安徽蚌埠第二中学等比数列综合练习题百度文库

一、等比数列选择题
1．公差不为0的等差数列{}n a 中，2
3711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则68b b =（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078
a a a a +=+（ ） A
1
B
1
C
．3-
D
．3+3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}
2
n a 的前n 项和为n T ，若2
(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．()3,+∞
B ．()1,3-
C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．91,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ）
A ．-3+(n +1)×2n
B ．3+(n +1)×2n
C ．1+(n +1)×2n
D ．1+(n -1)×2n
5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）
A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个
单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1
122f - B ．第三个单音的频率为1
42f - C ．第五个单音的频率为162f
D ．第八个单音的频率为1
122f
7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11
0,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）
A ．15
B ．10
C ．5
D ．3
9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记
{}n a 的前n 项积为n
T
，则下列选项错误的是（ ） A ．01q <<
B ．61a >
C ．121T >
D ．131T >
10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ） A ．2- B ．2-或1
C ．1
D ．211．题目文件丢失！
12．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22
6598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是
（ ） A ．25
B ．
254
C ．5
D ．
25
14．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-
B ．1
C ．2或2-
D ．2
15．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．
19
B ．
17
C ．
13
D ．7
16．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．±8
D ．98
17．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
18．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092
B ．2047
C ．2046
D ．1023
19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．4
20．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *
∈，m n m n a a a +=⋅，若
1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、多选题
21．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．101a <<
B
．11b <<
C ．22n n S T <
D ．22n n S T ≥
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *
==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩
⎭的
前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =
B ．2n
n S =
C ．38
n T ≥
D ．12
n T <
23．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确
的有（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列
B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列
C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列
D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列
24．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >
B ．1q >
C ．
1
1n
n a a +< D ．当10a >时，
1q >
25．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列
D ．3a ，6a ，9a 成等比数列
26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．当10
1
a q >⎧⎨
>⎩
B ．10a >
C ．1q >
D ．
1
1n
n a a +< 27．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．1
12n n n S S ++-= B ．12n n a
C ．21n
n S =-
D ．1
21n n S -=-
28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C ．此人第二天走的路程占全程的
14
D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
29．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n S n +为等比数列
B ．数列{}n a 的通项公式为1
21n n a -=-
C ．数列{}1n a +为等比数列
D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---
30．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(
)*
12(1)0n n n a na n N
++-=∈，则（ ）
A ．n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列
B ．{}n a 为递增数列
C ．{}n a 的前n 项和1
(1)24n n S n +=-⋅+
D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2
2
n n n T +=
31．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
32．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1n
a n n
b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）
A ．n
B ．nq
C ．
()
12
1n n n q nq nq q q ++---
D ．
()
211
2
1n n n q nq nq q q ++++---
33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n
n n
a a n N a +=
∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1
12
3
n n a +=-
C ．{}n a 为递增数列
D ．1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和2
234n n T n +=-- 34．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列
(){}n
f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在
()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）
A ．()2f x x =
B ．()2x
f x =
C ．(
)f x =
D ．()ln f x x =
35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a
B ．8a
C ．15S
D ．16S
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一、等比数列选择题 1．D 【分析】
根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2
687b b b ==16.
【详解】
等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于2
7a -740a =解得70a =或74,a =
各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，
数列{}n b 是等比数列，故2
687b b b ==16.
故选：D. 2．D 【分析】 根据1a ，
312a ，22a 成等差数列可得3121
222
a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将
910
78
a a a a ++化简即可求解.
【详解】
因为{}n a 是正项等比数列且1a ，
31
2
a ，22a 成等差数列，
所以
3121
222
a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，
解得：1q =+
1q =
(
22
2
2910787878
13a a a q a q q a a a a ++====+++，
故选：D 3．D 【分析】
由2n n S a =-利用11,1,2
n
n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}
2
n a 是以1为首项，
1
4
为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0n
n n S T λ-->恒成立，转化为(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对
*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.
【详解】
当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，
两式相减得11
2
n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，
1
2
为公比的等比数列. 因为11
2
n n a a -=， 所以22114
n n a a -=.
又2
11a =，所以{}
2
n a 是以1为首项，
1
4
为公比的等比数列， 所以1112211212n
n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414
n
n
n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，
由2(1)0n n n
S T λ-->，得2
14141(1)10234n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，
所以2
21131(1)1022n
n n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以2
11131(1)110222n n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
又*
n N ∈，所以1102n
⎛⎫-> ⎪⎝⎭
，
所以1131(1)1022n n
n
λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
即(
)
()
321(1)
2
10n
n
n
λ---+>对*n N ∈恒成立，
当n 为偶数时，()()321210n
n
λ--+>，
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+-<==-
+++， 令6
321
n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，
所以22
69
3215
λb <=-=+； 当n 为奇数时，(
)()
321210n
n
λ-++>，
所以()()3213216
632121
21
n
n
n n n λ-+--<==-
+++，
所以16
332121
λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.
