(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测(答案解析)(3)

一、选择题
1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3
y x π
=+，则错误的是（ ）
A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6
π
个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56
π
个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动
3
π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动
6π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，且该
函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则0x 等于（ ） A ．
512
π
B ．
4π C ．
3
π D ．
6
π
3．已知角θ终边经过点)
P a ，若6
π
θ=-，则a =（ ）
A
B C ．D ．4．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则ϕ=（ ） A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π
5．设1cos 29sin 2922a =
-，b =2
2tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
6．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛
⎫
>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，若将函数()f x
的图象向右平移
2
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）
A ．()1
2sin 2
12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1
2sin 2
12g x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 212g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
7．下面函数中最小正周期为π的是（ ）． A ．cos y x = B ．π23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．tan 2
x
y = D ．22cos sin 2y x x =+
8．若1sin 63
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.
A ．7
9-
B ．13
-
C ．
13
D ．
79
9．已知sin()cos(2)
()cos()tan x x f x x x
πππ--=--，则
313f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．
12
B ．
13 C ．12
-
D ．13
-
10．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．()32sin 34f x x π=-
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
11．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且
()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（ ）
A ．45
-
B ．
45 C ．
35
D ．
35
12．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度 C ．向右平移π
2
个单位长度 D ．向左平移
π
2
个单位长度 二、填空题
13．将函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
4
π
单位，所得到的函数解析式是_________.
14．在ABC 中，tan 1A =，tan 2B =，则tan C =______. 15．已知
()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()3
2
f a =
，则()f a -=______. 16．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，
则ω的取值范围为______. 17．已知tan 212πα⎛⎫
+
=- ⎪
⎝
⎭，则tan 3πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭_________. 18．若函数()πsin 26g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．
19．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
___________. 20．若6
x π
=
是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是
___________.
三、解答题
21．已知()()1sin 2cos 3παπα+--=(2
π
απ<<)，求： （1）sin cos αα⋅； （2）sin cos αα-.
22．已知函数()2
sin cos f x x x x ωωω=的周期为π，其中0>ω；
（1）求ω的值，并写出函数()f x 的解析式；
（2）设ABC 的三边a ，b ，c 依次成等比数列，角B 的取值范围为集合P ，则当
x P ∈时求函数()f x 的值域.
23．已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；
（2）求证：当,44
x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()12f x ≥-. 24．设1cos 29βα⎛
⎫
-=- ⎪⎝
⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭． （1）求2
β
α-以及
2
α
β-的取值范围．
（2）求cos
2
αβ
+的值．
25．已知1cos cos 634ππαα⎛⎫⎛⎫
+-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，,32
ππ
α
．
（1）求sin 2α的值；
（2）求1
tan tan αα
-
的值． 26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.
（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求ADP △面积的最大值.
参考答案
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】
A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的
12
倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π
个单位长度，得
到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，正确；
B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π
个单位长度，
得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26
333y x x x x πππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=---+=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，正
确； C. 1C 向左平移
3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，再把各点横坐标缩短到原来的
1
2倍，得到2sin 2+3y x π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，正确；
D. 1C 向左平移
6π
个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，错误. 故选：D
2．A
解析：A 【分析】
由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得
()026x k k Z π
π+
=∈，结合00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得0x 的值. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足
22
T π=，T π∴=，22T π
ω∴==， ()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026
x k k Z π
π+
=∈，解得
()0212
k x k Z ππ
=
-∈， 由于00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】
结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02
x k k Z π
ωϕπ⇔+=
+∈；
（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.
3．C
解析：C
【分析】
根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，角θ终边经过点)
P a ，可得OP =，
又由
6
π
θ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6
π
-
=
且0a <，解得3
a =-
. 故选：C.
