2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线含解析

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第2讲椭圆、双曲线、抛物线
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真题感悟
1。

(2018·全国Ⅱ卷)双曲线错误!－错误!＝1（a>0,b〉0)的离心率为错误!，则其渐近线方程为(）
A。

y＝±2x B。

y＝±错误!x
C.y＝±错误!x
D.y＝±错误!x
解析法一由题意知，e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，所以b＝错误!＝错误! a，即错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x。

法二由e＝c
a
＝错误!＝错误!,得错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x＝±错误!x.
答案 A
2。

(2018·全国Ⅰ卷）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为错误!的直线与C交于M,N两点,则错误!·错误!＝()
A。

5 B.6 C.7 D。

8
解析过点（－2,0)且斜率为错误!的直线的方程为y＝错误!(x＋2），由错误!得x2－5x＋4＝0。

设M(x1，y1），N（x2，y2)，则y1>0，y2〉0,根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5,x1x2＝4.易知F(1,0），所以错误!＝（x1－1，y1），错误!＝(x2－1，y2）,所以错误!·错误!＝(x1－1)（x2－1）＋y1y2＝x1x2－（x1＋x2)＋1＋4错误!＝4－5＋1
＋8＝8。

答案 D
3。

（2018·全国Ⅱ卷）已知F1，F2是椭圆C:错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（)
A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!
解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设｜
F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P＝120°,
∴|PF2｜＝|F1F2|＝2c。

∵｜OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c,PE＝3c，即点P（2c，3c）。

∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上,∴错误!＝错误!,解得错误!＝错误!，∴e＝错误!.
答案 D
4.(2018·全国Ⅰ卷）设椭圆C:错误!＋y2＝1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A，B两点,点M的坐标为（2,0）。

（1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;
(2）设O为坐标原点,证明：∠OMA＝∠OMB。

（1)解由已知得F（1，0），l的方程为x＝1。

把x＝1代入椭圆方程错误!＋y2＝1，可得点A的坐标为错误!或错误!.
又M(2，0），所以AM的方程为y＝－错误!x＋错误!或y＝错误!x－错误!。

(2）证明当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1）(k≠0)，A（x1，y1)，B（x2,y2），
则x1〈2，x2<错误!，直线MA，MB的斜率之和为k MA＋k MB＝错误!＋错误!.
由y1＝k(x1－1),y2＝k（x2－1)得
k MA＋k MB＝错误!。

将y＝k(x－1）代入错误!＋y2＝1得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－2＝0。

所以，x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
则2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k＝4k3－4k－12k3＋8k3＋4k
2k2＋1
＝0。

圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）（焦点在x轴上)或错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)(焦点在y轴上);
(2）双曲线：错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）（焦点在x轴上)或错误!－错误!＝1（a ＞0,b＞0)（焦点在y轴上）；
（3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)。

3.圆锥曲线的重要性质
(1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝错误!＝错误!。

②在双曲线中：c2＝a2＋b2;离心率为e＝c
a＝错误!。

（2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线错误!－错误!＝1（a〉0,b〉0）的渐近线方程为y＝±错误!x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c,0）。

②双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0）的渐近线方程为y＝±错误!x，焦点坐标
F1（0，－c），F2（0，c）.
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝2px(p〉0)的焦点F错误!，准线方程x＝－错误!.
②抛物线x2＝2py(p〉0）的焦点F错误!，准线方程y＝－错误!。

4。

弦长问题
(1）直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求，利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A（x1,y1），B(x2，y2)时，|AB｜＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!错误!.
(2)过抛物线焦点的弦长
抛物线y2＝2px（p〉0)过焦点F的弦AB，若A（x1，y1）,B（x2,y2)，则x1x2＝错误!，y1y2＝－p2,弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p.
热点一圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】(1)(2018·天津卷)已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0,b>0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6,则双曲线的方程为（)
A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1 C。

错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1 (2)(2018·烟台二模）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且错误!＝错误!，则｜NT|＝________。

