(汇总3份试卷)2018年天津市九年级上学期数学期末练兵模拟试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数()2
2y x =--的图像上两点()1,A a y ，()21,B y ，其中1a <，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．无法判断
【答案】B 【分析】由二次函数()22y x =--可知，此函数的对称轴为x ＝2，二次项系数a ＝−1＜0，故此函数的图象开口向下，有最大值；函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越大，故可求解．
【详解】函数的对称轴为x ＝2，二次函数()22y x =--开口向下，有最大值，
∵1a <，
A 到对称轴x ＝2的距离比
B 点到对称轴的距离远，
∴12y y <
故选：B ．
【点睛】
本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象性质． 2．如图，已知ABC 与DEF 位似，位似中心为点,O 且ABC 的面积与DEF 面积之比为9:4，则:AO DO 的值为（ ）
A ．3:2
B ．3:5
C ．9:4
D ．9:5
【答案】A 【分析】根据位似图形的性质得到AC ：DF=3：1，AC ∥DF ，再证明ACO △∽DFO ，根据相似的性质进而得出答案．
【详解】∵ABC 与DEF 位似，且ABC 的面积与DEF 面积之比为9：4，
∴AC ：DF=3：1，AC ∥DF ，
∴∠ACO=∠DFO ，∠CAO=∠FDO ，
∴ACO △∽DFO ，
∴AO ：OD=AC ：DF=3：1．
故选：A．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，及相似三角形的判定与性质，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
3．一元二次方程220
-+=的一根是1，则a的值是（）
x ax
A．3B．-3C．2D．-2
【答案】A
x=代入方程，求出a的值．
【解析】将1
x=代入方程得
【详解】将1
a
-+=
120
a=
解得3
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了求一元二次方程系数的问题，掌握代入求值法求解a的值是解题的关键．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．5，2，8
【答案】B
【解析】根据三角形三边关系定理得出：如果较短两条线段的和大于最长的线段，则三条线段可以构成三角形，由此判定即可．
【详解】A．1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误；
B．2+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；
C．3+4=7，不能构成三角形，故此选项错误；
D．5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．5．方程2=3
x x的解是（）
A．0 B．3 C．0或–3 D．0或3
【答案】D
【解析】运用因式分解法求解.
x x得x(x-3)=0
【详解】由2=3
所以，x1=0,x2=3
故选D
【点睛】
掌握因式分解法解一元二次方程.
6．方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．1x＝﹣5，2x＝3 D．1x＝5，2x＝3
【答案】D
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵2x（x﹣5）＝6（x﹣5）
2x（x﹣5）﹣6（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（2x﹣6）＝0，
则x﹣5＝0或2x﹣6＝0，
解得x＝5或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）
A．35B．45C．55D．75
【答案】A
【解析】试题分析：根据∠ABD的度数可得：弧AD的度数为110°，则弧BD的度数为70°，则∠BCD的度数为35°.
考点：圆周角的性质
8．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.
【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径10OB =，水面宽12AB =，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）
A ．3
B ．4
C ．33
D ．8 【答案】D
【分析】根据垂径定理，OC ⊥AB ，故OC 平分AB ，由AB=12，得出BC=6，再结合已知条件和勾股定理，求出OC 即可．
【详解】解：∵OC ⊥AB ，AB=12
∴BC=6
∵10OB =
∴22221068OB BC --=
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，能够熟悉定理以及准确的运算是解决本题的关键．
10．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为( )
A ．23
B ．13
C ．12
D ．14
【答案】C
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可
【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到颜色相同的球结果共有2种，
∴两次都摸到颜色相同的球的概率为21 42 .
故选C．
【点睛】
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
11．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是9
4
，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）
A．2
3
B．
81
16
C．
9
4
D．
3
2
【答案】D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是9
4
，
∴△ABC与△DEF的相似比为3
2
，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为3
2
，
故选D．
【点睛】
考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12．如图，在▱ABCD 中，若∠A+∠C=130°，则∠D 的大小为（）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【答案】D
【解析】根据平行四边形对角相等,邻角互补即可求解.
