河南省灵宝市第一高级中学2018届高三数学上学期第一次月清考试试题理

灵宝一高2017—2018学年度上期第一次月清考试
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.设集合{}
|24x A x =≤，集合(){}
|y lg 1B x x ==-，则A B 等于（ ）
A ．()1,2
B ．(]1,2
C ．[)1,2
D ．[]1,2
2.命题“0x R ∃∈，20010x x -->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210x x --≤ B ．x R ∀∈，210x x -->
C ．0x R ∃∈，20010x x --≤
D ．0x R ∃∈，20010x x --≥
3.直线()12x m y m ++=-和直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A. 1
B. -2
C. 1或-2
D. 23
-
4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11
a b
>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）
A ．18
B ．20
C ．21
D ．25
6.已知向量(2cos ,2sin )a θθ=，(0,2)b =-，(,)2
π
θπ∈，则向量,a b 的夹角为（ ）
A.
32
π
θ- B ．2
πθ-
C.
2πθ+
D ．θ
7.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，设1
ln
a π
=，2
(ln )b π=，c π=，当任意1x ，
2(0,)x ∈+∞时，都有[]1212()()()0x x f x f x --<，则（ ）
A ．()()()f a f b f c >>
B ．()()()f b f a f c >>
C．()()()
f c f b f a
>>D．()()()
f c f a f b
>>
8.已知数列{}n a满足2
123
2n
n
a a a a=
…（*
n N
∈），且对任意*
n N
∈都有
12
111
n
t
a a a
+++<
…，则实数t的取值范围为（）
A．
1
(,)
3
+∞B．
1
[,)
3
+∞C．
2
(,)
3
+∞D．
2
[,)
3
+∞
9.已知函数
323
()
32
ax ax x
f x
-+
=+，232
()2
g x a x ax x a
=-++（a R
∈），在同一直角坐标系中，函数'()
f x与)
(x
g的图像不可能的是（）
10. 设正实数x，y满足
1
2
x>，1
y>，不等式
22
4
121
x y
m
y x
+≥
--
恒成立，则m的最大值为（）A．22B．42C．8D．16
11设x，y满足约束条件
20
4
x y
x y
x
-≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≤
⎩
，当且仅当x＝y＝4时，z＝ax一y取得最小值，则实
数a的取值范围是（）
A．[1,1]
-B．(,1)
-∞C．(0,1)D．(,1)(1,)
-∞-+∞
12. 如果函数()
y f x
=在区间I上是增函数，而函数
()
f x
y
x
=在区间I上是减函数，那么称函数()
y f x
=是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数()2
13
22
f x x x
=-+是区间I上“缓增函数”，则“缓增函数区间”I为（）
A．[)
1,+∞B．3
⎡
⎣C．
[]
0,1D．3
⎡
⎣
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若cos 2sin 5αα+=-tan α= ．
14设直线30ax y -+=与圆22
(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23a = ．
15. 已知ABC ∆中，8,9BC AB AC =⋅=-,D 为边BC 的中点，则AD = .
16.已知数列{}n a 满足：对任意*
n N ∈均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若
{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）
设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin()sin sin a b a c
A B A B
+-=+-，3b =.
（1）求角B ； （2）若3
sin 3
A =，求ABC ∆的面积.
18. （本小题满分12分）
设数列{}n a 满足*
132(2,)n n a a n n N -=+≥∈，且12a =.
（1）证明：数列{1}n a +为等比数列；并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）设13n
n n n c a a +=，证明：411
<∑=n
i i c .
19. （本小题满分12分）
“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点的时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．
（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．
20. （本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和记为11,1,n n n S a a S n +==+，等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为
n T ，且 39T =，又 112233,,a b a b a b +++成等比数列．
（1）求 {}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13，P 4（13恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 过点（2,-1）但不经过P 2点，且与C 相交于A ，B 两点.，证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为定值.
22. （本小题满分12分） 设函数2
()ln f x a x ex
=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线()20ex e y +-=垂直。