解析（1)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3。

－错误!＝1（a>0,b〉0)的离心率为2,所以错误!＝2，所以错误!＝4，因为双曲线x2
a2
所以错误!＝4,解得a2＝3，所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.
(2)由x2＝4y，知F（0，1)，准线l：y＝－1.
设点M(x0，y0)，且x0〉0，y0>0。

如本例(2）中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”。

所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【训练1】（1)（2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0）的一条渐近线方程为y ＝错误!x ，且与椭圆错误!＋错误!＝1有公共焦点，则C 的方程为（）
A 。

x 28
－错误!＝1 B 。

错误!－错误!＝1 C.x 25－错误!＝1 D 。

错误!－错误!＝1
（2)（2018·衡水中学调研）P 为椭圆C ：错误!＋y 2＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点,延长F 1P 至点Q ，使得｜PQ |＝｜PF 2｜,记动点Q 的轨迹为Ω,设点B 为椭圆C 短轴上一顶点,直线BF 2与Ω交于M ,N 两点，则｜MN ｜＝________。

解析 (1)由题设知错误!＝错误!，①
又由椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线有公共焦点,
易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②
由①②解得a ＝2，b ＝错误!,则双曲线C 的方程为错误!－错误!＝1.
（2)∵｜PF 1｜＋｜PF 2|＝2a ＝22,且｜PQ ｜＝|PF 2|,
∴｜F 1Q |＝｜F 1P ｜＋|PF 2|＝2错误!。

∴Ω为以F1(－1，0）为圆心，2错误!为半径的圆。

∵｜BF1|＝|BF2|＝2，｜F1F2｜＝2，∴BF1⊥BF2,
故｜MN|＝2错误!＝2错误!＝2错误!.
答案(1）B(2）2 6
热点二圆锥曲线的几何性质
【例2】(1）(2018·全国Ⅲ卷）已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b>0)的离心率为错误!，则点（4，0）到C的渐近线的距离为()
A。

错误!B.2 C。

错误!D.2错误!
(2）（2018·北京卷改编）已知椭圆M:错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)，双曲线N:错误!－错误!＝1。

若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.
解析（1）法一由离心率e＝错误!＝错误!，得c＝错误!a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0）到C的渐近线的距离为错误!＝2错误!.
法二离心率e＝错误!的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0）到C的渐近线的距离为错误!＝2错误!。

（2)设椭圆的右焦点为F（c，0），双曲线N的渐近线
与椭圆M在第一象限内的交点为A,
由题意可知A错误!，
由点A在椭圆M上得,错误!＋错误!＝1，∴b2c2＋3a2c2
＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2）c2＋3a2c2＝4a2（a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0,∴e2＝4＋23（舍)，e2＝4－2错误!。

由0<e<1，得e＝错误!－1.
答案（1）D（2）错误!－1
探究提高 1.分析圆锥曲线中a，b,c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.
2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b,c的方程(组）或不等式(组)，再根据a,b,c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a,b,c的方程（组）或不等式（组），要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等。

3.求双曲线渐近线方程关键在于求b
a
或错误!的值，也可将双曲线等号右边的“1”
变为“0”,然后因式分解得到。

【训练2】（1）（2018·成都质检)设椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点E(0,t）(0〈t<b）。

已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b,则椭圆C的离心率为（）
A。

错误! B.错误! C.错误!D。

错误!
(2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2
a2－错误!＝1(a＞0，b＞0）的右支与焦点
为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点,若|AF｜＋｜BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________。

解析（1）由椭圆的定义及对称性,△PEF2的周长的最小值为2a.∴2a＝4b，a ＝2b，则c＝a2－b2＝3b，则椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!.
(2）设A(x1，y1),B（x2,y2)，
联立方程：错误!消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝错误!p，
又∵｜AF｜＋｜BF|＝4｜OF|，
∴y1＋错误!＋y2＋错误!＝4×错误!,即y1＋y2＝p,
∴错误!p＝p,即错误!＝错误!错误!＝错误!。