【详解】解：在▱ABCD 中，∠A=∠C,∠A+∠D=180°
, ∵∠A+∠C=130°，
∴∠A=∠C=65°,
∴∠D=115°,
故选D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知m ，n 是一元二次方程2230x x --=的两根，则m n mn ++=________.
【答案】-1
【分析】根据根与系数的关系求出m+n 与mn 的值，然后代入m n mn ++计算即可.
【详解】∵m ，n 是一元二次方程2230x x --=的两根，
∴m+n=2，mn=-3，
∴m n mn ++=2-3=-1.
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a
⋅= . 14．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k ，则既能使函数y ＝
k x 的图象经过第一、第三象限，又能使关于x 的一元二次方程x 2﹣kx+1＝0有实数根的概率为_____． 【答案】16
． 【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k 的值，然后确定使方程有实数根的k 值，找到同时满足两个条件的k 的值即可．
【详解】解：这6个数中能使函数y ＝k x
的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数， ∵关于x 的一元二次方程x 2﹣kx+1＝0有实数根，
∴k 2﹣4≥0，
解得k ≤﹣2或k ≥2，
能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2这3个数，
∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，
∴此概率为1
6
，
故答案为：1
6
．
15．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____．
【答案】1
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a+1≠0，即a≠﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．16．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c=0的解是_________．
【答案】
1
5 =
x，
21
x=-
【详解】解：由图象可知对称轴x=2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x=2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是-1．
所以
1
5 =
x，
21
x=-．
故答案是：
1
5 =
x，
21
x=-．
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．17．如图是抛物线y=-x2+bx+c的部分图象，若y＞0，则x的取值范围是_______________．
【答案】－3＜x＜1
【分析】从抛物线y=-x2+bx+c的部分图象可求抛物线的对称轴，抛物线与x轴的右交点为（1,0），利用对称性可求左交点（x1,0），抛物线开口向下，函数值y＞0，自变量应在两根之间即可．
【详解】从抛物线y=-x2+bx+c的部分图象知抛物线的对称轴为x=-1，抛物线与x轴的右交点为（1,0），由抛物线的对称性可求左交点（x1,0）则1-（-1）=-1-x1，x1=-3，左交点（-3，0），抛物线开口向下，由y＞0，则x的取值范围在两根之间即-3<x<1
故答案为：-3<x<1．
【点睛】
本题考查函数值大于0，自变量的取值范围问题，关键是抓住部分图象信息，对称轴，开口方向，右交点，会求对称轴，能利用对称轴求左交点，会结合图像找y>0时自变量在两根之间．
18．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】1 6
【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y （元）与每天的销售量为x （件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．
（1）求每件销售单价y （元）与每天的销售量为x （件）的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）设该公司日销售利润为P 元，求每天的最大销售利润是多少元？
（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m （m ≤40）元．在获得国家每件m 元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m
的取值范围是 （直接写出结果）．
【答案】（1）y ＝﹣1100
x+70，自变量x 的取值范围1000≤x ≤2500；见解析；（2）每天的最大销售利润是22500元；见解析；（3）20≤m ≤1．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设每件销售单价y （元）与每天的销售量为x （件）的函数关系式为y ＝kx+b ，
把()150055，
与()200050，代入y ＝kx+b 得， 150055200050k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：110070
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴每件销售单价y （元）与每天的销售量为x （件）的函数关系式为y ＝﹣1100x+70， 当y ≥45时，﹣1100
x+70≥45，解得：x ≤2500， ∴自变量x 的取值范围1000≤x ≤2500；
（2）根据题意得，
P ＝()()2211140704030150022500100100100y x x x x x x ⎛⎫-=-
+-=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵﹣1100
＜0，P 有最大值， 当x ＜1500时，P 随x 的增大而增大，
∴当x ＝1500时，P 的最大值为22500元，
答：每天的最大销售利润是22500元；
（3）由题意得，P ＝()2117040+30100100x m x x m x ⎛⎫-+-=-++ ⎪⎝⎭
， ∵对称轴为x ＝()5030+m ，
∵1000≤x ≤2500，
∴x 的取值范围在对称轴的左侧时P 随x 的增大而增大，
()5030+m ≥2500，
解得：m ≥20，
∴m 的取值范围是：20≤m ≤1．
故答案为：20≤m ≤1．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与二次函数的综合应用，关键是根据题意得到一次函数表达式，然后根据条件得到关于利润与销量的二次函数表达式，进而利用二次函数的性质求最值．
20． “渝黔高速铁路”即将在2017年底通车，通车后，重庆到贵阳、广州等地的时间将大大缩短.9月初，铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行，现两种列车同时从重庆出发，以各自速度匀速向A 地行驶，乙列车到达A 地后停止，甲列车到达A 地停留20分钟后，再按原路以另一速度匀速返回重庆，已知两种列车分别距A 地的路程y(km)与时间x(h)之间的函数图象如图所示.当乙列车到达A 地时，则甲列车距离重庆_____km.
