2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义第二章 直线和圆的方程章末重点题型归纳

第二章直线和圆的方程章末重点题型归纳
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜
角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2直线的斜率1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα(90)
α≠.
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1
x2－x1
.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
知识点3 斜率与倾斜角的联系
0 090α<< 90 90180α<<
0k > 不存在
知识点4 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.
注：（1）l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l 1与l 2不重合． （2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则12l l .
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
注：（1）l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k 1≠0且k 2≠0. （2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． （3）判定两条直线垂直的一般结论为：
12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，
(1)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，此时两直线与y 轴的交点不同，即b 1≠b 2；反之k 1＝k 2，且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.所以有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.
(2)若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2.所以有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b 1≠b 2这个条件．
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，
(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )，再由直线所过的点确定C 1；
②与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确
定C 2.
知识点5 直线的五种方程
知识点6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线
l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
的解．2、直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋
C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系如表所示：
知识点7 两点间的距离公式
1．公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝
（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
知识点8 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y ＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
知识点9点到直线的距离与两条平行线间的距离
知识点10 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b )，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
知识点11 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
知识点12 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方可得⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E
22＝D 2
＋E 2
－4F 4
，当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆．当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示一个点
⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2.
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径长为1
2 D 2＋E 2－4F .
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D ，E ，F 为常数)具有以下特点：
(1)x 2，y 2项的系数均为1； (2)没有xy 项； (3)D 2＋E 2－4F ＞0. 3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则⎩⎪⎨⎪
⎧B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.
5. 以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
知识点13 直线与圆的三种位置关系
代数法：
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
知识点14 直线与圆相交1．解决圆的弦长问题的方法
如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：
|AB |＝2r 2－d 2
若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2·
x A ＋x B
2－4x
A x
B ＝
1＋1
k
2·|y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －
y B |
注：直线l ：0Ax By C ++=；圆M 2
2
0x y Dx Ey F ++++=
联立22
00Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩
消去“y ”得到关于“x ”的一元二次函数20ax bx c ++=，结合韦达定理可得到,A B A B x x x x +
．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt △ADC )，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点15 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1
k ，由点斜式可写
出切线方程．
3．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法
(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 5.切线长公式
记圆C :2
2
2
()()x a y b r -+-=；过圆外一点P 做圆C 的切线，切点为H ,利用勾股定理求PH ；
22
PH PC CH =-知识点16 圆上点到直线的最大（小）距
离
设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为2r ，最小距离为0； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0；
知识点17 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：
d ＞r ＋r
d ＝r ＋r
|r －r |＜d ＜r ＋r
d ＝|r －r |
d ＜|r －r |
C 1：x 2＋y 2＋
D 1x ＋
E 1y ＋
F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 2
2＋E 22－4F 2>0)，
联立方程得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2
＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点18 圆与圆位置关系的应用
设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.③
方程③表示圆C 1与C 2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l
2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定
理求解．
知识点19 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
知识点20 圆系方程
(1) 以(,)a b 为圆心的同心圆圆系方程：22()()(0)x a y b λλ-+-=>；
(2) 与圆220x y Dx Ey F ++++=同心圆的圆系方程为220x y Dx Ey λ++++=； (3) 过直线
Ax By C ++=与圆22
0x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为
22()0()x y Dx Ey F Ax By C R λλ+++++++=∈(4) 过两圆1C 221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为
2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-，此时圆系不含圆2C ：222220x y D x E y F ++++=）特别地，当1λ=-时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．（2022·重庆长寿·10-=的倾斜角为（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【解析】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y = 所以直线的斜率为k =
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒. 故选：C
2．（2022·江苏南通·高二期末）经过点(),A a b c +，()(),B b a c a b +≠的直线的倾斜角为___________.