∴双曲线渐近线方程为y＝±错误!x。

答案（1)A（2)y＝±错误!x
热点三直线与圆锥曲线
考法1直线与圆锥曲线的位置关系
【例3－1】（2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H。

（1)求错误!;
（2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
解(1）如图,由已知得M（0，t)，P错误!,
又N为M关于点P的对称点，故N错误!，
故直线ON的方程为y＝错误!x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,
解得x1＝0，x2＝错误!，因此H错误!.
所以N为OH的中点,即错误!＝2。

(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝p
2t x，即x＝错误!(y－t）.
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点。

探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标。

而第（2）问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断。

2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.
【训练3】（2018·潍坊三模)已知M为圆O:x2＋y2＝1上一
动点，过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A,B，连接
BA延长至点P，使得｜P A|＝2，记点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;
(2）直线l:y＝kx＋m与圆O相切,且与曲线C交于D，E两点，直线l1平行于l
且与曲线C相切于点Q(O，Q位于l两侧)，S△ODE
S△QDE＝错误!，求k的值.
解（1)设P(x，y），A(x0，0),B(0，y0）,则M（x0，y0）且x2，0＋y2，0＝1，
由题意知OAMB为矩形,∴｜AB|＝｜OM｜＝1，
∴错误!＝2错误!，即(x－x0，y）＝2(x0，－y0），
∴x0＝错误!,y0＝错误!,则错误!＋错误!＝1，
故曲线C的方程为错误!＋错误!＝1.
(2）设l1：y＝kx＋n，∵l与圆O相切，
∴圆心O到l的距离d1＝错误!＝1，得m2＝k2＋1，①
∵l1与l距离d2＝错误!，②
∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,
∴m＝－2n或m＝错误!n，
又O，Q位于l两侧，∴m＝错误!n，③
联立错误!消去y整理得
（9k2＋4)x2＋18knx＋9n2－36＝0，
由Δ＝0，得n2＝9k2＋4，④
由①③④得k＝±错误!。

考法2有关弦的中点、弦长问题
【例3－2】（2018·全国Ⅲ卷）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m〉0）。

(1)证明：k〈－错误!；
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点，且错误!＋错误!＋错误!＝0.证明:|错误!｜，｜错误!|，|错误!|成等差数列，并求该数列的公差.
(1)证明设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1.
两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0。

由题设知错误!＝1，错误!＝m，于是k＝－错误!。

①
由于点M(1，m)(m>0）在椭圆错误!＋错误!＝1内，
∴错误!＋错误!<1，解得0<m<错误!,故k<－错误!. (2)解由题意得F（1，0).设P（x3，y3），
则（x3－1，y3）＋(x1－1,y1）＋(x2－1，y2)＝（0，0）。

由（1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2）＝1,y3＝－（y1＋y2)＝－2m〈0.
又点P在C上,所以m＝错误!，
从而P错误!，｜错误!|＝错误!。

于是|错误!|＝错误!＝错误!＝2－错误!.
同理｜错误!｜＝2－错误!。

所以｜F A，→｜＋｜
错误!｜＝4－错误!（x1＋x2)＝3.
故2｜错误!|＝|错误!｜＋｜错误!|，
即|错误!｜，|错误!｜,|错误!|成等差数列。

设该数列的公差为d，则
2|d|＝|｜错误!｜－|错误!||＝错误!｜x1－x2| ＝错误!错误!。

②
将m＝3
4代入①得k＝－1。

所以l的方程为y＝－x＋错误!,代入C的方程,并整理得7x2－14x＋错误!＝0。

故x1＋x2＝2,x1x2＝1
28,代入②解得|d|＝错误!.
所以该数列的公差为错误!或－错误!。

探究提高1。

在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式｜AB｜＝错误!｜x2－x1｜，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算。

2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的
关系时，要注意使用条件Δ〉0，在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交。

【训练4】（2018·天津卷）设椭圆错误!＋错误!＝1（a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B，已知椭圆的离心率为错误!，点A的坐标为（b，0）,且｜FB|·|AB｜＝6错误!。