【答案】300
【分析】先设乙列车的速度为x /km h ，甲列车以y /km h 的速度向A 地行驶，到达A 地停留20分钟后，以z /km h 的速度返回重庆，依据题意列方程，求得未知数的值，进而得到重庆到A 地的路程，以及乙列车到达A 地的时间，最后得出当乙列车到达A 地时，甲列车距离重庆的路程.
【详解】解：设乙列车的速度为x /km h ，甲列车以y /km h 的速度向A 地行驶，到达A 地停留20分钟
后，以z /km h 的速度返回重庆，则
根据3小时后，乙列车距离A 地的路程为240km ，而甲列车到达A 地，可得32403x y +=，① 根据甲列车到达A 地停留20分钟后，再返回重庆并与乙列车相遇的时刻为4小时，可得20124060x z ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，② 根据甲列车往返两地的路程相等，可得2020333
60z y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，③ 由①②③，可得120x =，200y =，180z =，
∴重庆到A 地的路程为3200600⨯=（km ），
∴乙列车到达A 地的时间为6005120
=（h ）， ∴当乙列车到达A 地时，甲列车距离重庆的路程为1600531803003⎛
⎫---⨯= ⎪⎝⎭（km ），
故答案为：300.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，解决问题的关键是依据等量关系，列方程求解．
21．如图，在Rt ACB △中，∠ACB ﹦90°CD AB ⊥
(1)求证.ADC ∽ACB △
(2)若13BC =， 12BD =， 求AB 的长．
【答案】（1）见解析；（2）16912
【解析】（1）由题意直接根据相似三角形的判定定理，进行分析求证即可；
（2）方法一：根据题意运用射影定理进行分析；
方法二：根据题意利用锐角三角函数进行分析求值.
【详解】解：（1）证明：∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A ，
∴△ADC ∽△ACB.
（2）方法一：运用射影定理.
∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ．
∴BC2=BD•BA，
∴
2
13169
1212 AB==.
∴方法二：巧用锐角三角函数.
在直角三角形BDC中cosB=BD BC
，
在直角三角形BCA中cosB=BC AB
，
代入得出AB=169 12
，
∴BC BD
AB BC
=，
代入得出AB=169 12
.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.注意掌握射影定理即在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
22．瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+100，w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）当销售单价为34元时，每日能获得最大利润，最大利润是1元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【解析】（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．列方程组得到y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，根据题意得到w＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）把w＝﹣2x2+136x﹣1800配方得到w＝﹣2（x﹣34）2+1．根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到即可．
【详解】解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．
则62196020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 100
=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +100，
∴y 关于x 的函数表达式y ＝﹣2x +100，
∴w ＝（x ﹣18）•y ＝（x ﹣18）（﹣2x +100）∴w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800；
（2）∵w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800＝﹣2（x ﹣34）2+1．
∴当销售单价为34元时，
∴每日能获得最大利润1元；
（3）当w ＝350时，350＝﹣2x 2+136x ﹣1800，
解得x ＝25或43，
由题意可得25≤x ≤32，
则当x ＝32时，18（﹣2x +100）＝648，
∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式．
23．把二次函数表达式2y x 4x c =-+化为()2
y x h k =-+的形式.
