高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案 新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案
新人教A 版选修1-1
教学重点和难点
1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：
一、复习
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。

二、新课
推导下列函数的导数
1、求()f x c =的导数。

解：()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆， '00
()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 2、求()f x x =的导数。

解：
()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆。

'1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？
(2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？
可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.
3. 求函数2
()y f x x ==的导数。

解： 22
()()()2y f x x f x x x x x x x x x
∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆，
''00()lim lim(2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆。

'2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：
(1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；
（2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。

4. 求函数1()y f x x
==
的导数。

解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x
-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆ ''220011()lim lim()x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？
'(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。

(2)改为点（3，3），结果如何？
三、例题
1. 试求函数()y f x x ==
的导数。

解： ()()()()
()
1()
y f x x f x x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆+∆-+∆+=∆+∆++∆+ ＝ ''0011()lim lim 2x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆====∆+∆+ 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切
线方程。

解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y x ==
因为PQ 的斜率411,21
k -=
=+又切线平行于PQ ， 所以021k x ==，即012x =，切点11(,)24M ， 所求直线方程为4410x y --=。

四 练习
1.如果函数()5f x =，则'(1)f =（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在
2.曲线2
21y x =-+在点（0，1）的切线斜率是（ ） A.-4 B.0 C.2 D. 不存在
3.曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ） A. 4π- B. 1 C. 4π D. 54π 答案：
1.C
2.B
3.C
五、小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；
2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。