七年级数学二元一次方程组学生讲义

第一章二元一次方程组
【学问要点】
1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必需是整式；(不是整式的化成整式)
②二元一次方程必需含有两个未知数；
③二元一次方程中的“一次〞是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有多数解。

3．二元一次方程组：
①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“〞把这些方程结合在一起；
②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；
③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，
4．二元一次方程组的解：
留意：方程组的解满意方程组中的每个方程，而每个方程的解不肯定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
6．二元一次方程组的解法：〔1〕代入消元法〔2〕加减消元法
三、理解解二元一次方程组的思想
转化消元
一元一次方程
二元一次方程组
四、解二元一次方程组的一般步骤
〔一〕、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解 〔二〕、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解
1.1 二元一次方程组的解法
〔1〕用代入法解二元一次方程组
例：解方程组
⎩⎨⎧=+=+1
523y x y x
※解题方法：
①编号：将方程组进展编号；
②变形：从方程组中选定一个系数比较简洁的方程进展变形，用含
有x 〔或y 〕的代数式表示y 〔或x 〕，即变成y=ax+b 〔或
x=ay+b 〕的形式；
③代入：将y=ax+b 〔或x=ay+b 〕代入另一个方程〔不能代入原变
形方程〕中，消去y 〔或x 〕，得到一个关于x 〔或y 〕的一
元一次方程；
④求x 〔或y 〕：解这个一元一次方程，求出x 〔或y 〕的值；
⑤求y 〔或x 〕：把x 〔或y 〕的值代入y=ax+b 〔或x=ay+b 〕中，求出y 〔或x 〕的值；
⑥联立：用“{〞联立两个未知数的值，就是方程组的解。

〔2〕用加减消元法解二元一次方程组
例：解方程组
⎩
⎨⎧=+=+1523y x y x
※解题方法：
①编号：将方程组进展编号；
②系数相等：依据“等式的两边都乘以〔或除以〕同一个不等于0
的数，等式仍旧成立〞的性质，将原方程组化成有一个
未知数的系数肯定值相等的形式；
③相加〔或相减〕：依据“等式两边加上〔或减去〕同一个整式，
所得的方程与原方程是同解方程〞的性质，将变形
后的两个方程相加〔或相减〕，消去一个未知数，
得到一个一元一次方程；
④求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
⑤求另值：把求得的未知数的值代入原方程组中比较简洁的一个方
程中，求出另一个未知数的值；
⑥联立：用“{〞联立两个未知数的值，就是方程组的解。

点评假如方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简洁的未知数来变形．
分析此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简洁，可选择它来变形．
例6 x m n+1y与2x n1y3m2n5是同类项，求m和n的值．
例8 x+2y=2x+y+1=7x y，求2x y的值．例9 解方程组
例10 解方程组
例11 假设方程组的解x、y，满意，求正数m的取值范围．
例12 解方程组
例13解方程组
1.2 二元一次方程组的应用
学习目的：
1．可以借助二元一次方程组解决简洁的实际问题，再次体会二元一次
方程组与现实生活的联络和作用
2．进一步运用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3．体会列方程组比列一元一次方程简洁
4．进一步培育化实际问题为数学问题的实力和分析问题，解决问题的实力
5．驾驭列方程组解应用题的一般步骤；
重点：
1．经验和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

2．进一步体会方程〔组〕是刻画现实世界的有效数学模型。

难点：正确找出问题中的两个等量关系
学问要点梳理
学问点一：列方程组解应用题的根本思想
列方程组解应用题是把“未知〞转化为“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必需满意：(1)方程两边表示的是同类量；
(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
学问点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系
1.行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；
；
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因此也画线段图扶植理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

留意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
(1)利润＝售价－本钱(进价)；(2)；(3)利润＝本钱〔进价〕×利润率；
(4)标价＝本钱(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；
留意：“商品利润＝售价－本钱〞中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的非常之几或百分之几十销售。

〔例如八折就是按标价的非常之八即五分之四或者百分之八十〕
4．储蓄问题：
(1)根本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)根本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥。

留意：免税利息=利息
5．配套问题：
解这类问题的根本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6．增长率问题：
解这类问题的根本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；
原量×(1－削减率)＝削减后的量.
7．和差倍分问题：
解这类问题的根本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8．数字问题：
解决这类问题，首先要正确驾驭自然数、奇数、偶数等有关概念、特征与其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的根本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字
9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.
10．几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是恒久不会变的
12．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理支配。

须要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的运用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案。

留意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最正确方案。

学问点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
1．审题:弄清题意与题目中的数量关系；2．设未知数:可干脆设元，也可间接设元；
3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:依据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.
要点诠释：
(1)解实际应用问题必需写“答〞，而且在写答案前要依据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应当舍去；
(2)“设〞、“答〞两步，都要写清单位名称；
(3)一般来说，设几个未知数就应当列出几个方程并组成方程组.
解答步骤简记为：问题方程组解答
(4)列方程组解应用题应留意的问题
①弄清各种题型中根本量之间的关系；②审题时，留意从文字，图表中获得有关信息；③留意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，防止与路程单位混淆；⑤在找寻等量关系时，应留意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题肯定要留意检验。

