(易错题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题
1．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为(),f x '若对任意的0x >的实数，都有：
()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为
（ ）
A ．{}
1x
x ≠±∣ B ．(-1，1) C ．()
(),11,-∞-+∞
D ．(-1，0)()0,1⋃
2．已知函数23()2ln (0)x
f x x x a a
=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．20,5
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(0,1]
D ．[1,)+∞
3．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-
B ．(),1-∞-
C ．[)1,-+∞
D ．()1,-+∞
4．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，
()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()
()0,11,+∞ B ．()
(),11,-∞-+∞
C ．()(),10,1-∞-⋃
D ．()()1,01,-⋃+∞
5．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f << D ．()()()286234f f f <<
6．已知函数()()2
21x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．(,-∞
B ．(0,
C ．(,-∞
D ．(0,
7．已知函数()f x 的导函数是
'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减
B ．函数()f x 在3x =处取得极大值
C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减
D ．函数()f x 共有4个极值点
8．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式
()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，
， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，
， C ．(0)+∞，
D ．(3)+∞，
9．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．
12
B ．
13
2-
C ．
13
2+D ．
23
10．已知函数3
1
()sin x
x
f x x x e e =-+-
，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )
A ．1[,1]2
- B ．1[1,]2
-
C ．1(,1][,)
2
-∞-⋃+∞
D ．1(,][1,)2
-∞-⋃+∞
11．已知对任意实数x 都有()()2x
f x f x e '-=，()01f =-，若()()1f x k x >-恒成
立，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞
B ．323
,42e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(
)
1
21,4e
D ．(
)
3
21,4e
12．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足
()()20xf x f x '+>，则不等式
()()()
202020202222020
x f x f x ++<
+的解集为（ ）
A ．{}2018x x <-
B ．{}20202018x x -<<-
C ．{}2018x x >-
D ．{}20200x x -<<
二、填空题
13．对于函数22,0()1
2,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪
=⎨-+>⎪
⎩
有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为2
2
e -； ②函数
f (x )的最小值为2e
-
； ③该函数图象与x 轴有4个交点；
④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____. 14．函数()3
1443
f x x x =
-+的极大值为______. 15．若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______. 16．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，
()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________
17．已知函数()()2
1a
x x x
f x x ++
=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为______. 18．已知函数()2
1ln 2
f x a x x bx =-
+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________．
19．已知函数()(1)2x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得
()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________.
20．已知随机变量X 的分布列为：
随机变量X 的数学期望为E X ，则满足E X k <的最大正整数k 的值是_____. （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）
三、解答题
21．已知函数()(2)(0)x f x ae x a =-≠． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若函数2
()()2g x f x x x =+-有两个极值点，求实数a 的取值范围．
22．已知函数()()2
22ln f x x mx x m m R =+++∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，求()21
1
f x x x +的取值范围.
23．已知函数()x
f x e ax a =--.
（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.
24．已知函数()(0)x
ax
f x a e =
≠． （1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值；
（2）求函数()f x 的单调区间． 25．已知函数()ln a
f x x x x
=-
-. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；
（2）若()2
f x x x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.
26．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】
当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：
22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-
则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：
()g x ∴在(0,)+∞单调递减，
由()()2
1x f x f -21x <-
()()2211x f x x f ∴-<-
即()()1g x g < 即1x >；
当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-
综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．
2．D
解析：D 【分析】
求出()'
f x 由()0f x '
≤得
31
4x a x ≤-，令1()4g x x x
=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】
31
()4(0)f x x x a x
'=
-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以
3140x a x -+≤，即314x a x
≤-， 令1()4g x x x =-
，由于11
4,y x y x
==-在[]1,2都是增函数， 所以1
()4g x x x
=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=， 所以
3
3a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1
()4g x x x
=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
3．B
解析：B 【分析】
通过分离参数变成ln x a x x
=
-，构造函数()ln x f x x
x =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】
2lnx ax x -=故ln x
a x x
=
- 则()ln x f x x
x
=
- ()2
'
22
1ln 1ln 1x x x f x x x
---=-= 设()2
1ln g x x x =--，0x >
故()'
1
20g x x x
=-
-< ()21ln g x x x =--在0,
上为减函数，1
0g .
故()0,1∈x 时()'
0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.
故()ln x f x x
x
=
-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.