【解析】根据两点间斜率公式得：()()1AB a c b c a b k b a
b a
+-+-===---，
所以直线的倾斜角为：34
π. 故答案为：
34
π 3．（2022·天津天津·高二期末）若直线l 经过A (2，1)，B (1，2m )两点，则l 的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.【解析】 因为直线l 经过A (2，1)，B (1， 2m )两点，
所以l 的斜率为2
211121m k m -==-≤-，
所以l 的斜率取值范围为(,1]-∞，
设其倾斜角为α，[0,)απ∈，则tan 1α≤， 所以其倾斜角的取值范围为0,[,)42ππ
π⎡⎤
⋃⎢⎥⎣⎦，
故答案为：(,1]-∞，0,[,)42ππ
π⎡⎤
⋃⎢⎥⎣⎦
4．（2022·上海虹口·高二期末）直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________． 【解析】直线2310x y -+=的斜率1
2
3k ，即倾斜角α满足2tan 3
α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1
tan 5
β=-，
所以()12tan tan 53tan 112
1tan tan 153βαβαβα--
--===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以3
4
βαπ-=，
又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
所以两直线夹角为4
π， 故答案为：
4
π. 5．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知点(2,3)A ，(3,2)B --，若直线l 过点(3,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．1
22
k k ≥≤-或
B ．122
k -≤≤ C ．2k ≥-
D ．12
k ≤
【解析】直线l 过点(3,1)P 且斜率为k ，与连接两点(2,3)A ，(3,2)B --的线段有公共点，
由图，可知31223AP k -=
=--，211332BP k +==+， 当122
k -≤≤时，直线l 与线段AB 有交点． 故选：B ．
题型二 两条直线的平行和垂直
6．（2022·上海虹口·高二期末）设a ∈R ，则“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【解析】当1a =时，20x y +=与220x y ++=的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”，则满足()120a a +-=，
解得：2a =-或1，经验证，：2a =-或1时，两直线不重合，故：2a =-或1，两直线平行，故必要性不成立.
故选：A
7．（2022·重庆九龙坡·高二期末）若直线1:l 30x y m ++=与直线2:70l mx y --=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为_____．
【解析】由题设，30m +=，即3m =-，
所以1:l 330x y +-=，2:370l x y ++=，
所以直线
1l 与2l =
8．（2022·四川南充·高二期末（文））“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【解析】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，
所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A
9．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）已知0a >、0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，
2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则
1112a b ++的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．25
D ．45
【解析】因为0a >、0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，
所以240b a +-=，即24a b +=，
所以(1)25a b ++=，所以
[]1(1)215a b ++=， 所以[]11111(1)212512a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭
1122521a b b a ⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦14255
⎡≥+=⎢⎣， 当且仅当
1221a b b a +=+，即35,24a b ==时，取等号， 所以1112a b ++的最小值为45
， 故选：D
10．【多选】（2022·河北保定·高二期末）已知两条直线1l 、2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（ ）
A ．若12//l l ，则6a =
B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为72
C ．若12l l ⊥，则323
a = D ．若6a ≠，则直线1l 、2l 一定相交
【解析】若12//l l ，则8113412
a -=≠，6a ∴=，A 正确； 由A 知，2:68110l x y +-=，直线1l 的方程可化为68240x y ++=，故两条平行直线之间的距离为
72
=，B 正确；
由12l l ⊥，则3480a +⨯=，323
a ∴=-，C 不正确； 由A 知6a =时，12//l l ，所以6a ≠时，则直线1l 、2l 一定相交，D 正确．
故选：ABD ．
题型三 求直线的方程
11．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）
A
．y = B
．2y =- C
．1y =+ D
．3y =+
【解析】由题意知：直线l
l
的方程为1y +.
故选：C.
12．（2022·广东深圳·高二期末）过点2(1)A ，
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．10x y -+=
B ．30x y +-=
C ．20x y -=或+30x y -=
D ．20x y -=或10x y -+=
【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为2y x =，即2x －y ＝0； 当直线不过原点时，设方程为1x y a a
-＋＝， ∵直线过(1，2)，∴
121a a
-＝，∴1a -＝，∴方程为10x y -＋＝， 故选：D ﹒ 13．（2022·广东汕尾·高二期末）瑞士数学家欧拉（Euler ）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()4,0A -，()0,4B ，()2,0C ，则ABC 欧拉线的方程为______．
【解析】因ABC 的顶点()4,0A -，()0,4B ，()2,0C ，则ABC 的重心24(,)33
G -，
显然ABC 的外心M 在线段AC 中垂线1x =-上，设(1,)M a -，
由||||MA MB =
1a =，即点(1,1)M -，直线413:1(1)213MG y x --=+-+，化简整理得：20x y -+=，
所以ABC 欧拉线的方程为20x y -+=.