4．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】
因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦， 若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min
3
x x π
-=
，
所以不妨取24
x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π
=取得最小值， 所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎝
⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z π
ϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意， 取24
x π=
，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π
=-取得最小值， 所以12
sin 21ϕπ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-
，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论． 【详解】
1
29si sin(6029)si 3n 2912
n a =︒-︒=︒=
-，
b
=sin 33==︒，
22
22sin162tan16cos162sin16sin 161tan 16
1c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒
++
， 显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．
6．A
解析：A 【分析】
根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫
⎪⎝⎭
求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】
由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤
⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， ∴212T πω=
=，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22sin 23
3f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴
23
2
k π
π
ϕπ+=+，26
k π
ϕπ=+
，
∵||2ϕπ<
，∴6π=ϕ，1
()2sin 2
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
将其图象向右平移
2
π
个单位长度得 11
()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
故选：A
7．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案.
【详解】
()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π2sin 3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的周期为2π，故B 不符合题意；
画出函数tan
2x y =的图象，易得函数tan 2
x
y =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛
⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭，周期为π，故D 符合题
意． 故选：D
8．A
解析：A 【分析】 根据1sin 63
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，再由
2cos 2cos 233
ππαα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1
sin sin 623
3πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1
cos 33
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故选：A
9．C
解析：C 【分析】
利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】
由sin()cos(2)
()cos()tan x x f x x x
πππ--=
--，
利用诱导公式得：
sin cos ()cos cos tan x x
f x x x x
=
=--，
所以31311cos cos 103332f π
πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭； 故选：C.
10．B
解析：B 【分析】
根据函数图象得到3532,
41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T T
π
πω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
求解. 【详解】
由函数图象知：3532,41234
T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T T
π
πω==
=， 又函数图象过点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以 522,122
k k Z ππ
ϕπ⨯
+=+∈， 解得 2,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，
又因为 0πϕ-<<，
所以3
π
ϕ=-
，
所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，进而求出()f α 【详解】 由
2π
πω
=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇
函数，()2
k k Z π
θπ∴=
+∈，，又0θπ<<，得2
π
θ=
，
()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫∴=+=- ⎪⎝
⎭，又由tan 2α=，可得
()222
2sin cos 2tan 4
sin 2sin cos tan 15
f αααααααα-=-=
=-=-++ 故选：A 【点睛】
关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，难度属于基础题
12．A
解析：A 【分析】
首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：
541246T πππ=-=，所以223T ππω
==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24
k ϕπ
=+π，k Z ∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为
4436
π
π
π-
-
=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π
6
个单位长度.
故选：A
二、填空题
13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函
数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =
【分析】
利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】
函数sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到sin 4y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 再向右平移
4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭，
故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.
14．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3
解析：3 【分析】
由已知和正切和角公式求得()tan +A B ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案． 【详解】
ABC 中，有++A B C π=，所以()()tan tan +tan +C A B A B π⎡⎤=-=-⎣⎦，
()tan +tan 1+2
tan +31tan tan 112
A B A B A B =
==---⨯，所以tan 3C =，
故答案为：3. 15．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：
12
【分析】
令()3
sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()1
2
g a =
，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】
令()3
sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.
()()312f a g a =+=，所以()1
2g a =，所以()()()1112
f a
g a g a -=-+=-+=.
故答案为：
12
16．【分析】利用辅助角公式对进行化简得令解得故即可解得答案【详解】解：令解得的零点为：……若在上有且只有3个零点则需满足解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将的解析式利用辅助角公式化为 解析：
5744
ω<≤ 【分析】
利用辅助角公式对()sin cos f x x x ωω=+
进行化简，得()4f x x πω⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，令
()4x k k z π
ωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈，故37449544ππ
πωω
πππω
ω<≤-≤-<-⎧⎨⎩，即可解得答案. 【详解】 解：
()sin cos f x x x ωω=+，
()4f x x πω⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
令()4
x k k z π
ωπ+
=∈，
解得()4k x k z ππ
ωω
=-+∈， ()f x ∴的零点为：…，94πω-，54πω-，4πω-，34πω，74π
ω
，…
若()f x 在
()π,π-上有且只有3个零点，
则需满足374
49544ππ
πωω
πππω
ω<≤-≤-<-
⎧⎨⎩， 解得：5744
ω<≤.