()()max 11f x f ==-，
且0,x →时
()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞
y a =与()ln x f x x x
=-的图象要有两个交点
则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】
方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.
4．C
解析：C 【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=
，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()0
0g x x ⎧<⎨<⎩
，解这两个不等式组即可得解.
【详解】 构造函数()()
f x
g x x
=
，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()
()f x f x f x g x g x x x x
---====--， 所以，函数()()
f x
g x x
=
为偶函数.
当0x >时，()()()
2
0xf x f x g x x
'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()
f x
g x x
=
为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.
不等式()0f x >等价于()()010
g x g x ⎧>=⎨
>⎩或()()010
g x g x ⎧<=-⎨
<⎩，解得1x <-或
01x <<.
因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
5．B
解析：B 【分析】 构造函数()()
ln f x g x x
=
，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】
令()()ln f x g x x
=，则()()()()2
ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()
ln f x g x x
=
在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即
()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()
248ln 22ln 23ln 2
f f f <<
. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.
6．A
解析：A 【分析】
先求导数，利用单调性转化为()()2120x
g x x e ax '=+-≥，构造新函数
()
()21x x
f x x e +=
求解()f x 的最小值即可. 【详解】
()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120x g x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，
即
()212x x e a x
+≥恒成立，
设()
()21x x
f x x e +=
，()
()()()2
2
2
21211x x x x e x x e x x f x +--+=
'=
10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数； 1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()
f x 的最小值为12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以a ≤
故选：A. 【点睛】
利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：
（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立； （2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.
7．C
解析：C 【分析】
对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；
对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；
对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；
对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】
对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；
对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；
对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，
1x =-是极大值点，故D 错误.
故选：C. 【点睛】
结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.
8．C
解析：C 【分析】
构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得
()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，
根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】
令()()3x x
g x e f x e =⋅--，
则()()()[()()1]0x
x
x
x
g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0
(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，
即不等式的解集是(0)+∞，
， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3x
x
g x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于
()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 9．C
解析：C 【分析】
采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】
采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；
前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅2
2(1)p p =-
则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--32
23p p p =-+-(01)p <<， 设32
23y p p p =-+-，(01)p <<，
则2
661y p p '=-+-6(p p =--
-
则函数y
在33(0,),(,1)66-+
单调递减，在33(,66
-+单调递增，
故函数在p =处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】
本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
利用函数的奇偶性将函数转化为f （M ）≤f （N ）的形式，再利用单调性脱去对应法则f ，转化为一般的二次不等式求解即可． 【详解】
由于()3
1sin x
x
f x x x e e
=-+-
，，则f （﹣x ）＝﹣x 3
sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．
故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；
又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣
x ﹣cosx>0，
所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，
故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0， 解得112
a -≤≤， 故选B ． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题．
11．D
解析：D 【分析】
由导数的运算求出()f x ，然后用分离参数法得出1x >时，(21)
1
x e x k x -<-，1x <时，
(21)1x e x k x ->
-，再设(21)
()1
x e x h x x -=-，求出()h x 在1x >时最小值，在1x <时的最大值，从而可得k 的范围． 【详解】
因为()()2x
f x f x e '-=，所以()()2x f x f x e '-=，即()2x f x e '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，所以()2x f x x c e =+
（c 为常数），
()(2)x f x e x c =+，由(0)1f c ==-，()(21)x f x e x =-，
不等式()()1f x k x >-为(21)(1)x
e x k x ->-，1x =时，不等式为0e >，成立，
1x >时，(21)1x e x k x -<
-，1x <时，(21)
1
x e x k x ->-， 设(21)
()1
x e x h x x -=-，则2
(23)()(1)x xe x h x x -'=-， 当312
x <<
或01x <<时，()0h x '<，当3
2x >或0x <时，()0h x '>，
所以()h x 在(0,1)和31,2⎛⎫
⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
和(,0)-∞上是增函数，
1x >时，()h x 在32x =时取得极小值也最小值32
342h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，由(21)1x e x k x -<
-恒成立得32
4k e <，
1x <时，()h x 在0x =时取得极大值也是最大值(0)1h =，由(21)
1
x
e x k x ->
-恒成立得1k >，
综上有3
214k e <<． 故选：D ． 【点睛】
本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．
12．B
解析：B 【分析】
构造新函数()()2
g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式
()()()20202020222
2020x f x f x ++<
+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩
，
解之即可. 【详解】
令()()2
g x x f x =，则()()()()()2
22g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦
， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，
()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，
不等式
()()()
202020202222020
x f x f x ++<
+等价于()()20202+<g x g ，
2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩
，
解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
二、填空题
13．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(
解析：①②④ 【分析】
求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】
x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝2
2
e -
，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e
-
， x ＞0时，f (x )＝2
1
22x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝12
2e
->-
故f (x )有最小值2
e
-
，②④正确；
令20x x e ⋅=得0x =，令2
1202x x -+=得x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.