故答案为：20x y -+=
14．（2022·安徽宣城·高二期末）已知直线l 经过直线1:240l x y +-=，2:43100l x y +-=的交点M ．
(1)若直线l 与直线0:210l x y -+=平行，求直线l 的方程；
(2)若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求AOB 的面积（其中O 为坐标原点）．
【解析】(1)由24043100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩
， 所以点M 的坐标为)(1,2，
因为0l l ∥，则设直线l 的方程为20x y t -+=，
又l 过点)(1,2，代入得3t =，故直线l 方程为230x y -+=.
(2)设)(,0A a ，)(0,B b ，因为)(1,2M 为线段AB 的中点，则
01,2022a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以24a b =⎧⎨=⎩，故)(2,0A ，)(0,4B ， 则AOB 的面积为1124422
OA OB ⨯⋅=⨯⨯=. 15．（2022·重庆市青木关中学校高二期末）已知直线l 过定点()2,1A
(1)若直线l 与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程；
(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．
【解析】(1)直线250x y +-=的斜率为12
-，于是得直线l 的斜率2k =，则12(2)y x -=-，即230x y --=， 所以直线l 的方程是：230x y --=.
(2)因直线l 在两坐标轴上的截距相等，则当直线l 过原点时，直线l 的方程为：12
y x =，即20x y -=， 当直线l 不过原点时，设其方程为：1x y a a +=，则有211a a
+=，解得3a =，此时，直线l 的方程为：30x y +-=，所以直线l 的方程为：20x y -=或30x y +-=.
题型四 直线的交点坐标和距离问题
16．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线1:10l x y -+=，2:20l x -=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（ ）
A ．3410x y --=
B ．3410x y -+=
C ．4310x y --=
D ．4310x y -+=
【解析】由于所求出直线与直线3450x y +-=垂直，所以设所求直线为430x y m -+=，
由1020x y x -+=⎧⎨-=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩
，即1l 和2l 的交点为(2,3)， 因为直线430x y m -+=过点(2,3)，
所以890m -+=，得1m =，
所以所求直线方程为4310x y -+=，
故选：D
17．（2022·广东汕尾·高二期末）点P 为x 轴上的点，()1,2A ，()3,4B ，以A ，B ，P 为顶点的三角形的面积为8，则点P 的坐标为（ ）
A ．()7,0或()9,0-
B ．()7,0或()11,0-
C ．()7,0或()9,0
D ．()11,0-或()9,0-
【解析】设(),0P x ，直线AB 的方程为10x y -+=，
点P 到直线AB 的距离d =AB =
所以182S =⨯=，解得：9x =-或7x =， 所以点P 的坐标为()7,0或()9,0-.
故选：A
18．（2022·上海虹口·高二期末）已知点(,)M a b 在直线512260x y -+=
________．(0,0)到点(,)M a b 的距离，
又∵点(,)M a b 在直线512260x y -+=上，
(0,0)到直线512260x y -+=的距离， 且
2==d .
故答案为：2.
19．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））与直线30x y ++=平行，且距离为直线方程为______．
【解析】由题意，设所求直线方程为()03x y c c ++=≠，
因为直线()03x y c c ++=≠与直线30x y ++=的距离为
=9c =或3c =-，
所以所求直线方程为90x y ++=或30x y +-=，
故答案为：90x y ++=或30x y +-=.
