2012届广东省各地市一模试题打包(2,理数)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
设 BE x ，则 CE 2 x .
在RtPAQ中,PQA , AQ PA 1. …………11 分
A
D
4
B
Q
在RtABE中, AE 1 x2 ,在RtAQE中, EQ x,
E
C
在RtAQD中DQ 3, 于是 DE x 3 ……………………………13 分
在RtDCE中，有 (x 3)2 (2 x)2 1 解之得 x 2 3 。
(1) 当 E 为 BC 的中点时，求证： PE DE ；
P
(2) 设 PA 1，在 线 段 BC 上 存 在 这 样 的 点 E ，使 得 二 面 角
P ED
A 的平面角大小为
.
试确定点 E 的位置.
4
A
D
数学（理科）试题 A
第3页共4页 B
E
C
第 18 题图
19．（本小题满分 14 分）
y
数学（理科）试题 A 第 5 页 共 4 页
A(1,2)
x
11．【解析】双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线为 y 1 x ，
4
2
抛物线 y2 8x 的准线为 x 2 ，
当直线 y x z 过点 A(1, 2) 时， zmax 3 .
12．【解析】 x y 9, 5 x y 14 0.7 .另解：1 2 4 0.7
y A
·P
OC
B x
20．（本小题满分 14 分）
已知向量 a (x2 3,1), b (x, y) ，（其中实数 x 和 y 不同时为零），当 | x | 2 时，有 a b ，当
| x | 2 时， a // b ．
（1）求函数式 y f (x) ；
（2）求函数 f (x) 的单调递减区间；
1
………………………6 分
2ab
2 41 2
又 0 ＜ C ＜180 ，∴ C 60
…………………………8 分
（3）三角形 ABC 的面积 S 1 ab sin C 1 41 sin 60 3 ………………12 分
2
2
17．（本小题满分 12 分）
解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从 5 个球中摸出一球，若
11．3. 12． 0.7 .
13． 3 2n1 1.
14． 数项为：
C36 x3 (
1 )3 x
20
.
10．【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形，下面是边长为 2 的正方形 ∴组合体的侧视图的面积为 S 2 2 1 2 3 4 3 . 2
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．规定记号“ ”表示一种运算，即 a b ab a b2 (a, b为正实数) ，若1 k 3 ，则 k =（ ）
A． 2
B．1
C． 2 或 1
D．2
第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分．每小题 5 分，满分 30 分）
第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.
因此它的概率 P 是： P
C21 C51
C31 C51
C31 C51
C21 C51
12 25
……………………4 分
（2）设摸得白球的个数为 ξ，则 ξ=0，1，2。
P( 0) C32 3 ; P( 1) C21 C31 3 ; P( 2) C22 1 ;
4．【解析】
f
(x)
1 1 2x
1 2
2x (1 2x )2x
1 2
.
2x 1 2x 11 1 1 1 f (x) 2x 1 2 2x 1 2 2x 1 2
选 A.
5．【解析】(2)(3)(4)为假命题，选 B
6．【解析】当S 1 1 1 1 时， i 11 .选 A.
已知点 C（1，0），点 A、B 是⊙O： x2 y2 9 上任意两个不同的点，且满足 AC BC 0 ，设 P 为
弦 AB 的中点．
（1）求点 P 的轨迹 T 的方程；
（2）试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 x 1 的距离恰好等于到点 C 的距离？若存在，
求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
项符合题目要求.
1．已知集合 A x, y | x y 0, x, y R B x, y | x y 0, x, y R ，
则集合 A B =（ ）
A． (0,0)
B． 0
1i
2．复数 的值是（ ）
1 i
A．1
B． 1
C． (0,0)
D．
C． i
D． i
3．已知向量 a = (1, 2) ， b = (x, 2) ，若 a ⊥ b ，则| b |=（ ）
（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）
（还可以分别算出 PE，PD，DE 三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）
(2) 如图过 A 作 AQ DE 于 Q ，连 AE, PQ ，则 PQ DE ，…7 分
∴ PQA 为二面角 P ED A 的平面角. ……………9 分
惠州市 2012 届高三第一次调研考试
数学试题（理科）
（本试卷共 5 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡
上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮
17．（本小题满分 12 分） 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。
18．（本小题满分 14 分）
如图，四边形 ABCD 为矩形，且 AD 2, AB 1 ， PA 平面ABCD ， E 为 BC 上的动点.