经典例题透析
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机接着前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次动身半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
举一反三：
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，假如甲比乙先走2小时，那么他们在乙动身2.5小时后相遇；假如乙比甲先走2小时，那么他们在甲动身3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
2．一家商店要进展装修，假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组
工作一天，商店应各付多少元？(2)甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必需统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需依据题目的特点合理选用；工程问题也常常利用线段图或列表法进展分析。

举一反三：
【变式】小明家打算装修一套新住房，假设甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；假设甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.假设只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。

价风格整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，那么两件商品的进价分别是多少元？
举一反三：
【变式1】〔2021湖南衡阳〕李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价〔元/件〕12001000
售价〔元/件〕13801200
〔注：获利 = 售价—进价〕
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4．小明的妈妈为了打算小明一年后上高中的费用，如今以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教化储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？〔利息所得税＝利息金额×20%，教化储蓄没有利息所得税〕
总结升华: 我们在解一些涉与到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不简洁找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析详细问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之出现出来.
举一反三：
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？〔注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%〕
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都一样，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
类型五：列二元一次方程组解决——消费中的配套问题
5．某服装厂消费一批某种款式的秋装，每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料消费这批秋装(不
考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
总结升华：消费中的配套问题许多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
举一反三：
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完好盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完好的盒子？
【变式2】某工厂有工人60人，消费某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天消费螺栓14个或螺母20个，应安排多少人消费螺栓，多少人消费螺母，才能使消费出的螺栓和螺母刚好配套。

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，假如1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。

现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？
类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题
6. 某工厂去年的利润〔总产值—总支出〕为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年削减了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，那么有
总产值〔万
总支出〔万元〕利润〔万元〕
元〕
去年x y200
今年120%x90%y780
依据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的量和未知量，可以列出两个等式。

举一反三：
【变式1】假设条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.〔2021年北京丰台区中考一摸试题〕“爱心〞帐篷厂和“暖和〞帐篷厂原方案每周消费帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂确定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心〞帐篷厂和“暖和〞帐篷厂一周内制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心〞帐篷厂和“暖和〞帐篷厂各消费帐篷多少千顶？
举一反三：
【变式1】 (2021年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时〞是世界自然基金会在2007年提出的一项建议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最终一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候改变，提倡低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参与了此项活动，且今年参与活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参与了此项活动．
【变式2】游泳池中有一群小挚友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

假如每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
类型八：列二元一次方程组解决——数字问题
8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

举一反三：
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，假如把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，假如百位数字减1，个位数字加1，那么所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题
9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
举一反三：
【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。

用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
类型十：列二元一次方程组解决——几何问题
10．如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应留意仔细分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。

举一反三：
【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，假设将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，那么得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
总结升华：解题的关键找两个等量关系，最关键的是此题设的未知数不是该题要求的，此题要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就困难
了。

设长方形的长和宽，此题就简洁多了，所以列方程解应用题设未知数是关键。

【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，那么长和宽分别为多少？
类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题
11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求如今父亲和儿子的年龄各是多少？
举一反三：
【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发觉，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：
12．某地消费一种绿色蔬菜，假设在市场上干脆销售，每吨利润
为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的消费实力是：假如对蔬菜进展粗加工，每天可以加工16吨；假如进展细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进展. 受季节条件的限制，公司必需在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
方案一：将蔬菜全部进展粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没来得与加工的蔬菜在市场上干脆销售；
方案三：将部分蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
总结升华：优化方案问题首先要列举出全部可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的详细结果，再进展比较从中选择最优方案.
举一反三：
【变式】某商场方案拨款9万元从厂家购进50台电视机，厂家消费
三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)假设商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你探讨一下商场的进货方案；
(2)假设商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
规律方法指导
1．学习列二元一次方程解应用题，通过深化挖掘隐含的条件，浸透解题的简捷性的数学美以与精确的设元，发挥解题的创建性的数学美．2．实际问题主要包括：〔1〕行程问题：〔2〕工程问题;〔3〕销售中的盈亏问题;
〔4〕储蓄问题;〔5〕产品配套问题;〔6〕增长率问题;〔7〕和差倍分问题;
〔8〕数字问题; 〔9〕浓度问题; 〔10〕几何问题; 〔11〕年龄问题;
〔12〕优化方案问题.
3．留意问题：
a:〔1〕行程问题中留意单位的变换与时间的早晚问题；〔2〕工程问题留意总的工程量是由几部分组成的；〔3〕利润问题中留意利润和利息的算法；〔4〕零件配套问题对零件的配套关系简洁弄混。

b:〔1〕解实际应用问题必需写“答〞，而且在写答案前要依据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应当舍去。

〔2〕“设〞“答〞两步，都要写清单位名称。

〔3〕一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。