：如图，
∵BC=CD ，
∴∠DBC=∠BDC ，
∵∠ABC=∠ECD ，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，
又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC ，
∴∠ABD=∠EBD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；
（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．
【详解】
证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒
AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△
∴CBA FED ∠=∠．
（2）∵CBA FED ∠=∠
∴ME MB =，且AEM
DBM ∠=∠ 又∵AB DE =
∴AB EB DE EB -=-
即AE DB =
在AEM △和DBM △中
AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AEM DBM SAS △≌△
∴AM DM =．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-
【分析】
（1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得
△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；
（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．
【详解】
（1）连接BE ，OF
∵四边形ABCD 是矩形，
∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，
∵90A ∠=︒，
∴BE 是O 的直径，
∵点E 是AD 中点，
∴EA EC =，
∴△EAB ≌△EDC ，
∴EB EC =，
∴EBC ECB ∠=∠，
∵OB OF =，
∴ECB OFB ∠=∠，
∴ECB OFB ∠=∠，
∴//OF EC ，
∴OFH FHC ∠=∠，
∵FH CE ⊥，
∴90FHC OFH ∠=∠=︒，
又∵OF 是O 的半径，
∴直线FH 是O 的切线． （2）EC 与O 相切．
理由如下：连接EF ，
由（1）知，BE 是O 直径，
∴90EFB EFC ∠=∠=︒，
∵点H 是CE 中点，
∴FH EH HC ==，
∵FH CE ⊥，
∴90FHC ∠=︒，
∴45ECF HFC ∠=∠=︒，
∴90BEC ∠=︒，
又∵OE 是O 的半径，
∴直线EC 与圆O 相切．
由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ==
=⨯= ∴224BE AB AE =+=，
∴2OE OF ==， ∴2290π224π360OFHE OEF
S S S ⨯=-=-=-正方形扇形． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．
25．（1）15°；（2）
1122a β-；（3）1122
a β-，理由见解析；（4）75°． 【分析】
（1）根据三角形的内角和180°解得=70BCA ∠︒、20DCA ∠=︒，再根据角平分线的性质，得到35ACE ∠=︒，最后由DCE ACE DCA ∠=∠-∠解题即可；
（2）根据三角形的内角和180°解得BCA ∠、DCA ∠的度数，再根据角平分线的性质，得到ACE ∠的度数，最后由DCE ACE DCA ∠=∠-∠解题即可；
（3）根据三角形的内角和180°解得BCA ∠、DCA ∠的度数，再根据角平分线的性质，得到BCE ∠的度数，最后由DCE BCD BCE ∠=∠-∠解题即可；
（4）根据角平分线的性质，12FCE ECA FCA ∠=∠=
∠，结合三角形一个外角等于不相邻的两个内角和，解得1()2
ECA αβ∠=+，根据三角形的内角和180°解得DCA ∠的度数，最后由DCE DCA ACE ∠=∠+∠解题即可．
【详解】
（1）180BAC B BCA ∠+∠+∠=︒，70,40BAC B ∠=︒∠=︒
=180704070BCA ∴∠︒-︒-︒=︒ CE 平分BCA ∠
11703522
ACE BCA ∴∠=∠=⨯︒=︒， CD AB ⊥
180907020DCA ∴∠=︒-︒-︒=︒
352015DCE ACE DCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，
=180BCA αβ∴∠︒-- CE 平分BCA ∠
1111(180)902222
ACE BCA αβαβ∴∠=∠=︒--=︒--， CD AB ⊥
1809090DCA αα∴∠=︒-︒-=︒-
11119022(90)22
DCE ACE DCA αβαβα∴∠=∠-∠=-︒-=︒---， 故答案为：1122
a β-； （3）若将ABC 换成钝角三角形，(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，
=180BCA αβ∴∠︒-- CE 平分BCA ∠
1111(180)902222
BCE ACE BCA αβαβ∴∠=∠=∠=︒--=︒--， CD AB ⊥
1809090BCD ββ∴∠=︒-︒-=︒-
DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠
1190(90)22
βαβ=︒--︒-- 0119022
9βαβ︒+=︒--+
1122
αβ=- 故答案为：1122αβ-
； （4）CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，
12
FCE ECA FCA ∴∠=∠=∠ 由三角形的外角性质得，
11=()22
FCE ECA FCA αβ∴∠=∠=∠+ CD AB ⊥
1809090ACD αα∴∠=︒-︒-=︒-
DCE ACD ACE ∴∠=∠+∠
190()2
ααβ=︒-++ 119022
αβ=︒-+ 190()2
αβ=︒-- 30αβ-=︒
19030752
DCE ∴∠=︒-⨯︒=︒ 故答案为：75︒．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形内角和180°、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．（1）66°；（2）见解析
【分析】
（1）依据CD 是高，∠DCB=48°，即可得到∠B=42°，进而得出∠BAC=48°，再根据AE 是角平分线，即可得到∠BAE=12
∠BAC=24°，进而得出∠CEF 的度数； （2）根据已知条件可得∠ACD=∠B ，∠BAE=∠CAE ，再根据三角形外角性质，即可得到∠CFE=∠CEF ．
【详解】
（1）∵CD 是高，∠DCB=48°，
∴∠B=42°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=48°，
又∵AE 是角平分线，
∴∠BAE=1
∠BAC=24°，
2
∴∠CEF=∠B+∠BAE=42°+24°=66°；
（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，
∴∠CFE=∠CEF．
【点睛】
本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角性质的运用，解题时注意：同角的余角相等．。