【答案】()2y x 2c 4=-+-
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可． 【详解】解：2
4y x x c =-+ =x 2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为()2y x 2c 4=-+-．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；
（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；
（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ， ①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值. 【答案】（1）B （0，2），2410233y x x =-++；（2）①点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）；②m=-1或m=14
-或m=12. 【分析】(1)把点(3,0)A 代入23y x c =-+求得c 值，即可得点B 的坐标；抛物线243
y x bx c =-++经过点
，即可求得b 值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M （m ，0），可得N(2410233z m m m -++)，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M 的坐标；②分N 为PM 的中点、P 为NM 的中点、M 为PN 的中点3种情况求m 的值. 【详解】（1）直线23y x c =-
+与轴交于点(3,0)A ， ∴2303
c -⨯+=，解得c=2 ∴B （0，2），
∵抛物线243
y x bx c =-
++经过点(3,0)A ， ∴2433203b -⨯++=，∴b=103
∴抛物线的解析式为2410233
y x x =-++； （2）∵MN x ⊥轴，M （m ，0），∴N(2410233
z m m m -++) ①有（1）知直线AB 的解析式为223y x =-+，OA=3，OB=2 ∵在△APM 中和△BPN 中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，
若使△APM 中和△BPN 相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°，
分两种情况讨论如下：
（I ）当∠NBP=90°时，过点N 作NC
轴于点C ， 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ， BC=22410410223333m m m m -++-=-+ ∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，
∴∠BNC=∠ABO ，
∴Rt △NCB ∽ Rt △BOA
∴NC CB OB OA =,即24103323
m m m -+=，解得m=0（舍去）或m=118 ∴M （118，0）； （II ）当∠BNP=90°时， BN
MN ， ∴点N 的纵坐标为2，
∴24102233
m m -++= 解得m=0（舍去）或m=52
∴M （52
，0）； 综上，点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）； ②由①可知M(m,0),P(m,223m -
+),N(m,2410233m m -++)， ∵M，P ，N 三点为“共谐点”，
∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，
当P 为线段MN 的中点时,则有2(223m -
+)=2410233m m -++,解得m=3(三点重合,舍去)或m=12
； 当M 为线段PN 的中点时,则有223m -++(2410233
m m -++)=0,解得m=3(舍去)或m=−1； 当N 为线段PM 的中点时,则有223m -+=2(2410233m m -++),解得m=3(舍去)或m=14
-； 综上可知当M,P,N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或−1或14-. 考点：二次函数综合题.