14．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义
解析：
283
【分析】
求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解. 【详解】
()31
443f x x x =-+,
2()4,f x x '∴=-
由()0f x '=解得2x =±，
2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<， 2x ∴=-是()f x 的极大值点，
∴函数的极大值为128(2)(8)8433
f -=⨯-++=
， 故答案为：283
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.
15．3【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的
解析：3 【分析】
首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可. 【详解】
由题意可得：2
'3y x a =-+，由题意导函数在区间[)1,+∞上的函数值要么恒非负，要么
恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故230x a -+≤， 即23a x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，据此可得：3a ≤， 即a 的最大值是3. 故答案为3． 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单
解析：12x x ⎧⎫
≥⎨⎬⎩
⎭
【分析】
令()()x
g x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定
()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为
1x x ≥-，求解，即可得出结果.
【详解】
令()()x
g x f x e =，则()()x
g x f x e --=-，
因为2()()0x
f x e
f x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()
g x g x =-，
所以函数()g x 为偶函数；
又()[]()()()()x x x
g x f x e f x e f x f x e '''=+=+，
当0x ≤时，()()0f x f x '+<，
所以()[]()()0x
g x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；
则()g x 在()0,∞+上单调递增； 又不等式21
()(1)x f x e
f x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1
g x g x ≥-，
所以只需1x x ≥-，则()2
21x x ≥-，解得12
x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥
⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.
17．【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值 解析：(],3-∞
【分析】
求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可． 【详解】
解：函数的导数2
()21f a x x x '=+-
， 由()0f x '在1x 上恒成立得2
210a
x x +-
在1x 上恒成立，
即2
21
a x x +， 得322x x a +在1x 上恒成立， 设32()2g x x x =+，
则2()622(31)g x x x x x '=+=+，
当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=， 则3a ，
即实数a 的取值范围是(],3-∞， 故答案为：(],3-∞ 【点睛】
本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．
18．【解析】因故有解即有解令取得极小值点为则则函数的极小值为将代入可得由题设可知令则由即当时函数取最小值即也即所以即应填答案点睛：本题是一道较为困难的试题求解思路是先确定极小值的极值点为则进而求出函数的
解析：3
min a e =-
【解析】 因()a f x x b x -'=
+，故()0a
f x x b x
-+'==有解，即20x bx a --=有解．令取得极小值点为t ，则2bt t a =-，则函数的极小值为2
1()ln 2
f t a t t bt =-+，将2bt t a =-代入可得21()ln 2f t a t t a =+-，由题设可知21ln 02a t t a +->，令21
()ln 2
h t a t t a =+-，则()a h t t t =
+'，由2()0a
h t t t a t
=+'=⇒=-，即当2t a =-时，函数
21()ln 2h t a t t a =+-取最小值1
()02h a a a =--≥，即
33
22a a ≥-⇒≤，也即13
ln()ln()322
a a -≤⇒-≤，所以
33a e a e -≤⇒≥-，即3min a e =-，应填答案3
min a e =-．
点睛：本题是一道较为困难的试题．求解思路是先确定极小值的极值点为t ，则
2bt t a =-，进而求出函数的极小值2
1()ln 2
f t a t t bt =-+，通过代入消元将未知数b 消
掉，然后求函数21()ln 2h t a t t a =+
-的最小值为1
()02
h a a a =--≥，
从而将问题转化为33
22
a a ≥-
⇒≤，然后通过解不等式求出即3min a e =-．
19．【分析】可知从而根据条件可判断为减函数或存在极值点求导数从而可判断不可能为减函数只能存在极值点从而方程有解这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围【详解】要满足使得成立则函数为减函数或存在极值点当时 解析：()1,+∞
【分析】
可知00lg x x <，从而根据条件可判断()f x 为减函数或存在极值点，求导数
()1x f x e a '=-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程
1x a e -=有解，这样由指数函数x
y e =的单调性即可得出a 的取值范围.
