数系的扩充和复数的概念 课件

A．0B．1Fra bibliotekC．2
D．3
(2)当 m 为何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i.①
是虚数；②是纯虚数．
[解析] (1)对于①，当 z∈R 时，z2≥0 成立，否则不成立，
如 z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋
2i，其虚部是 2，不是 2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其
复数相等 [典例] (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x，y 的值； (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实 数 a 的值． [解] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.，
在复数集 C＝a＋bi|a，b∈R中任取两个数 a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b＝d.
3．复数的分类 对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a
＝b＝0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，叫做虚数；当a＝0 且 b≠0
[活学活用] 已知关于实数 x，y 的方程组
2x－1＋i＝y－3－yi，① 2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i，②
有实数解，则实数 a，b
的值分别为________．
解析：由①可得21x＝－－1＝3－y，y，
解得x＝52， ③ y＝4.
把③代入②得 5＋4a－(6＋b)i＝9－8i 且 a，b∈R， ∴56＋ ＋4b＝a＝8，9， 解得ab＝ ＝12，. 答案：1 2
z
是虚数，求 m 的取值范围．
解：∵z 是虚数，∴log 1 (3－m)≠0，且 1＋m>0，
2
3－m>0， 即3－m≠1，
1＋m>0，
∴－1<m<2 或 2<m<3.
∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．
复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标 准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要 全面，当条件不满足代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件 设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z 为实数⇔b＝0，②z 为虚数 ⇔b≠0，③z 为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且 b＝0.
时，叫做纯虚数．这样，复数 z＝a＋bi 可以分类如下：
复数
实数b＝0， z虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.
[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之 间的关系
复数的概念及分类
[典例] (1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；
②2i－1 的虚部是 2i；③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( )
实部是 0，③为真命题．故选 B. [答案] B (2)①当mm＋2－32≠m0－，15≠0， 即 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
②当m2m－＋m3－6＝0， m2－2m－15≠0，
即 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
[一题多变] 1．[变设问]本例(2)中条件不变，当 m 为何值时，z 为实数？
解：当mm＋2－32≠m0－，15＝0， 即 m＝5 时，z 是实数． 2．[变设问]本例(2)中条件不变，当 m 为何值时，z>0.
解：因为 z>0，所以 z 为实数，需满足
m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得 m＝5.
3．[变条件]已知
z＝log2(1＋m)＋ilog
1 2
(3－m)(m∈R)，若
(2)设方程的实数根为 x＝m， 则 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得 a＝11 或 a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部 相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问 题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题 实数化思想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是 不能比较大小的．
数系的扩充和复数的概念
1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做
虚数单位，满足 i2＝ －1 ，实部是 a ，虚部是 b . ②表示方法：复数通常用字母 z 表示，代数形式为 z＝
a＋bi(a，b∈R)． (2)复数集
①定义：全体复数 所成的集合．
②表示：通常用大写字母 C 表示．
[点睛] 复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其中 0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数 形式，否则不是代数形式．
2．复数相等