推荐学习2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲一平行线等分线段定理-含

一
平行线等分线段定理
[对应学生用书P1]
1．平行线等分线段定理
(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)用符号语言表述：已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′(如图)，如果AB ＝BC ，那么A ′B ′＝B ′C ′.
[说明]
(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或
三条以上的平行线组成的．
(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论
[对应学生用书P1]
[例1] 已知如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，l ，l ′分别交l 1，l 2，l 3，l 4于A ，B ，C ，D ，
A 1，
B 1，
C 1，
D 1，AB ＝BC ＝CD .
求证：A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.
[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝BC ，
∴A 1B 1＝B 1C 1.
∵直线l 2∥l 3∥l 4且BC ＝CD ， ∴B 1C 1＝C 1D 1， ∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.
平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．
1．已知：如图，l
1∥l 2∥l 3，那么下列结论中错误的是( ) A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝1
2
FH 可得CD ＝DE
解析：OB 、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段． 答案：B
2．如图，已知线段AB ，求作线段AB 的五等分点．
作法：如图，(1)作射线AC ；
(2)在射线AC 上依任意长顺次截取AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ；
(3)连接HB ；
(4)过点G ，F ，E ，D 分别作HB 的平行线GA 1，F A 2，EA 3，DA 4，分别交AB 于点A 1，
A 2，A 3，A 4.
则A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的五等分点． 证明：过点A 作MN ∥HB ， 则MN ∥DA 4∥EA 3∥F A 2∥GA 1∥HB . 又AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，
∴AA 4＝A 4A 3＝A 3A 2＝A 2A 1＝A 1B (平行线等分线段定理)．
[例2] E . 求证：AG ＝2DE .
[思路点拨]
AF ＝FC ，
GF ∥EC
→AG ＝GE →△BDG ≌△CDE →AG ＝2DE
[证明] 在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，
∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE .
故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ， 因此AG ＝2DE .
此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．
3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，
求BE 的长．
解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 又因为AB ∥DC ，OE ∥AB ， 所以DC ∥OE ∥AB . 又因为AD ＝6，
所以BE ＝EC ＝12BC ＝1
2
AD ＝3.
4．已知：AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F . 求证：AF ＝1
3
AC .
证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于G .
在△BCF 中，D 是BC 的中点， DG ∥BF ，
∴G 为CF 的中点．即CG ＝GF .
在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ， ∴F 是AG 的中点．即AF ＝FG . ∴AF ＝1
3
AC .
[例3] 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD 的中点，求证：
AM ＝BM .
[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥EM ∥BC .
又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明． 解：结论成立．证明如下： 过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∵ME ⊥AB ，∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ，
∴E 为AB 的中点，∴M 为CD 的中点．
6．已知：如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点A ，B ，C ，D ，O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，D ′，O ′；
求证：A ′D ′＝B ′C ′.
证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .
∵AA ′⊥a ，OO ′⊥a ，CC ′⊥a ， ∴AA ′∥OO ′∥CC ′.∴O ′A ′＝O ′C ′. 同理：O ′D ′＝O ′B ′.∴A ′D ′＝B ′C ′.
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF ＝2 cm ，则AB ＋CD 等于( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm
D ．4 cm
解析：由梯形中位线定理知EF ＝1
2(AB ＋CD )，
∴AB ＋CD ＝4 cm. 答案：D
果DC ＝1
3
BD ，那么
2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如FC 是BF 的( )
A.5
3倍 B.43倍 C.3
2
倍 D.23
倍 解析：∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . 又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD .
又DC ＝13BD ，∴DC ＝2
3BF .
∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝5
3BF .
答案：A
3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( ) A ．12 cm 18 cm B ．20 cm 10 cm C ．14 cm 16 cm
D ．6 cm 9 cm
解析：如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm.
∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm. 答案：A
4．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( ) A ．30 cm 2 B ．40 cm 2 C ．50 cm 2
D ．60 cm 2
解析：如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形
的中位线长为12 cm ，
∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝1
2(AD ＋BC )·AE
＝1
2×5×24＝60 (cm 2)． 答案：D 二、填空题
5．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、
C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝3
2
，则B ′C ′＝________.
解析：直接利用平行线等分线段定理． 答案：32
于G ，CD ＝1
2
AD ，若
6.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.
解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ， 得EG ＝1
2AD ＝FD ＝2 cm ，
结合CD ＝1
2
AD ，
可以得到F 、D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6(cm)．
由EF ∥BD ，得EF ＝1
2BD ＝5(cm)．
答案：6 cm 5 cm
7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一
点，如果S △GEF ＝2 2 cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________cm 2.
解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ， 所以EF 为梯形ABCD 的中位线， 所以EF ＝1
2
(AD ＋BC )，
且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半， 所以S 梯形ABCD ＝4S △EGF ＝4×2 2 ＝82(cm 2)． 答案：8 2 三、解答题
8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE 、CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点．
证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，
在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .
∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .
在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF .
即F 是CD 的中点．
9．如图，先把矩形纸片ABCD 对折后展开，并设折痕为MN ；再把点B 叠在折痕线上，得到Rt △AB 1E .沿着EB 1线折叠，得到△EAF .求证：△EAF 是等边三角形．
证明：因为AD ∥MN ∥BC ，AM ＝BM ， 所以B 1E ＝B 1F .
又因为∠AB 1E ＝∠B ＝90°，
所以AE ＝AF ，所以∠B 1AE ＝∠B 1AF . 根据折叠，得∠BAE ＝∠B 1AE ， 所以∠BAE ＝∠B 1AE ＝∠B 1AF ＝30°， 所以∠EAF ＝60°，所以△EAF 是等边三角形．
10.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，四边形ABDE 是平行四边形，AD 的延长线交EC
于F .
求证：EF ＝FC .
证明：法一：如图，连接BE 交AF 于O ，
小初高K12学习教材∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：如图，延长ED交BC于点H，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
∴EF＝FC.
法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
∴EF＝FC.。