(Ⅰ)求a 的值； （Ⅱ）证明：()1x
e f x >.
灵宝一高2018届高三第一次月考试题
数学试题（理）答案 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
1. B
2.A 3 A 4 A 5.C 6.A ．7.D 8.D ．9.B 10. C 11 B ．12. D 二、填空题：
7 16. {}1,3,67---
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）3
B π
=
；（2332
+18. （本小题满分12分）
设数列{}n a 满足*
132(2,)n n a a n n N -=+≥∈，且12a =.
（1）证明：数列{1}n a +为等比数列；并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）设13n
n n n c a a +=，证明：1
14n
n i c =<∑.
(1)证明
()*1322,n n a a n n N -=+≥∈,1+131n n a a -∴=+（
） 又12,a =+10n a ∴≠
所以数列{1}n a +为等比数列； ………………4分
13,31n n n n a a ∴+==-，………………6分
（3）)1
31
131(21)13)(13(331
11---=--==+++n n n n n n n n n a a c ………………8分 所以，=---=∑∑=+=n
i i n i i
i c 1
11)131
131(21 =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---++++ L 1311311-31-1-311-31-1-31211322n n 41
)13(21411311-312111<--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--++n n ………………12分
19.解：（1）由题意知,PA AB PA AC ⊥⊥，则,PAC PAB ∆∆均为直角三角形，．．．．．．．1分
在Rt PAC ∆中，0
1,60PA PCA =∠=，解得33
AC =
．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又0
30CAD ∠=，所以()
0331
sin sin 30210
ADC ACD -∠=+∠=．．．．．．．．．．．9分
在ADC ∆中，由正弦定理，
sin sin AC AD
ADC ACD
=
∠∠．．．．．．．．．．．．．．．．10分 sin 93
sin AC ACD AD ADC ∠+=
=∠．．．．．．．．．．．12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得
1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a 所以)1(211+=++n n a a )2(≥n 又
,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ,而21=a ，不符合上式，所以⎩
⎨⎧≥-==2,121,
2n n a n n --（3分）
因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，可设d
b d b +=-=3,331，由于7
,3,2321===a a a ，于是
d
b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，
因为
332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）
所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n ----------（6分） （Ⅱ）
()()()()
()()()()()1122332323
23232
12321521212111232522121352113252212135211123252212n n n
n n n n S a b a b a b a b n n n n n n n =++++=⨯+⨯-+⨯-+
+-⨯-⎡⎤=+⨯+⨯+⨯++-⨯-++++-⎡
⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⨯+⨯+
+-⨯-++++-⎡
⎤⎣⎦
⎣⎦⎡⎤=+⨯+⨯+⨯++-⨯-⎣
⎦
设
()()()()
()()()()232341231
11
1111
1232522122123252212222222221241222
21212
222821263226232n
n n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n n T n ++-+++++=⨯+⨯+⨯++-⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯-=+⨯+⨯++⨯--⨯-=+--⨯-=+⨯---⨯=-+-⨯=++⨯
()127232n n S n n +∴=++⨯- ----（12分）
21. （本小题满分12分）
（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由
2222
1113
4a b a b +>+
知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2
221
1,131,4b a
b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2
24,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故C 的方程为2
214
x y +=.
（2）由题知l 斜率必存在设其方程为()12y k x +=-，()()1122,,,A x y B x y
当与轴方程组()22
12,.4
y k x x y ⎧+=-⎪
⎨+⎪⎩由方程组消去y 并整理，得
()()2
2
2
221416816160k x k
k x k k +-+++=
12221222
1681616,1414k k k k
x x x x k k
+++==++
直线P2A与直线P2B的斜率的和：
()
()()
()()()
1
1
1
12122
2
1212
122
12
22
2
11
222
2161622168
1
1616
y x x y x x
y y
x x x x
kx x k x x
x x
k k k k k k
k k
+-+
--
+=
-++
=
+-++
==-
+
所以直线P2A与直线P2B的斜率的和为定值1
-.
22. （本小题满分12分）
设函数
2
()ln
f x a x
ex
=+，曲线()
y f x
=在点（1，(1)
f）处的切线与直线()20
ex e y
+-=垂直。

(Ⅰ)求a的值；
（Ⅱ）证明：()1
x
e f x>.
(Ⅰ) 1
a=；
（Ⅱ）()1
x
e f x>.等价于
2
ln x
x x xe
e
-
>-，设()ln
g x x x
=
所以()()
0,
x g x h x
>>，即
2
ln x
x x xe
e
-
>-，故()1
x
e f x>。