则 DEC 45 ，同理可得 AEB 45 ，∴ AED 90 ，于是 DE AE ，…2 分
又 PA 平面ABCD ，且 DE 平面ABCD ，∴ PA DE ，
AE PA A …………………4 分
∴ DE 平面PAE ，又 PE 平面PAE ，∴ DE PE . …………………………6 分
3
15．（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ，
A
直线 PO 交圆 O 于 B,C 两点， AC 2 , PAB 120 ，
则圆 O 的面积为
．
P
B
O
C
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12 分） 设三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c, a 4, c 13 , sin A 4sin B ． （1）求 b 边的长； （2）求角 C 的大小； （3）求三角形 ABC 的面积 S 。
数学（理科）试题 A 第 1 页 共 4 页
（第 6 题图）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6．给出计算 1 1 1 1 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是
246
20
（ ）．
A． i 10 B． i 10 C． i 20 D． i 20
7．“ lg x, lg y, lg z 成等差数列”是“ y2 xz ”成立的（ ）
20 20
20
13．【解析】 an1 1 2(an 1), an 1 3 2n1,即an 3 2n1 -1.
14．【解析】点 (2, ) 的直角坐标为 (1,
3) ，∴过点 (1,
3) 平行于 x 轴的直线方程为 y
3
3
即极坐标方程为 sin 3
15．【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 OA 2 ，∴圆 O 的面积为 4
（2）设 Tn S2n Sn ，求证： Tn1 Tn ；
（3）求证：对任意的 n N 有1
n 2
S2n
1 2
n
成立．
数学（理科）试题 A 第 4 页 共 4 页
惠州市 2012 届高三第一次调研考试
理科数学参考答案与评分标准
一．选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分
题号 1
（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9． ( x 1 ) 6 的展开式中的常数项是 x
．（用数字作答）
10．右图是底面半径为 1，母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体，
则该组合体的侧视图的面积为
．
11．设平面区域 D 是由双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线和抛物线 y2 8x 的准线所围成的 4
246
20
7．【解析】当 x, z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A.
8．【解析】根据运算有1 k 1 k 2 3, k R*, k 1 .选 B．
二．填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题．
9．－20
10． 4 3 .
擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
三角形（含边界与内部）．若点 (x, y) D ，则目标函数 z x y 的最大值为
．
12．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中 x, y N * )
分/组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频数 2
x
3
y
三、解答题
16．（本小题满分12 分）
解：（1）依正弦定理 a b 有 b sin A a sin B …………………………2 分 sin A sin B
又 a 4, sin A 4sin B ，∴ b 1
…………………………4 分
（2）依余弦定理有 cos C
a2
b2
c2
16 113
C52 10
C52
5
C52 10
…………7 分
的分布列为：
数学（理科）试题 A 第 6 页 共 4 页
ξ
0
1
2
P
3
3
1
……9 分
10
5
10
E 0 3 1 3 2 1 4 ……………………………………………………12 分 10 5 10 5
18．（本小题满分 14 分）
方法一：(1) 证明：当 E 为 BC 的中点时， EC CD 1 ，从而DCE 为等腰直角三角形，
A． 5
B． 2 5
C． 5
D． 20
4．已知
f
(x)
1 1 2x
1 2
, 则f
( x)是
（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇且偶函数
5．已知直线 l 、 m ,平面、 ，则下列命题中：
①．若 // ， l ,则 l //
②．若 ， l ,则 l // ③．若 l // ， m ,则 l // m ④．若 ， l , m l ,则 m ，其中真命题有（ ）
2
4
则样本在区间 [10，50 ) 上的频率
．
13．已知数列{an}满足 a1 2 , an1 2an 1(n N *) ,则该数列的通项公式 an
．
数学（理科）试题 A 第 2 页 共 4 页
（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）过点 (2, ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为________．
2
3
4
5
6
7
8
答案 C D B A B A A B
1．【解析】求 2 条直线的交点为(0,0).注意结论是集合；所以选 C
1i
2．【解析】
(1 i)2
2i i .选 D.
1 i (1 i)(1 i) 2
3．【解析】∵ a ⊥ b ∴ a b = x 4 0 ，得 x 4, b = (4, 2) ，∴| b |= 2 5 ，故选 B
（3）若对 x (, 2] 2, ，都有 mx2 x 3m 0 ，求实数 m 的取值范围．
21．（本小题满分 14 分）
已知数列{an}、{bn}满足 a1 2, an 1 an (an1 1) ， bn an 1 ，数列{bn}的前 n 项和为 Sn .