20．（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）若两条平行线340x y m -+=与3410x y -+=之间的距离是2，则m 的值为（ ）
A ．9-或11
B ．8-或10
C ．7-或12
D ．8-或11
【解析】因为两条平行线340x y m -+=与3410x y -+=之间的距离是2，
211011m m =⇒-=⇒=，或9m =-，
故选：A
题型五 直线的综合问题
21．（2022·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ）
A ．(4,0)-
B ．(2,2)--
C ．(3,1)-
D ．(4,2)--【解析】设(,)C m n ，由重心坐标公式得， 三角形ABC 的重心为2(
3m +，4)3n +， 代入欧拉线方程得：242033
m n ++-+=， 整理得：40m n -+=①
AB 的中点为(1,2)，40202
AB k -==--， AB 的中垂线方程为12(1)2
y x -=-，即230x y -+=． 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩
． ABC ∴的外心为(1,1)-．
则2222(1)(1)3110m n ++-=+=，
整理得：22228m n m n ++-=②
联立①②得：4m =-，0n =或0m =，4n =．
当0m =，4n =时B ，C 重合，舍去．
∴顶点C 的坐标是(4,0)-．
故选：A ．
22．（2022·山东淄博·高二期末）已知：()0,4A ，()0,4B -，()4,0C ，()0,2E ，()0,2F -，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点），则FD 斜率的取值范围是（ ）
A ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
D ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】由题意可知：直线BC 的方程为4y x =- ，直线AC 的方程为4y x =-+，如图：
设()0,2F -关于直线BC 的对称点为(,)P a b ，则+21242
2b a b a ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩, 解得24a b =⎧⎨=-⎩
，故()2,4P -，
同理可求()2,4P -关于直线AC 的对称点为(8,2)M ,
连接,MA ME ,ME 交AC 于N ，
而MN 方程为y =2,联立24y y x =⎧⎨=-+⎩
得N 点坐标为(2,2)N ， 连接,PA PN ，分别交BC 于,H G ,
PA 方程为：44y x =-+，和直线BC 方程4y x =-联立，
解得H 点坐标为812()55
H -，, PN 的方程为x =2,和直线BC 方程4y x =-联立解得(2,2)G -，
连接,FG FH ,则,H G 之间即为动点D 点的变动范围， 而122150,84
5FG FH k k -
+===- , 故FD 斜率的取值范围是1(,0)4
- ， 故选B.
23．（2022·山西朔州·高二期末（理））设点()2,0A -和()0,3B ，在直线l ：10x y -+=上找一点P ，使PA PB +取到最小值，则这个最小值为__________
【解析】
设点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为(),C m n
线段BC 的中点3,22m n +⎛⎫ ⎪⎝⎭
在10x y -+=上 则31022m n +-+=()1
又1l BC k k ⋅=-，
311n m -⨯=-()2解()()12得，()2,1;2,1m n C ==
AC
=24．（2022·湖北省武汉市青山区教育局高二期末）已知直线方程为()21y k x +=+．
(1)若直线的倾斜角为135，求k 的值；
(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程．
【解析】(1)由题意可得()tan135tan 18045tan 451k ==-=-=-.
(2)在直线AB 的方程中，令0y =可得2k x k -=，即点2,0k A k -⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 令0x =可得2y k =-，即点()0,2B k -，
由已知可得2020
k k k -⎧<⎪⎨⎪-<⎩，解得0k <，所以，()()()2
212114142442222AOB k k S k k k k k k k --⎛⎫⎡⎤=-⋅=-⋅=-+-=-++ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦△
1442⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当2k =-时，等号成立，此时直线的方程为()221y x +=-+，即240x y ++=. 25．【多选】（2022·重庆·高二期末）对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有
（ ）
A ．1l 2l 的充要条件是3a =
B ．当25a =
时，12l l ⊥ C ．直线1l 一定经过点()3,0M
D ．点()1,3P 到直线1
l 的距离的最大值为5
【解析】当1l 2l 时，(1)60a a --= 解得3a = 或2a =-，
当2a =-时，两直线为530,03x y x y -+=-+
= ，符合题意； 当3a =时，两直线为3290,320x y x y ++=+= ，符合题意，故A 错误；
当25a =时，两直线为530,153130x y x y ++=-+=，121515
l l k k ⋅=-⨯=- ， 所以12l l ⊥，故B 正确；
直线1:230l ax y a ++=即直线(3)20a x y ++=，故直线过定点()3,0-，C 错误； 因为直线1:230l ax y a ++=过定点()3,0-，当直线1:230l ax y a ++=与点()1,3P 和()3,0-的连线垂直时，()
1,3P 到直线1l 5 ，
故D 正确，
故选：BD.
题型六 求圆的方程
26．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l ：x
+2=0，一个圆的圆心C 在x 轴正半轴上，且该圆与直线l 和y 轴均相切．
(1)求该圆的方程；(2)若直线x + my -1=0与圆C 交于 A 、B 两点，且|AB |=m 的值．
【解析】
(1)
设圆心为(),0a ，0a >，
a =，
解得：2a =或23
a =-（舍去）， 故该圆的方程为()2224x y -+=
(2)
圆心()2,0到直线10x my +-=的距离为
d =
，
由垂径定理得：22
2=， 解得：0m =
27．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆D 经过点A （-1，0），B （3，0），C （1，2）.
