3最值系列之瓜豆原理 (1)

最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．
一、轨迹之圆篇
引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
A O
Q
P
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
P
Q
A M
O
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
引例2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？
O
P Q
A
【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点
轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；
考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．
M
A Q
P
O
引例3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
Q
【分析】考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ； 考虑AP :AQ =2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO :AM =2:1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
Q
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠P AQ=∠OAM
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM
也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【思考1】：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？
O
P
A Q
【分析】
Q 点满足（1）∠PAQ =60°；（2）AP =AQ ，故Q 点轨迹是个圆：
考虑∠PAQ =60°，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足∠MAO =60°；
考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．
60°M
Q
A
P
O
【小结】可以理解AQ 由AP 旋转得来，故圆M 亦由圆O 旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP 与AQ 的位置和数量关系．
【思考2】如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？
O
P
Q
A
【分析】Q 点满足（
1）∠PAQ =45°；（2）AP :AQ ：1，故Q
点轨迹是个圆．
连接AO ，构造∠OAM =45°且AO :AM 1．M 点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP ∽△AMQ ．即可确定点Q 的轨迹圆．
【练习】如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．
【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取
BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．
O
O
y
x
A
B
C M P
当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．
O
P
M
C
B
A
x
y
O
【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC
=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．
【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：
取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．
D
E
F
O
A
C
M P
当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M
点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．
【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．
O
A
B
C
D
E F
【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．
F
E D
C
B
A
O
考虑DE ⊥DF 且DE =DF ，故作DM ⊥DO 且DM =DO ，F 点轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆．
O
A
B
C
D
E
F
M
直接连接OM ，与圆M 交点即为F 点，此时OF 最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM ，减去MF 即可得到OF 的最小值．
【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、
CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．
A
B C
D
E O
【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．
根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．
O
E
D
C
B
A
接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．
E D
M A
B
C
O
连接AM 并延长与圆M 交点即为所求的点O ，此时AO 最大，根据AB 先求AM ，再根据BC 与BO 的比值可得圆M 的半径与圆A 半径的比值，得到MO ，相加即得AO ．
O
C
B
A
M D
E
此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A 、C 、A ’共线时，可得AO 最大值．
A'
或者直接利用托勒密定理可得最大值．
二、轨迹之线段篇
引例：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？
【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP =2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
N C
B
A
Q
P M
【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？
【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．
Q 2
Q 1
A
B
C
【模型总结】 必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：
P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ （当∠PAQ ≤90°时，∠PAQ 等于MN 与BC 夹角）
M
N
α
α
P
Q A B
C
P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）
M N
α
α
A B
C
【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点
P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．
A
【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．
【
2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．
【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：
AP:AB，故B点轨迹也是线段，
且
P点轨迹路径长与B，
P点轨迹长ON为
B
点轨迹长为
【练习】如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．
【分析】求OP 是等边三角形且B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．
取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．
P 2
P 1
y x
B
A
O
根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =
3
2
． P
P 2
P 1
y x
B
A
O
【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将
F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出
G 点轨迹：
考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．
G 2
G 1D C
B
A
CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．
根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．
过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE ，
所以CH =
52，因此CG 的最小值为5
2
． G
A
B
C
D
E
F
F
H
G 2G 1E
D C
B
A
三、轨迹之其他图形篇
所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．
【2016乐山中考】如图，在反比例函数2
y x
=-
的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k
y x
=
的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k
的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【分析】∠AOC =90°且AO :OC =1:2，显然点C 的轨迹也是一条双曲线，分别作AM 、
CN 垂直x 轴，垂足分别为M 、N ，连接OC ，易证△AMO ∽△ONC ，∴CN =2OM ，ON =2AM ，
∴ON ·CN =4AM ·OM ，故k =4×2=8．
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？
【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．
【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，
根据OP:OQ
，可得P点轨迹图形与Q
，故面积比
为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．
【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．
A
C
D
P
【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M
为半径的圆
E
M
P
D C
B
A
考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．
N
E
A B
C
D P
M。