故答案为：57
44
ω<≤.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是：将()f x 的解析式利用辅助角公式化为
()sin y A ωx φ=+的形式，或者()cos y A x ωϕ=+，再结合正余弦函数的图象计算即可. 17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：
解析：1
3
-
【分析】
由tan tan 3124πππαα⎛⎫
⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，结合tan 212πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】
tan tan
1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛
⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝
⎭，
故答案为：1
3
-
18．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应
解析：π7π,624⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
由x 的范围求出26
x π
+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．
【详解】
0,3a x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，
由题意2362
3862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746a
a π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
，解得7624a ππ≤<．
故答案为：π7π,624⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求
得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．
19．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算
解析：4
5
【分析】
本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1
αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4
cos 2sin 22sin cos tan 15
παααααααα⎛
⎫
-==== ⎪++⎝
⎭， 故答案为：45
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
20．【分析】利用对称关系得代入即可求解值再结合辅助角公式化简可求最值【详解】由对称轴关系得令得求得从而当时取到最大值故答案为：
解析：【分析】
利用对称关系，得()03f f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求
()f x 最值
【详解】
由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求得a =
从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当22,62
x k k Z ππ
π+=+∈时，()f x 取
到最大值
故答案为：
三、解答题
21．（1）49-；（2）
3
. 【分析】
（1）用诱导公式化简已知式为1
sin cos 3
αα+=
，已知式平方后可求得sin cos αα； （2）已知式平方后减去4sin cos αα，再考虑到sin cos αα>就可求得sin cos αα-. 【详解】
（1）由()()1sin 2cos 3
παπα+--=
可得1sin cos 3αα+=，
所以()2
2
2
1
sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 9
αααααααα+=++=+=， 所以4sin cos 9
αα=-
； （2）()()2
2
1417sin cos sin cos 4sin cos 4999
αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭， 又因为,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以sin 0cos αα>>，sin cos 0αα->，
所以sin cos αα-=. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是熟记诱导公式，以及sin cos αα+，sin cos αα，
sin cos αα-之间的联系即()2
sin cos 12sin cos αααα+=+，
()
2
sin cos 12sin cos αααα-=-.
22．（1）1ω=，()sin 32++2f x x π⎛⎫
= ⎪⎝
⎭；（2）22⎣⎦
. 【分析】
（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式2T ω
π
=
求
ω的值，进而写出函数()f x 的解析式；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cos B 的范围，再根据B 为三角形的内角求出B 的范围，得出()f x 的定义域，从而求出()f x 的值域. 【详解】
解：（1）()2
sin cos f x x x x ωωω=
)
1cos 21
sin 2+
22
x x ωω+=
sin 2++
32x πω⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ 由22T π
πω
=
=，解得1ω=，
所以函数()f x 的解析式为()sin 32++2
f x x π⎛⎫
= ⎪
⎝
⎭； （2）因为2b ac =,
所以222cos 2a c b B ac +-==221211
22222
a c ac ac ac +-≥-=，当且仅当a c =时取“=”；
又B 为三角形内角，所以03
B π
<≤，即03
x π
<≤
,所以
2+
3
3
x π
π
π<≤,
所以0sin 2+
13x π⎛⎫
⎪⎝
⎭，所以sin 2++2322x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝
⎭，
即函数()f x 的值域是,1+2
2⎣⎦.
【点睛】
关键点点睛：运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形式，利用余弦定理和基本不等式将三角形的边的关系转化为角的范围.
23．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】
（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23
f x x
，即可
求最小正周期，整体代入求单调减区间； （2）由44x ππ
-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12
f x ≥-
是否成立. 【详解】
解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =
+-1sin 22sin 2223x x x π⎛
⎫=+
=+ ⎪⎝
⎭， ∴()f x 的最小正周期22
T π
π==. 令
32222
3
2k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，k Z ∈，解得71212
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. （2）由44x ππ
-
≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2
-，
∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝
⎭，即当,44x ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()12f x ≥-得证. 【点睛】 关键点点睛：
（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.