(1)求圆D 的标准方程；
(2)若直线l ：3420x y+=-与圆D 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度.
【解析】
(1)
解：设圆D 的标准方程222()()x a y b r -+-=， 由题意可得222222
222(1)(0)(3)(0)(1)(2)a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩
，解得102
a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
所以圆D 的标准方程为22(1)4x y -+=； (2)
解：由（1）可知圆心()1,0D ，半径2r =，
所以圆心D （1，0）到直线l ：3420x y+=-
的距离1d =
=，
所以||MN =28．（2022·四川·高二期末）已知圆C 经过点()3,0A ，()7,4B 两点，且圆心C 在直线1l ：250x y -+=上. (1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点()0,1F 且倾斜角为π
4
的直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求四边形ABPQ 的面积.
【解析】 (1)
设圆心坐标为()25,C a a -，由r AC BC ==
解得4a =，故()3,4C ，
半径4r =
，
∴圆C 的标准方程为()()2
2
3416x y -+-=. (2)
由2l 过点()0,1F 且倾斜角为π4，可得2l 的斜率2π
tan 14
l k ==
则2l 的方程为：10x y -+=
经过点()3,0A ，()7,4B 两点的直线斜率为40
173
AB k -==-， 则直线AB 的方程为30x y --=，则AB PQ ∥ 又圆心()3,4C 在直线2l 上，所以PQ 为圆C 的直径
则8PQ =，又8AB ==≠ 则四边形ABPQ 为梯形，
梯形ABPQ 的高即为1l 与2l 之间的距离d ==
故()
1
882
ABPQ S =⨯⨯+梯形29．（2022·重庆·高二期末）已知点(2,1)M -，直线:330l ax y -+=，圆22:2430C x y x y ++-+=. (1)若连接点M 与圆心C 的直线与直线l 垂直，求实数a 的值；
(2)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB ，求实数a 的值． 【解析】(1)圆()2
2:1)22C x y ++-=（，(12C ∴-，），1MC k ∴=-，3
l a k =
，
l MC ⊥， ()113
a
∴⋅-=-，3a ∴=(2)圆C ，设圆心C 到直线AB 的距离为d ，
则d =
又由点到直线距离公式得：d =
化简得：21090a a -+=，解得：1a =或9a = 所以实数a 的值为1和9.
30．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线22220x y x my ++++=表示圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞
B ．[)2,+∞
C ．()(),22,∞∞--⋃+
D ．(][),22,-∞-+∞
【解析】22280,2m m +-><-或2m >. 故选：C.
题型七 点和圆的位置关系
31．（2022·山东青岛·高二期末）点()2,1a a -在圆222120x y y +--=的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1
95
a -<<
B ．915a -<<
C ．9
15
a -<<
D ．1
95
a -<<
【解析】因为222120x y y +--= ，所以()2
2113x y +-= ，由于点()21a a -， 在圆 内
所以()()2
2
2213a a +-<，所以()()2
5495910a a a a --=-+<，所以915
a -<<
故选：B
32．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高二期末）已知圆22:240C x y x y a +-+-=，点(3,0)P ． （1）若点P 在圆C 外部，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，过点P 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，求
ABC ∆面积的最大值及此时直线l 的斜率．
【解析】（1）根据题意，圆22:240C x y x y a +-+-=，即22(1)(2)5x y a -++=+，
若P 在圆外，则有50445a a +>⎧⎨+>+⎩，
解得：53a -<<， 即a 的取值范围为()5,3-；
（2）当1a =-时，圆C 的方程为22(1)(2)4x y -++=，圆心为(1,2)-，半径2r =， 设ACB θ∠=，则1
22sin 2sin 2
ABC S θθ∆=⨯⨯⨯=，
当90θ=︒时，ABC ∆面积取得最大值，且其最大值为2，此时ABC ∆为等腰直角三角形，圆心到直线l 的距
离d =
设直线l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=，
则有
d 2k =
即直线l 的斜率2k =
33．（2022·吉林·长春十一高高二期末）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆的位置关系是（ ） A ．点P 在圆上 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆内
D ．以上都有可能
【解析】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点， 所以圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离小于半径1，即
1d =
，
1>，所以221a b +>， 所以点(),P a b 与圆221x y +=外， 故选：B
34．（2022·四川遂宁·高二期末（文））过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范
围是（ ） A ．2k > B ．07k << C ．7k <
D ．27k <<
【解析】把圆的方程化为标准方程得()()2
2
127x x k ++-=-，即圆心坐标为()1,2-，半径为r =
点(1,1)P 到圆心的距离为d =
=
∵P 在圆外时，过点P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，
∴d
r >且70k ->，
解得27k <<， 故选：D .