【详解】
00lg x x <，
∴要满足0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，
则函数()f x 为减函数或存在极值点，
()1x f x e a '=-+，
当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即函数()f x 不是减函数，
∴只能()f x 存在极值点，
()0f x '∴=有解，即方程1x a e -=有解，
即11x a e =+>，
()1,a ∴∈+∞，
故答案为：()1,+∞ 【点睛】
本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.
20．【分析】根据期望的定义先得到将不等式化为构造函数利用导数的方法判断其单调性计算即可得出结果【详解】由题意所以可化为即其中显然成立；两边同时取以为底的对数得令则当时即函数单调递增；当时即函数单调递减； 解析：4
【分析】
根据期望的定义，先得到()3
1k E X ke k -=-++，将不等式()E X k <化为ln 3
k
k >
，构造函数()ln ,03
k
f k k k =-
>，利用导数的方法判断其单调性，计算()4f ，()5f ，即
可得出结果. 【详解】 由题意，()()3
33111k k k E X e
k e ke k ---⎛
⎫=++-=-++ ⎪⎝⎭
，
所以()E X k <可化为310k
ke --+<，即3k
k e >，其中0k >显然成立； 两边同时取以e 为底的对数，得ln 3
k
k >， 令()ln ,03k f k k k =-
>，则()11333k f k k k
-'=-=， 当()0,3k ∈时，()303k f k k -'=
>，即函数()ln 3
k
f k k =-单调递增； 当()3,k ∈+∞时，()303k f k k -'=
<，即函数()ln 3k
f k k =-单调递减； 因此()()max 3
3ln 3ln 3103
f k f ==-=->， 又()44
4ln 42ln 2 1.3862 1.3333033
f =-
≈-=->， ()5
5ln 5 1.6094 1.666603
f =-≈-<，
因此满足ln 3
k
k >
的最大正整数k 的值是4， 即满足()E X k <的最大正整数k 的值是4. 故答案为：4. 【点睛】
本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，涉及离散型随机变量的期望，属于常考题型.
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）22,,0e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【分析】
（1）先对函数求导，然后分0a >和0a <两种情况，解不等式()0f x '<，()0f x '>，可求出函数的单调区间；
（2）函数2
()()2g x f x x x =+-有两个极值点，等价于
()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2
x h x ae =+有一个不为1的零点，然后分0a >和0a <两种情况讨论即可得答案 【详解】
（1）()(1)x f x ae x '=-，
若0a >，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1,()x f x >∴的递减区间为(,1)-∞，递增区间为(1,)+∞．
若0a <，由()0f x '<，得1x >；由()0f x '>，得1,()x f x <∴的递减区间为(1,)+∞，递增区间为(,1)-∞．
（2）22()()2(2)2x g x f x x x ae x x x =+-=-+-，
()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+． 2()(2)2x g x ae x x x ∴=-+-有两个极值点，等价于
()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2
x h x ae =+有一个不为1的零点，当1x =时，1
(1)20h ae =+≠，即2a e
≠-． ∴①当0a >时，()20x h x ae =+>，此时无零点； ②当0a <且2a e
≠-
时，2
()0,()h x ae h x '=<∴为减函数． 又2
ln 2ln 20a h ae a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫
⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴总存在唯一实数2ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使()0h x =．
综上，()g x 有两个极值点实数a 的取值范围22,,0e e ⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数与极值，第2问解题的关键是将函数2
()()2g x f x x x =+-有两个极值点，等价于
()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2
x h x ae =+有一个不为1的零点，从而分情况讨论即可，考查数学转化思想，属于中档题 22．（1）()4230m x y m +-+-=；（2）(),4-∞-. 【分析】
（1）对()y f x =求导，切线斜率为()1f '，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意可得1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不等式的实根，等价于1x ，2x 是方程
2
10x mx ++=的两个根，由根与系数的关系可得12x x m +=-，121=x x ，将
()21
1
f x x x +转化为关于2x ()21x >的函数，再利用单调性求最值即可求解. 【详解】
（1）由题意知()0,x ∈+∞，因为()222f x x m x
'=++
，
所以()142f m '=+，()113f m =+，
所以所求切线方程为()()()13421y m m x -+=+-，即()4230m x y m +-+-=；
（2）由（1）知()()221222x mx f x x m x x
++'=++=， 因为()1212,x x x x <是()f x 的两个不同的极值点，
所以1x ，2x 是方程210x mx ++=的两个根，可得12x x m +=-，121=x x ，
221m x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，
易得21>x ，所以()2
212221
1
2
22ln 1f x x x mx x m x x x +++++=
2
222222
22222222
11122ln 2ln 211x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭==
()32
22222222ln 1x x x x x x =---+>，
()()32222222222ln 1g x x x x x x x =---+>，()()2222232ln g x x x x '=-+-，
()2221621g x x x ⎛⎫
''=-+- ⎪⎝⎭
，因为21>x 可得2
110x -<，260x -<
所以()20g x ''<，()()2
222232ln g x x x x '=-+-在()1,+∞单调递减，
()()()2132ln1150g x g ''<=-+-=-<，
所以()2g x 在()1,x ∈+∞上单调递减，()()214g x g <=-， 从而
()21
1
f x x x +的取值范围为(),4-∞-. 【点睛】
方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是
（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；
（2）由点斜式求得切线方程'
00()()y y f x x x -=⋅-.
