北师大版九年级数学下册试题2.4二次函数的应用(一)(含答案)

初中数学试卷
2.4二次函数的应用（一）
一、选择题：
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－90所示，则下列判断错误的是( )
A．a＞0 B．c＜0 C.函数有最小值 D．y随x的增大而减小
2．关于二次函数y=x2＋4x－7的最大(小)值叙述正确的是 ( )
A．当x＝2时，函数有最大值
B．当x=2时，函数有最小值
C.当x＝－2时，函数有最大值
D．当x＝－2时，函数有最小值
3.（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，
且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X﹣1 0 1 3
y﹣1 3 5 3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y =的图象可能是
（）
A ．
B
C
D ．
5.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、
F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）
A．B．C．D．
二、填空题
6．抛物线y＝－2x2＋5x－l有点，这个点的坐标是．
7．把二次函数y＝2x2－4x＋5化成y=a(x－h)2＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝时，函数y有最值，当x 时，y 随x的增大而减小．
8. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c 的值为．
（第3题图）
9．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= ______．
三、解答题：
10．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝－3，求此二次函数的解析式．
11．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出
的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R元，售价为每只P元，且R，P 与x之间的函数关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－2x.
(1)当日产量为多少只时，每日获得的利润为1750元?
(2)当日产量为多少只时，每日可获得最大利润?最大利润是多少元?
12. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A
（1，1
4
）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
13．某商场试销一种成本为60元／件的T恤衫，规定试销期间销售单价不低于
成本单价，获利不得高于成本单价的40％．经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元／件)符合一次函数y＝kx＋b，且当x＝70时，y＝50；当x＝80时，y ＝40．
(1)求一次函数y=kx＋b的解析式；
(2)若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润?最大利润是多少?
14．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆车的进货价为25万元．市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．(销售利润＝销售价－进货价)
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
15. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．
参考答案
1．D[提示：对称轴异侧的增减性不一致．]
2．D[提示：y＝x2＋4x－7＝(x＋2)2－11．∵a＞0，∴函数有最小值．当x＝－2时，函数y=(x＋2)2－11的最小值是－11．]
3.B
4.C
5.A
6．最高
517 48 (,)
7．y＝2(x－1)2＋3 向上 (1，3) 1 小＜1
8、0
9.3﹣_
10．提示：y＝－1
4
(x＋3)2＋4＝－
1
4
x2－
3
2
x＋
7
4
.
11．解：设每日利润是y元，则y＝Px－R=x(170－2x)－(500＋30x)=－2x2＋140x －500=－2(x－35)2＋1950(其中0＜x≤40，且x为整数)．(1)当y=1750时，－
2x2＋140x－500＝1750，解得x
1＝25，x
2
=45(舍去)，∴当日产量为25只时，每
日获得的利润为1750元． (2)∵y＝－2(x－35)2＋1950，∴当日产量为35只
时，每日可获得最大利润，为1950元．
12.解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，1
4
）代入y=ax2得：a=
1
4
，
∴二次函数的解析式为y=1
4
x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y=1
4
x2上，
∴可设点P的坐标为（x，1
4
x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=1
4
x2﹣1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF==1
4
x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=1
4
x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥x轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴1
4
x2+1=4，
解得：x=±2，
∴14x 2=1
4
×12=3， ∴满足条件的点P 的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
13．解：(1)由题意得7050,8040,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,120,k b =-⎧⎨=⎩故所求一次函数解析式为y=－x
＋120(60≤x ≤84)． (2)w=(x －60)(－x ＋120)=－x 2＋180x －7200=－(x －90)2＋900．∵抛物线开口向下，∴当x ＜90时，w 随x 的增大而增大．又∵60≤x ≤84，∴x ＝84时，w ＝(84－60)×(120－84)=864，∴当销售单价定为84元／件时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．
14．解：(1)y=29－25－x ，∴y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)． (2)z ＝(8＋0.5
x
×4)y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)=－8x 2＋24x ＋32=－8(x －32
)2
＋50．(3)由(2)的计算过程可知，当x ＝
3
2
＝1.5时，z 最大值＝50．即当定价为29－1.5＝27.5万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润为50万元． 15.（1）解：
∵l ：y =kx ，C ：y =ax 2+bx +1，当b =1时有A ，B 两交点， ∴A ，B 两点的横坐标满足kx =ax 2+x +1，即ax 2+（1﹣k ）x +1=0． ∵B 与A 关于原点对称， ∴0=x A +x B =，
∴k =1．
∵y =ax 2+x +1=a （x +）2+1﹣
，
∴顶点（﹣
，1﹣
）在y =x 上，
解得a=﹣．
（2）
①解：∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，r：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，
∵△==0，
∴（b﹣1）2+4a=0，
当k=2时，r：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，
∵△==0，
∴（b﹣2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组，
解得或．
∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，
∴△=．
当时，△===0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当时，△==，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．
②证明：
根据题意，画出图象如图1，
由P在抛物线y=﹣x2+1上，设P坐标为（x，﹣x2+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，
∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，
∴OP====，
PQ=2﹣y
=2﹣（﹣x2+1）=，
P
∴OP=PQ．。