35．（2022·北京八中高二期末）已知点(2,1)A --和()2,3B ，圆222:C x y m +=，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，则实数m 的取值范围为___________．
【解析】当点(2,1)A --和()2,3B 都在圆的内部时，224149m m ⎧>+⎨>+⎩
，解得m >m <直线AB 的方程为
12
3122
y x ++=++，即10x y -+=
圆心(0,0)到直线AB 的距离为
d =
(0,0)到直线AB 的距离大于半径时，
||0,222
m m >≠-<<
，且0m ≠.
综上，实数m 的取值范围为(,)22⎛⎫⎛-∞⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：(,)⎛⎫⎛-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
题型八 直线和圆的位置关系
36．（2022·上海徐汇·高二期末）直线0x =绕原点按逆时针方向旋转30后所得的直线l 与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）
A ．直线l 过圆心
B ．直线l 与圆相交，但不过圆心
C ．直线l 与圆相切
D ．直线l 与圆无公共点
【解析】直线0x -=过原点，倾斜角为30，依题意，直线l 的倾斜角为60︒，
而l 过原点，
因此，直线l
0y -=，又圆22(2)3x y -+=的圆心为(2,0)
(2,0)到直
线l
=l 与圆相切.
故选：C
37．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若p “直线y x b =+与圆221x y +=相交”，:q “22b -<<”，则p 是q 的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】直线+=y x b 与圆221x y
+=
1，解得b
且{{}||22-<<b b b b ，
∴“直线+=y x b 与圆221x y +=相交”是“22b -<<”的充分而不必要条件. 故选：B.
38．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）直线0x y m -+=与圆222x y +=相切，则实数m 等于（ ） A ．2
B ．2-
C
．-D ．2±
【解析】因为直线0x y m -+=与圆2
2
2x y +
=
=2m =，故2m =±
故选：D
39．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k ，直线l ：0kx y k t --+=与圆C ：2210x y +=有公共点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[3,0)- B ．[3,3]- C ．(,3](0,3]-∞-
D ．(,3)[0,3]-∞-
【解析】由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ，则直线l 过定点(1,)t ， 因为直线l ：kx y k t --+0=与圆C ：2210x y +=有公共点， 所以定点(1,)t 在圆C 上或圆C 内，可得22110t +≤，解得33t -≤≤， 故选：B
40．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：
222420170x y x y +---=，则
ab
a b
+的最大值为（ ）
A ．3+
B ．3-
C
D ．16
【解析】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，
直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>， 11112
()(2)33a b b a
a b ab a b a b a b
+∴
=+=++=++≥，
3
ab a b ∴
≤=-+2b a a b =，即212
b a ==，ab a b +的最大值
为3- 故选：B
题型九 圆的切线问题
41．（2022·广东广州·高二期末）过点(2,2)作圆22(1)5x y -+=的切线，则切线方程为（ ） A ．220x y B ．32100x y +-= C ．260x y +-=
D ．2x =或260x y +-=
【解析】将点(2,2)代入22(1)5x y -+=中，22(21)25-+=成立， 即点(2,2)在圆上，
圆心(1,0)和(2,2)连线的斜率为
20
221
-=- ， 故过圆22(1)5x y -+=上点(2,2)的切线的斜率为1
2- ，
则切线方程为1
2(2)2
y x -=--，即260x y +-=，
故选：C
42．（2022·天津河北·高二期末）过点()2,1P 作圆22:1C x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ） A ．4350x y --= B ．4390x y --= C ．1y =或4350x y --=
D ．1y =或4390x y --=
【解析】圆22:1C x y +=的圆心为原点，半径为1，
当切线l 的斜率不存在时，即直线的方程为2x =，不与圆C 相切，
当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=1=，解得0k =或
43
k =
所以切线l 的方程为1y =或4350x y --= 故选：C
43．（2022·广东揭阳·高二期末）过点()3,1P 作圆()2
2:11C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ；
(1)求直线AB 的方程；
(2)若M 为圆上的一点，求MAB △面积的最大值．
【解析】(1)圆22:(1)1C x y -+=的圆心坐标为(1,0)C ，半径为1，
则PC 的中点坐标为1(2,)2
N ，||PC ∴以N 为圆心，PC 为直径的圆的方程为221
5(2)()2
4
x y -+-=，
由22(1)1x y -+=，得2220x y x +-=①，
由2215(2)()2
4
x y -+-=，得22430x y x y +--+=②， ①-②得：230x y +-=． ∴直线AB 的方程为230x y +-=；
(2)
圆心(1,0)C 到直线230x y +-=的距离为
d =
=
故圆上的点M 到直线230x y +-=的距离的最大值为1 ，
而||AB = ,
故MAB △面积的最大值为12
(1(125
+= .