25．如图，直线y ＝﹣x+b 与反比例函数y ＝
k x
的图形交于A （a ，4）和B （4，1）两点 （1）求b ，k 的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝k
x
（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围；
（3）将直线y＝﹣x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线没有交点时，求m的取值范围．
【答案】（2）b＝5，k＝4；（2）2
2
3
y；（3）2＜m＜2．
【分析】（2）把B（4，2）分别代入y＝﹣x+b和y＝k
x
，即可得到b，k的值；
（2）根据反比例函数的性质，即可得到函数值y的取值范围；
（3）将直线y＝﹣x+5向下平移m个单位后解析式为y＝﹣x+5﹣m，依据﹣x+5﹣m＝4
x
，可得△＝（m
﹣5）2﹣26，当直线与双曲线只有一个交点时，根据△＝0，可得m的值．【详解】解：（2）∵直线y＝﹣x+b 过点B（4，2），
∴2＝﹣4+b，
解得b＝5，
∵反比例函数y＝k
x
的图象过点B（4，2），
∴k＝4；
（2）∵k＝4＞0，
∴当x＞0 时，y 随x 值增大而减小，
∴当2≤x≤6 时，
2
3
≤y≤2；
（3）将直线y＝﹣x+5 向下平移m 个单位后解析式为y＝﹣x+5﹣m，
设直线y＝﹣x+5﹣m 与双曲线y＝4
x
只有一个交点，
令﹣x+5﹣m＝4
x
，整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，
∴△＝（m﹣5）2﹣26＝0，
解得m＝2 或2．
∴直线与双曲线没有交点时，2＜m＜2．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换以及一元二次方程根与系数的
关系的运用，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
26．如图，直线y ＝ax+b 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，﹣2），与反比例函数y ＝k
x （x ＞0）的图象交于点C （6，m ）．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）连接OC ，在x 轴上找一点P ，使△OPC 是以OC 为腰的等腰三角形，请求出点P 的坐标； （3）结合图象，请直接写出不等式k x
≥ax+b 的解集．
【答案】（1）y ＝
12
x ﹣1；y ＝6x ；（1）点P 137，0），点P 137，0），（11，0）；（3）0＜x≤2 【解析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C 的坐标，由点C 的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D 点，利用勾股定理看求出OC 的长，分OC ＝OP 和CO ＝CP 两种情况考虑：①当OP ＝OC 时，由OC 的长可得出OP 的长，进而可求出点P 的坐标；②当CO ＝CP 时，利用等腰三角形的性质可得出OD ＝PD ，结合OD 的长可得出OP 的长，进而可得出点P 的坐标； （3）观察图形，由两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式k x
≥ax+b 的解集． 【详解】解：（1）将A （4，0），B （0，﹣1）代入y ＝ax+b ，得：
402a b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AB 的函数表达式为y ＝12
x ﹣1． 当x ＝2时，y ＝12
x ﹣1＝1， ∴点C 的坐标为（2，1）．
将C（2，1）代入y＝k
x
，得：1＝
6
k
，
解得：k＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝6
x
．
（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D点，则OD＝2，CD＝1，∴OC＝22
OD CD37
+=．
∵OC为腰，
∴分两种情况考虑，如图1所示：
①当OP＝OC时，∵OC＝37，
∴OP＝37，
∴点P1的坐标为（37，0），点P1的坐标为（﹣37，0）；
②当CO＝CP时，DP＝DO＝2，
∴OP＝1OD＝11，
∴点P3的坐标为（11，0）．
（3）观察函数图象，可知：当0＜x＜2时，反比例函数y＝6
x
的图象在直线y＝
1
2
x﹣1的上方，
∴不等式k
x
≥ax+b的解集为0＜x≤2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次（反比例）函数的关系式；（1）分OC=OP和CO=CP两种情况求出点P的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
27．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，－3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P （4，m ）在抛物线上，求△PAB 的面积．
【答案】（1）y=243x x -+-；（2）3
【分析】（1）利用交点式得出y=a （x-1）（x-3），进而得出a 的值即可．
（2）把(4,)P m 代入2
43y x x =-+-，求出P 点的纵坐标，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B ∴设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =--
∵过点(0,3)C -
∴33a =-
1a =-
∴抛物线解析式为1)3)y x x =-
--(( 243x x =-+-．
（2）∵点(4,)P m 在抛物线上
∴161633P y =-+-=-
2AB = ∴12
RAB P S AB y =
⨯⨯△ 3=． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式及利用三角形的面积公式求解，解题的关键是：巧设交点式，利用待定系数法求出二次函数表达式．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．在平面直角坐标系xOy 中，点()A a,b 在双曲线2y x =-上，点A 关于y 轴的对称点B 在双曲线k y x =上，则k 2-的值为
A ．4-
B ．0
C ．2
D ．4 【答案】B
【分析】由点A （a ，b ）在双曲线2y x =-
上，可得ab=-2，由点A 与点B 关于y 轴的对称，可得到点B 的坐标，进而求出k ，然后得出答案．
【详解】解：∵点A （a ，b ）在双曲线2y x =-
上， ∴ab=-2；
又∵点A 与点B 关于y 轴对称，
∴B （-a ，b ）
∵点B 在双曲线k y x
=
上， ∴k=-ab=2；
∴2k -=2-(-2)=4；
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y 轴对称的点的坐标的特征．
2．如图，△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，使得DC ∥AB ，则∠BAE 等于（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
【答案】C 【解析】试题分析：∵DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=65°.
∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，∴∠BAE=∠CAD ，AC=AD.
∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．
故选C ．
考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．
3．已知如图ABC 中，点O 为BAC ∠，ACB ∠的角平分线的交点，点D 为AC 延长线上的一点，且
AD AB =，CD CO =，若138∠=︒AOD ，则ABC ∠的度数是（ ）
．
A ．12︒
B ．24︒
C ．48︒
D ．96︒
【答案】C 【分析】连接BO ，证O 是△ABC 的内心，证△BAO ≌△DAO ，得∠D=∠ABO ，根据三角形外角性质得∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D ，即∠ABC=∠ACO=∠BCO ，再推出∠OAD+∠D=180°-138°=42°，得∠BAC+∠ACO=84°，根据三角形内角和定理可得结果.
【详解】连接BO ，由已知可得
因为AO,CO 平分∠BAC 和∠BCA
所以O 是△ABC 的内心
所以∠ABO=∠CBO=12
∠ABC 因为AD=AB,OA=OA,∠BAO=∠DAO
所以△BAO ≌△DAO
所以∠D=∠ABO
所以∠ABC=2∠ABO=2∠D
因为OC=CD
所以∠D=∠COD
所以∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D
所以∠ABC=∠ACO=∠BCO
因为∠AOD=138°
所以∠OAD+∠D=180°-138°=42°
所以2（∠OAD+∠D ）=84°
即∠BAC+∠ACO=84°
所以∠ABC+∠BCO
=180°-（∠BAC+∠ACO ）
=180°-84°
=96°
所以∠ABC=1
2
⨯96°=48°
故选：C
【点睛】
考核知识点：三角形的内心.利用全等三角形性质和角平分线性质和三角形内外角定理求解是关键. 4．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，点P 、A 、C 都在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿过A 、C 、P 三点的圆走一周，则这个人所走的路程是（ ）
A ．22π
B ．23π
C ．25π
D ．不确定
【答案】C 【分析】根据题意作△ACP 的外接圆，根据网格的特点确定圆心与半径，求出其周长即可求解．
【详解】如图，△ACP 的外接圆是以点O 为圆心，OA 为半径的圆，
∵AC=224225+=,AP=223110+=，CP=223110+=，
∴AC 2=AP 2+CP 2
∴△ACP 是等腰直角三角形
∴O 点是AC 的中点，
∴AO=CO=OP=22125+=
∴这个人所走的路程是225r ππ=⨯⨯=25π
故选C ．
【点睛】
此题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是熟知外接圆的作法与网格的特点．
5．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )
A ．(x －2)2＝7
B ．(x ＋2)2＝1
C ．(x －2)2＝1
D ．(x ＋2)2＝2
【答案】C
【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】x 2+3=4x ，
整理得：x 2-4x=-3，
配方得：x 2-4x+4=4-3，即（x-2）2=1．
故选C.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知项移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，开方即可求出解．
6．如图,丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD,当他走到点P 时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部,当他向前再步行20 m 到达Q 点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是( )
A ．24 m
B ．25 m
C ．28 m
D ．30 m
【答案】D 【解析】由题意可得:EP ∥BD,所以△AEP ∽△ADB,所以AP EP AP PQ BQ BD
=++,因为EP=1.5,BD=9,所以1.59220
AP AP =+,解得:AP=5,因为AP=BQ,PQ=20,所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30,故选D. 点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B ．圆有无数条对称轴
C ．圆的每一条直径都是它的对称轴
D ．圆的对称中心是它的圆心
【答案】C。