综上，实数λ的取值范围是91,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 4．D 【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，
所以由题设得()
()
3136
1617
11631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪
⎨-⎪
=
=⎪-⎩
， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.
设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，
两式作差得-T n =1+2+22
+…+2n -1
-n ×2n
=
1212
n
---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5．B 【分析】
首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比41
4141328a q
a -=
==，所以12
q =， 则其通项公式为：1
16113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪
⎝⎭
，
所以()
()
561154
2
2
12
62222
2
n n +n n n n n T a a
a ---==⨯==
，
令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 6．B 【分析】
根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】
解：根据题意得该单音构成公比为因为第六个单音的频率为f，
1
4
1
4
2
2
f
f
-
==.
6
6
1
1
2
2
f
f
-
==.
所以第五个单音的频率为112
2f
=.
所以第八个单音的频率为
1
2
6
2
f f
=
故选：B.
7．A
【分析】
设等比数列{}n a的公比为q，依题意可得1
q≠．即可得到不等式1
1
2
n
q-
⨯>，
1
(1)
22
1
n
q
q
-
<
-
，即可求出参数q的取值范围；
【详解】
解：设等比数列{}n a的公比为q，依题意可得1
q≠．
1
1
0,
2
n
a a
>=，2
n
S<，
∴1
1
2
n
q-
⨯>，
1
(1)
22
1
n
q
q
-
<
-
，
10
q
∴>>．
144q
∴-，解得
3
4
q．
综上可得：{}n a的公比的取值范围是：
3
0,
4
⎛⎤
⎥
⎝⎦
．
故选：A．
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
8．A
【分析】
根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果.
【详解】
因为478
a a⋅=，
则()()5
2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+
⋅++=
()2475log 15a a =⋅=.
故选：A. 9．D 【分析】
等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：
等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，
67(1)(1)0a a ∴--<，
11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合
由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，
6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，
13
1371T a =<，故D 错误，
∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．
故选：D ． 10．A 【分析】
由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，
所以()2
13
1416
a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 解得2q =-， 故选：A .
11．无
12．C 【分析】
根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项
公式可得1
21n n a -=+，即求.
【详解】
因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即
11
21
n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.
则112n n a --=，即1
21n n a -=+.
因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 13．B 【分析】
由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】
由等比数列的性质，可得()2
2222
65986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，
又因为0n a >，所以685a a +=，所以2
68113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=
⎪⎝⎭
， 当且仅当685
2
a a ==时取等号． 故选：B . 14．C 【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为12a =，且53a a =，所以2
1q =，解得1q =±， 所以9
1012a a q ==±.
故选：C. 15．B 【分析】
根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2
174a a a =可求得7a 的值. 【详解】
在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，
由等比中项的性质可得2
4354a a a a ==，解得41a =， 17a =，2
1741a a a ==，因此，71
7
a =
. 故选：B. 16．A
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】
设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4
19q ⋅=，
解之可得8
3
d =，23q =， ()22218
183
b a a q ∴-=⨯⨯=.
故选：A. 17．B 【分析】
首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S .
【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+∴，
2332a a =+∴，
解得32a =或31a =-（舍去） 又11
2
a =
， 23
1
4a q a =
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 18．A 【分析】
根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】
因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12
,2n
n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，
即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为
()10412409212
-=-.