44．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆C ：224210x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（ ）
A B C D 【解析】圆C ：224210x y x y +--+=化为标准方程：()()2
2
214-+-=x y ，其圆心()2,1C ,半径2r =. 过点P 引圆C 的两条切线,切点分别为点A 、B ,如图：
在△PAC 中,有11||||||||222PAC
AB S
CA AP CP =⨯⨯=⨯⨯，即||||||4
AB AP CP =⨯，变形可得：4||
||||
AP AB CP =
.
设||CP x =，则||AB ==
所以当||CP 的值即x 最小时，24
x
的值最大，此时||AB 最小.
而||CP 的最小值为点C 到直线4y =的距离，即min ||3CP =，
所以min ||AB ==. 故选：B
45．（2022·全国·高二期末）若曲线y 与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．(1，＋∞)
D ．(1，3]
【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y (0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过A (2，4)，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，
＝2，
解得k ＝3
4
；当直线l 过B 点时，直线l 的斜率k ＝
40122-=-(-)，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数
k 的取值范围为3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
.
故选：A.
题型十 圆的弦长问题
46．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知直线30x y -+=与圆()2
219x y -+=相交于,A B 两点，则AB =__________．
【解析】根据圆的方程：()2
219x y -+=，圆心坐标()1,0，半径3r =，
∴圆心到直线距离
d =
=
所以2AB ===， 故答案为：2.
47．（2022·河北保定·高二期末）已知圆C 过点()1,3A 、()2,2B ，且圆周被直线370x y ++=平分． (1)求圆C 的标准方程；
(2)已知过点()4,5-的直线l 被圆C 截得的弦长为l 的方程． 【解析】(1)解：由题意得：
∵(1,3)A ，(2,2)B ，且直线370x y ++=过圆心∴AB 的中点坐标为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
又32
112
AB k -=
=--
∴AB 的垂直平分线方程为53
22
y x -
=-，即10x y -+= 联立37010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得2
1x y =-⎧⎨
=-⎩
∴圆C 的圆心坐标为(21)--，，5r ==
则圆C 的标准方程为22(2)(1)25x y +++=． (2)
当斜率存在时，设直线方程为5(4)y k x -=+，即450kx y k -++=．
圆心(2,1)--，到直线的距离2d ==
=
解得4
3
k =-
∴直线l 的方程为4310x y ++= 当斜率不存在时，4x =-也满足条件 则直线l 的方程为4310x y ++=或4x =-．
48．（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知圆22:430C x y x +-+=. (1)求过点M （2，1）的圆的切线方程；
(2)直线l 过点31,22N ⎛⎫
⎪⎝⎭
且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(3)已知圆E 的圆心在直线y =1上，与y 轴相切，且与圆C 相外切，求圆E 的标准方程. 【解析】(1)圆22:430C x y x +-+=， 即22(2)1x y -+=， 其圆心为C (2,0)，半径为1. 因为点（2，1）在圆上，如图， 所以切线方程为y =1；
(2)
由题意得，圆的直径为2， 所以直线l 过圆心(2,0)C ，。