(1)求椭圆的方程；
（2）设直线l：y＝kx(k>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q。

若错误!＝错误!sin∠AOQ（O为原点），求k的值。

解(1）设椭圆的焦距为2c，由已知有错误!＝错误!，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得，|FB｜＝a，｜AB｜＝错误!b,
由|FB｜·|AB｜＝6错误!，
可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

(2）设点P的坐标为(x1,y1），点Q的坐标为（x2，y2）。

由已知有y1>y2〉0,
故|PQ｜sin∠AOQ＝y1－y2。

又因为｜AQ｜＝错误!，而∠OAB＝错误!，
故｜AQ｜＝错误!y2.
由错误!＝错误!sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程组错误!消去x,可得y1＝错误!。

易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，
由方程组错误!消去x，可得y2＝错误!。

代入5y1＝9y2，可得5（k＋1)＝39k2＋4，
将等式两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0,
解得k＝错误!或k＝错误!。

所以，k的值为错误!或错误!.
1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，
A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线。

2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础.
3。

求双曲线、椭圆的离心率的方法:法一：直接求出a，c，计算e＝错误!；法二:根据已知条件确定a,b，c的等量关系，然后把b用a，c代换,求错误!.
4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导。

5.求中点弦的直线方程的常用方法
（1）点差法,设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2),分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，错误!三个量,则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系,借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2）根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解。

一、选择题
1.（2018·合肥调研）已知双曲线C:错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则双曲线C的离心率为(）
A。

2 B.错误!C。

错误!D。

错误!
解析依题意，2·错误!＝－1，∴b＝2a.则e2＝1＋错误!错误!＝5，∴e＝错误!。

答案 D
2.（2018·南昌质检）已知抛物线C：x2＝4y,过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线P A,PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若错误!·错误!＝0，则直线OA与OB的斜率之积为()
A.－错误!B。

－3 C。

－错误!D。

－4
解析设A错误!，B错误!，由x2＝4y，得y′＝错误!。

所以k AP＝错误!，k BP＝错误!,由错误!·错误!＝0，得P A⊥PB。

∴错误!·错误!＝－1,则x A·x B＝－4,又k OA·k OB＝
错误!·错误!＝错误!＝－错误!。

答案 A
3。

(2017·全国Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点,P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）,则△APF的面积为（）
A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
解析由c2＝a2＋b2＝4得c＝2,所以F（2,0)，
将x＝2代入x2－错误!＝1，得y＝±3，所以｜PF|＝3.
又A的坐标是(1，3），
故△APF的面积为错误!×3×（2－1)＝错误!。

答案 D
4.已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，A为椭圆上一点，∠F1AF2＝错误!，连接AF2交y轴于M点，若3｜OM｜＝｜OF2｜，则该椭圆的离心率为()
A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!
解析设｜AF1|＝m,|AF2|＝n。

如图所示，由题意可得
∵Rt△F1AF2∽Rt△MOF2。

∴错误!＝错误!＝错误!,则n＝3m。

又｜AF1|＋|AF2｜＝m＋n＝2a，
∴m＝a
2,n＝错误!a。

在Rt△F1AF2中，m2＋n2＝4c2，即错误!a2＝4c2,
∴e2＝错误!＝错误!，故e＝错误!。

答案 D
5。

（2018·石家庄调研)已知F1，F2分别为双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直,∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，
则双曲线的标准方程为（）
A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1 D.x2－错误!＝1
解析如图，不妨设点P（x0,y0）在第一象限，则PF2⊥x轴，
在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
则｜PF2|＝错误!，|PF1｜＝错误!，
又因为|PF1｜－|PF2|＝错误!＝2a，即c＝错误!a.
又2b＝22,知b＝错误!,
且c2－a2＝2，从而得a2＝1,c2＝3.
故双曲线的标准方程为x2－y2
＝1.
2
答案 D
二、填空题
6.（2018·北京卷)已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴。