19．A 【分析】
利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】
已知{}n a 为等比数列，132
2a a a ∴=，且22a =，
满足131233
2
1231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：
（1）先利用等比数列的性质，得132
2a a a ∴=，
（2）通分化简3
12311124
S a a a +
+==. 20．C 【分析】
令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】
因为对任意的,m n N *
∈，都有m n m n a a a +=⋅，
所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ， 因为10a ≠，所以0n a ≠，即
1
2n n
a a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以2(12)6212n -=-，解得n =5，
故选：C
二、多选题
21．ABC 【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】
因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，
所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，
所以2
1122b b b <=
，即1b <
又2
2234b b b <=，即21
2
2b b =
<， 所以11b >
，即11b <<，故B 正确；
{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
= 22(121)
2[13(21)]22
n n n n +-++⋅⋅⋅+-=
=，
因为12n n n b b +⋅=，则1
122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，
则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=1101101122(222)(222)()(21)n n n
b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-
1)1)n n
>-=-， 当n =1
时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时
假设当n=k
时，21)2k k ->
21)k k ->， 则当n=k +1
1121)21)21)2k k k k k ++-=
+-=->
2221(1)k k k >++=+
所以对于任意*n N ∈
，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 22．ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中，令1n =，则A 易判断；由3
2122S a a =+=，B 易判断；
令12(1)n n n b n n a ++=
+，13
8
b =，
2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，裂项求和3182
n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】
解：由1+14,()n n a S a n N *
==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；
32212822S a a =+==≠，故B 错误；
+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，
1
2n n
a a +=， 所以2n ≥时，2422n n
n a -=⋅=，
令12(1)n n n b n n a ++=
+，12123
(11)8
b a +=
=+， 2n ≥时，()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，
113
8
T b ==，2n ≥时，
()()2334
1131111111118223232422122122
n n n n T n n n ++=+-+-+
+
-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，31
82
n T ≤<，故CD 正确；
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n
n a n a S S n -=⎧
=⎨-≥⎩递推数列的通项，注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 23．AD 【分析】
利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，
则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，
()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，
奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，
当1q ≠-时， 则
11111n n n n n n n n n n
a q a A a a a q
q a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 24．ABC 【分析】
由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则
111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.
【详解】
由题意，设数列{}n a 的公比为q ，
因为1
1n n a a q -=，
可得1
11(1)0n n n a a a q
q -+-=->，
当10a >时，1q >，此时1
01n
n a a +<<， 当10a <时，1
01,1n
n a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 25．AD 【分析】
根据等比数列的定义判断． 【详解】
设{}n a 的公比是q ，则1
1n n a a q -=，
A ．2
3513
a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32
a q a =，363a
q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；
C ．
24
2a q a =，484
a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误；
D ．
36936
a a
q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．
数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,
a a a 仍是等比数列，
实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,
n k k k k a a a a 仍是等比
数列． 26．BCD 【分析】
利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】
A ，当10
1a q >⎧⎨>⎩
时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；
B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；
C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；
D ，若10a >，
1
1n
n a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 27．BC 【分析】
根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】
数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>
23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，
2410a a +=，4
410q q
∴+=即22520q q -+=，解得2q
或
12
， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q
，3124
14
a a q =
==， 1
2
n n
a ，212121
n n n S -==--，()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选：BC 【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 28．BD 【分析】
根据题意，得到此人每天所走路程构成以1
2
为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为1
2
q =
，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
由题意，此人每天所走路程构成以1
2
为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为1
2
q =
，前n 项和为n S ， 则16611163
237813212
a S a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭===-，解得1192a =，
所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；
此人第二天走的路程为21378
9694.54
a a q =⋅=≠
=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为
6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正
确； 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 29．AD 【分析】
由已知可得
11222n n n n S n S n
S n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由
1231,1,3a a a ===可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++．
又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故B 错误；
由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即
322111
11
a a a a ++≠++，故C 错； 因为1
222n n S n +=-，所以2
3
1
1222...2221222 (2)
2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()23122412122...2212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡
⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前
n 项和，考查了分组求和．
30．BD 【分析】
由12(1)0n n n a na ++-=得
121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于
1
1
1222
n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】
由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的
等比数列，故A 错误；因为11422n n n
a n
-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；
因为23
112222n n S n +=⨯+⨯+
+⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 2
3
1
2
1222
2
n n n S n ++-=⨯++
+-⋅(
)222122
12
n
n n +-=
-⋅-，故
2(1)24n n S n +=-⨯+，
故C 错误；因为1
11
222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2
(1)22n
n n n n T ++==， 故D 正确.
故选：BD 【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 31．AB 【分析】
由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】
123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列
又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴1
23n n a +=-，∴313a =，
∴()
2412323412n n n
S n n +-=-=---.
故选：AB. 32．BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项
∴2428a a a =,即()()()2
11137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,
故1n a =或n a n =,所以n b q =或n
n b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,
①当n b q =时,n S nq =；
②当n
n b n q =⋅时,
23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）,
2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,
（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q
++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,
所以1211
22
(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,
故选：BD 【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.
【分析】 由()*123n n n
a a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.
【详解】 因为112323n n
n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确.
由{}n a 的通项公式为11
23n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确. 因为1231n n a +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-
22(12)2312
234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确， 故选：ABD
【点睛】
本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题.
34．AC
【分析】
直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q .
对于A ，则2
221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2
n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C
，则1()()n n f a f a +===，故C 是“保等比数列函数”；
对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n n
a a q a q q f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 35．BC
【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()
11515815152a a S a +==为定值，但()
()11616891682a a S a a +==+不是定值.
故选：BC.
【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。