（1）求数列 {bn } 的通项公式；
设 BE x ，则 CE 2 x .
在RtPAQ中,PQA , AQ PA 1. …………11 分
A
D
4
B
Q
在RtABE中, AE 1 x2 ,在RtAQE中, EQ x,
E
C
在RtAQD中DQ 3, 于是 DE x 3 ……………………………13 分
在RtDCE中，有 (x 3)2 (2 x)2 1 解之得 x 2 3 。
(1) 当 E 为 BC 的中点时，求证： PE DE ；
P
(2) 设 PA 1，在 线 段 BC 上 存 在 这 样 的 点 E ，使 得 二 面 角
P ED
A 的平面角大小为
.
试确定点 E 的位置.
4
A
D
数学（理科）试题 A
第3页共4页 B
E
C
第 18 题图
19．（本小题满分 14 分）
y
数学（理科）试题 A 第 5 页 共 4 页
A(1,2)
x
11．【解析】双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线为 y 1 x ，
4
2
抛物线 y2 8x 的准线为 x 2 ，
当直线 y x z 过点 A(1, 2) 时， zmax 3 .
12．【解析】 x y 9, 5 x y 14 0.7 .另解：1 2 4 0.7
y A
·P
OC
B x
20．（本小题满分 14 分）
已知向量 a (x2 3,1), b (x, y) ，（其中实数 x 和 y 不同时为零），当 | x | 2 时，有 a b ，当
| x | 2 时， a // b ．
（1）求函数式 y f (x) ；
（2）求函数 f (x) 的单调递减区间；
1
………………………6 分
2ab
2 41 2
又 0 ＜ C ＜180 ，∴ C 60
…………………………8 分
（3）三角形 ABC 的面积 S 1 ab sin C 1 41 sin 60 3 ………………12 分
2
2
17．（本小题满分 12 分）
解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从 5 个球中摸出一球，若
11．3. 12． 0.7 .
13． 3 2n1 1.
14． 数项为：
C36 x3 (
1 )3 x
20
.
10．【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形，下面是边长为 2 的正方形 ∴组合体的侧视图的面积为 S 2 2 1 2 3 4 3 . 2
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．规定记号“ ”表示一种运算，即 a b ab a b2 (a, b为正实数) ，若1 k 3 ，则 k =（ ）
A． 2
B．1
C． 2 或 1
D．2
第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分．每小题 5 分，满分 30 分）
第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.
因此它的概率 P 是： P
C21 C51
C31 C51
C31 C51
C21 C51
12 25
……………………4 分
（2）设摸得白球的个数为 ξ，则 ξ=0，1，2。
P( 0) C32 3 ; P( 1) C21 C31 3 ; P( 2) C22 1 ;
4．【解析】
f
(x)
1 1 2x
1 2
2x (1 2x )2x
1 2
.
2x 1 2x 11 1 1 1 f (x) 2x 1 2 2x 1 2 2x 1 2
选 A.
5．【解析】(2)(3)(4)为假命题，选 B
6．【解析】当S 1 1 1 1 时， i 11 .选 A.
已知点 C（1，0），点 A、B 是⊙O： x2 y2 9 上任意两个不同的点，且满足 AC BC 0 ，设 P 为
弦 AB 的中点．
（1）求点 P 的轨迹 T 的方程；
（2）试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 x 1 的距离恰好等于到点 C 的距离？若存在，
求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
项符合题目要求.
1．已知集合 A x, y | x y 0, x, y R B x, y | x y 0, x, y R ，
则集合 A B =（ ）
A． (0,0)
B． 0
1i
2．复数 的值是（ ）
1 i
A．1
B． 1
C． (0,0)
D．
C． i
D． i
3．已知向量 a = (1, 2) ， b = (x, 2) ，若 a ⊥ b ，则| b |=（ ）
（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）
（还可以分别算出 PE，PD，DE 三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）
(2) 如图过 A 作 AQ DE 于 Q ，连 AE, PQ ，则 PQ DE ，…7 分
∴ PQA 为二面角 P ED A 的平面角. ……………9 分
惠州市 2012 届高三第一次调研考试
数学试题（理科）
（本试卷共 5 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡
上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮
17．（本小题满分 12 分） 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。
18．（本小题满分 14 分）
如图，四边形 ABCD 为矩形，且 AD 2, AB 1 ， PA 平面ABCD ， E 为 BC 上的动点.