23．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤. 【分析】
（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切
线方程；
（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案. 【详解】
（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1x
f x e '=-，
设切点为(
)
000, x
x e ax a --，
则切线方程为()
()()0000x
y e ax a f x x x '---=-，
因为过点()0,1-，所以0000()111x x
e x e x --++=--，
解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=. （2）()x
f x e a '=-，
当0a ≤时，()'0f x >， 所以在R 上单调递增，
其中0a =，()0x
f x e =>，符合题意，
当0a <时，取110a
x a
-=
<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，
()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，
所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 所以()()ln f x f a ≥，
要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0a
f a e a a a =--≥，
解得01a <≤； 综上所述，01a ≤≤. 【点睛】
本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解. 24．（1）最大值为1
e
，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】
（1）当1a =时，()x
x
f x e =，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值； （2）对()f x 求导可得()
1()x
a x f x e
-'=
，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递
增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间. 【详解】
（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x x x x e xe x f x e e
--'==． 令()0f x '=，得1x =． 当01x ≤<时，()0f x '>； 当12x <≤时，()0f x '<．
所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减， 所以当1x =时，()f x 取最大值1
(1)f e
=． 又因为(0)0f =，2
2(2)f e =，所以函数()x x
f x e =的最大值和最小值分别为1e
，0． （2）因为()
1()x
a x f x e -'=
． 当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >，
此时函数()x x
f x e
=的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <．
此时函数()x x
f x e
=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述：
当0a >时，函数()x x
f x e =
的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，函数()x x
f x e
=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞．
【点睛】
方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：
（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，
()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
25．（1）极小值为3ln 2-，无极大值；（2）(],1-∞. 【分析】
（1）对函数求导，因式分解求得()0f x '=的根，列表判断单调性与极值；（2）将
()2f x x x >-转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，令新的函数()g x ，然后求导以
及二次求导以后判断单调性与极值，求出()g x 的最小值即可. 【详解】
解：（1） 由2a =-，得()2
ln f x x x x
=+
-，定义域为()0,∞+， ()()()2222212121x x x x f x x x x x
-+--'=--==， 令()0f x '=，得2x =（或1x =-舍去），列表：
所以f x 的极小值为23ln 2=-f ，无极大值. （2）由2ln a x x x x x -
->-，得2ln a
x x x
<-， 问题转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，
记()()3
ln ,1,g x x x x x =-∈+∞，即min ()a g x <在()1,+∞上恒成立，
则()()2
2
31ln 3ln 1g x x x x x '=-+=--，
令()2
3ln 1h x x x =--，则()2161
6x h x x x x
-'=-=，
由1x >，知2610x ->，即()0h x '>，
所以()h x 在()1,+∞上单调递增，()()120h x h >=>，
即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=， 由()a g x <在()1,+∞上恒成立，所以1a ≤. 【点睛】
方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 26．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】
（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】
（1）由题意2()62f x x ax '=-
()01f '=，则3a =
32()234,
()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，
()0f x '>；
当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表
当1,(1)2343x f ==-+=.
所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.
【点睛】
用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；。