若l被抛物线y2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
解析由题意知，a>0，对于y2＝4ax,当x＝1时，y＝±2错误!，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4错误!＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为（1，0).
答案（1，0）
7.（2018·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!－错误!＝1(a>0，
b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为错误!c，则其离心率的值是________。

解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，
所以错误!＝b＝错误!c，所以b2＝c2－a2＝错误!c2，得c＝2a，
所以双曲线的离心率e＝错误!＝2.
答案 2
8.设抛物线x2＝4y的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点，满足｜AF|＝2;已知P为抛物线准线上任一点,当|P A|＋|PF|取得最小值时,△P AF的外接圆半径为________。

解析由x2＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1）,准线y＝－1。

依题意,设A（x0，y0)（x0>0),
由定义,得|AF｜＝y0＋错误!，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y轴.
易知当P（1，－1)时,|P A｜＋|PF|最小,∴|PF｜＝12＋（－1－1）2＝错误!。

由正弦定理，2R＝错误!＝错误!＝错误!，
因此△P AF的外接圆半径R＝错误!。

答案错误!
三、解答题
9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8。

(1）求l的方程；
(2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解(1）由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)（k>0）.
设A（x1，y1），B（x2，y2）.
由错误!得k2x2－(2k2＋4）x＋k2＝0。

Δ＝16k2＋16〉0，故x1＋x2＝错误!。

所以｜AB|＝｜AF|＋｜BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1）＝错误!。

由题设知错误!＝8，解得k＝－1（舍去），k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
（2)由（1)得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3）,即y＝－x＋5。

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0），则
错误!
解得错误!或错误!
因此所求圆的方程为(x －3)2＋（y －2)2＝16或（x －11）2＋(y ＋6)2＝144. 10。

（2017·北京卷）已知椭圆C 的两个顶点分别为A （－2，0)，B (2，0）,焦点在x 轴上，离心率为错误!。

（1)求椭圆C 的方程；
(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E 。

求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5。

(1)解设椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1（a >b >0）。

由题意得错误!解得c ＝错误!。

所以b 2＝a 2－c 2＝1。

所以椭圆C 的方程为错误!＋y 2＝1。

(2）证明设M （m ，n )，则D (m ，0)，N （m ，－n ）. 由题设知m ≠±2，且n ≠0。

直线AM 的斜率k AM ＝错误!，故直线DE 的斜率k DE ＝－错误!。

所以直线DE 的方程为y ＝－错误!(x －m ）。

直线BN 的方程为y ＝错误!(x －2)。

联立错误!
解得点E 的纵坐标y E ＝－错误!. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2, 所以y E ＝－错误!n .
又S △BDE ＝错误!|BD |·|y E |＝错误!｜BD |·｜n ｜, S △BDN ＝1
2｜BD |·｜n ｜.
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
11.设F 1，F 2分别是椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点,且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1在y 轴上的截距为错误!，且｜MF 2|＝错误!｜MF 1|。

（1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 交于E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切，求错误!·错误!的值(O 为坐标原点)。

解（1）设直线MF1与y轴的交点为N，则｜ON|＝错误!。

∵MF2⊥x轴，∴在△F1F2M中，ON綉错误!MF2，
则|MF2|＝错误!。

又|MF2|＋|MF1｜＝2a,|MF2｜＝错误!｜MF1|，
∴|MF2|＝错误!a＝错误!，∴a＝2。

又｜MF2|＝错误!，∴b2＝3.
∴椭圆C的标准方程为x2
4＋错误!＝1.
（2)设E(x1，y1）,F(x2，y2）,
联立错误!消y得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0.
∴x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!，
Δ＝（8kt)2－4(3＋4k2)（4t2－12)〉0，得t2〈3＋4k2，(*) 则错误!·错误!＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋t）（kx2＋t)
＝(1＋k2)x1x2＋kt（x1＋x2）＋t2
＝错误!－错误!＋错误!
＝错误!。

又直线l与圆7x2＋7y2＝12相切，
∴|t｜
1＋k2
＝错误!,则1＋k2＝错误!t2满足（*)式，
故错误!·错误!＝错误!＝0.。

2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 含解析

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