则 DEC 45 ，同理可得 AEB 45 ，∴ AED 90 ，于是 DE AE ，…2 分
又 PA 平面ABCD ，且 DE 平面ABCD ，∴ PA DE ，
AE PA A …………………4 分
∴ DE 平面PAE ，又 PE 平面PAE ，∴ DE PE . …………………………6 分
3
15．（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ，
A
直线 PO 交圆 O 于 B,C 两点， AC 2 , PAB 120 ，
则圆 O 的面积为
．
P
B
O
C
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12 分） 设三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c, a 4, c 13 , sin A 4sin B ． （1）求 b 边的长； （2）求角 C 的大小； （3）求三角形 ABC 的面积 S 。
数学（理科）试题 A 第 1 页 共 4 页
（第 6 题图）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6．给出计算 1 1 1 1 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是
246
20
（ ）．
A． i 10 B． i 10 C． i 20 D． i 20
7．“ lg x, lg y, lg z 成等差数列”是“ y2 xz ”成立的（ ）
20 20
20
13．【解析】 an1 1 2(an 1), an 1 3 2n1,即an 3 2n1 -1.
14．【解析】点 (2, ) 的直角坐标为 (1,
3) ，∴过点 (1,
3) 平行于 x 轴的直线方程为 y
3
3
即极坐标方程为 sin 3
15．【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 OA 2 ，∴圆 O 的面积为 4
（2）设 Tn S2n Sn ，求证： Tn1 Tn ；
（3）求证：对任意的 n N 有1
n 2
S2n
1 2
n
成立．
数学（理科）试题 A 第 4 页 共 4 页
惠州市 2012 届高三第一次调研考试
理科数学参考答案与评分标准
一．选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分
题号 1
（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9． ( x 1 ) 6 的展开式中的常数项是 x
．（用数字作答）
10．右图是底面半径为 1，母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体，
则该组合体的侧视图的面积为
．
11．设平面区域 D 是由双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线和抛物线 y2 8x 的准线所围成的 4
246
20
7．【解析】当 x, z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A.
8．【解析】根据运算有1 k 1 k 2 3, k R*, k 1 .选 B．
二．填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题．
9．－20
10． 4 3 .
擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
三角形（含边界与内部）．若点 (x, y) D ，则目标函数 z x y 的最大值为
．
12．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中 x, y N * )
分/组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频数 2
x
3
y
三、解答题
16．（本小题满分12 分）
解：（1）依正弦定理 a b 有 b sin A a sin B …………………………2 分 sin A sin B
又 a 4, sin A 4sin B ，∴ b 1
…………………………4 分
（2）依余弦定理有 cos C
a2
b2
c2
16 113
C52 10
C52
5
C52 10
…………7 分
的分布列为：
数学（理科）试题 A 第 6 页 共 4 页
ξ
0
1
2
P
3
3
1
……9 分
10
5
10
E 0 3 1 3 2 1 4 ……………………………………………………12 分 10 5 10 5
18．（本小题满分 14 分）
方法一：(1) 证明：当 E 为 BC 的中点时， EC CD 1 ，从而DCE 为等腰直角三角形，
A． 5
B． 2 5
C． 5
D． 20
4．已知
f
(x)
1 1 2x
1 2
, 则f
( x)是
（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇且偶函数
5．已知直线 l 、 m ,平面、 ，则下列命题中：
①．若 // ， l ,则 l //
②．若 ， l ,则 l // ③．若 l // ， m ,则 l // m ④．若 ， l , m l ,则 m ，其中真命题有（ ）
2
4
则样本在区间 [10，50 ) 上的频率
．
13．已知数列{an}满足 a1 2 , an1 2an 1(n N *) ,则该数列的通项公式 an
．
数学（理科）试题 A 第 2 页 共 4 页
（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）过点 (2, ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为________．
2
3
4
5
6
7
8
答案 C D B A B A A B
1．【解析】求 2 条直线的交点为(0,0).注意结论是集合；所以选 C
1i
2．【解析】
(1 i)2
2i i .选 D.
1 i (1 i)(1 i) 2
3．【解析】∵ a ⊥ b ∴ a b = x 4 0 ，得 x 4, b = (4, 2) ，∴| b |= 2 5 ，故选 B
（3）若对 x (, 2] 2, ，都有 mx2 x 3m 0 ，求实数 m 的取值范围．
21．（本小题满分 14 分）
已知数列{an}、{bn}满足 a1 2, an 1 an (an1 1) ， bn an 1 ，数列{bn}的前 n 项和为 Sn .
（1）求数列 {bn } 的通项公式；