24．（1）2
2
π
β
απ<-
<，02
2
α
π
β<
-<
；（2 【分析】
（1）由,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
,242αππβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
0,22α
πβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
． （2）根据cos cos 2
22αβ
βααβ⎡⎤
+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.
【详解】 （1）,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
,242α
ππ⎛⎫∴
∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
， ,224α
ππ⎛⎫
∴-
∈-- ⎪⎝⎭
，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
,24β
παπ⎛⎫∴-
∈ ⎪⎝⎭，,242α
ππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
, 又1cos 29βα⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23
αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
所以
2
2
π
β
απ<-
<，02
2
α
π
β<
-<
.
（2）cos
cos 2
22αβ
βααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
又
1cos 29βα⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
sin 29βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 又
2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
，
cos 23αβ⎛⎫∴-==
⎪⎝⎭，
12cos
2939327
αβ
+∴=-⋅+⋅=
【点睛】
关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键.
25．（1）1
2
；（2） 【分析】
（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得1sin 232πα⎛
⎫+=- ⎪
⎝⎭，再由sin 2sin 233ππαα⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式即可求解.
（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解. 【详解】 解：（1）cos cos cos sin 6366ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
sin 2234
πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 即1sin 232
πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭， 因为,
32ππ
α
，所以42,33
π
π
απ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，
所以cos 23πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭， 所以sin 2sin 233ππαα⎡⎤
⎛⎫=+
-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
sin 2cos cos 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
111
222
⎛=-⨯-= ⎝⎭． （2）因为,
32ππ
α
，所以22,3παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，
又由（1）知1sin 22α=
，所以cos 22
α=-． 所以221sin cos sin cos tan tan cos sin sin cos αααα
αααααα
--=-=
2cos 2221sin 22
αα
-==-⨯=
26．（1
）
(34
m ；（2
）(2
316m ⋅-. 【分析】
（1）设CAB CAP θ∠=∠=，求得222
PAD APD π
θθ∠=
-∠=，，得到且
tan 23tan θθ=，结合正切的二倍角公式，即可求解.
（2）设CAB CAP θ∠=∠=，则2APD θ∠=，且()tan 01θ∈，
，由()tan 2x x m θ+⨯=，求得x 得值，求得()tan 21tan m AD BC θθ==
+，1tan 4
PD m θ
-=
，设1tan t θ+=，得到()1
2t ∈，，利用三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】
（1）由题意，在ABC 中，可设CAB CAP θ∠=∠=， 则由角度关系可得222
PAD APD π
θθ∠=
-∠=，，
设BC y = ，且tan tan 23tan 3
y y
x x
θθθ
===，， 则有22tan tan 23tan 1tan θθθθ=
=-
，解得tan 3
θ=
，则有3y x =，
所以2x x m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得(34
x m =. （2）设CAB CAP θ∠=∠=，则222
PAD APD π
θθ∠=-∠=，，且()tan 01θ∈，
， 则有()tan 2x x m θ+⨯=，解得()21tan m x θ=
+，即()
tan 21tan m AD BC θ
θ==+，
所以()2tan 1tan 1tan tan 221tan 2tan 4AD PD m m θθθ
θθθ--=
=⋅=+， 则S △ADP =()2221tan 1tan tan tan 221tan 4161tan m m θθθθ
θθ
--⋅⋅=⋅++，
令()1tan 1
2t t θ+=∈，， 所以
S △ADP =()22222113223161616t t m m t t m t t t t ---⎡⎤-+-⎛⎫⋅=⋅=⋅-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2
316m ≤⋅-，当
且仅当2t t t
==，时取等号.
则ADP △面积的最大值为(2
316
m ⋅-. 【点睛】 对于三角函数模型的应用问题，解答的关键是建立符合条件的函数模型，结合示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学的三角恒等变换的公式及三角函数的性质求解.。