上海高三数学一轮复习单元训练 数系的扩充与复数的引入

上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：数系的扩充与
复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若等比数列{}n a 前n 项和为a S n n +-=2，则复数i a i
z +=在复平面上对应的点位于
( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A 2．已知复数,21,321i z bi z -=-=若
21z z 是实数，则实数b 的值为( ) A ．6
B ．-6
C ．0
D ．61 【答案】A
3．复数i
i z +-=131的虚部是( ) A ． 2 B ． 2- C ．i 2 D ．i 2-
【答案】B
4．221212i i i i
+-+-+的值是( ) A ．i B ．2i C ．0 D ．45
【答案】C 5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数))(21(i a i z +-=在复平面内对应的点为M ，则“21>
a ”是“点M 在第四象限”的( )
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
【答案】C 6．复数1z i =+（i 是虚数单位），则复数(1)(1)z z +-虚部是( )
A ．-1+2i
B ．-1
C ．2i
D ．2
【答案】D 7．已知复数11222i,34i,z z m z z =+=-若
为实数，则实数m 的值为( ) A ． 2
B ． －２
C ．23
D ．2
3- 【答案】D
8．下面是关于复数21z i
=- 的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i =
3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1
其中真命题为( )
A ．23,p p
B ．12,p p
C ．24,p p
D ．34,p p 【答案】C
9．在复平面内，复数
1i i +＋（1＋3i ）2对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B 10．i
i i i +---+1)2(1)21(2
2等于( ) A ．i 43-
B ．i 43+-
C ．i 43+
D ．i 43--
【答案】B 11．已知i 为虚数单位，则
i
1i +所对应的点位于复平面内点( ) A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限 【答案】A 12．设i 为虚数单位，则复数34-i 的虚部是( )
A ． 4i
B ． 4-i
C ． 4
D ． 4-
【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若i 为虚数单位，则复数
31i i -+＝____________． 【答案】12i -
14．若复数)()4(23222R t i t t t z ∈-+--=为纯虚数，则t 的值为___________。

【答案】2
1- 15．如果C z ∈，且1=z ，则i z 21--的最大值为 【答案】15+
16．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，复数a bi += ．
【答案】12i -+
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设复数()()i m m m m z 2322lg 22+++--=，当m 取何实数时？
(1）z 是纯虚数；
(2）z 对应的点位于复平面的第二象限。

【答案】（1）z 是纯虚数当且仅当()
⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--023022lg 22m m m m ，
解得，3=m (2）由()
⎪⎩⎪⎨⎧>++<--023022lg 22m m m m ⎩⎨⎧->-<<<+-<<-⇒1
2331,311m m m m 或或 所以当<<+-<<-m m 31311或3时， z 对应的点位于复平面的第二象限。

18．实数m 取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是
(1）实数？ (2）纯虚数？
【答案】(1）m=1 (2）m=0
19．已知复数z=(2m 2+3m －2)+(m 2+m －2)i ，(m ∈R)根据下列条件，求m 值.
(1) z 是实数； (2)z 是虚线； (3) z 是纯虚数； (4)z ＝0.
【答案】 (1)当m 2+m －2=0，即m=－2或m=1时，z 为实数；
(2)当m 2+m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数；
(3)当222m +3m 2=0m +m 20⎧-⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =m =22m 2m 1
⎧-⎪⎨⎪≠-≠⎩或且， 即1m =2
时，z 为纯虚数； (4)当222m +3m 2=0m +m 20⎧-⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =m =22m 2m 1
⎧-⎪⎨⎪=-=⎩或或，即m=－2时，z=0. 20．设复数z
，且()12i z +(i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y x =上，求z .
【答案】设z x yi =+（x y R ∈、）
∵||z ，∴2210x y +=
而(12)(12)()(2)(2)i z i x yi x y x y i +=++=-++
又∵()12i z +在复平面上对应的点在直线x y =上，
∴22x y x y -=+
即22103x y x y
⎧+=⎨=-⎩，∴31x y =⎧⎨=-⎩或31x y =-⎧⎨=⎩ 即(3)z i =±-
21．已知复数()21332
z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）。

(1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；
(2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值.
【答案】（1）由条件得，()21232342z z a a i a ⎛⎫-=-+-- ⎪+⎝⎭
因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320,2340
a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩
2110,2,212214(4)(1)0,
a a a a a a a a +⎧⎧<-<<-⎪⎪⇔⇔⇒-<<-+⎨⎨⎪⎪<->-+>⎩⎩或
(2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根 所以11662
z z a +==+，即1a =- 把1a =-代入，则1132,32z i z i =-=+ 所以1113m z z =⋅=
22． m 取何值时，复数226(215)3
m m z m m i m --=+--+ (1）是实数； (2）是纯虚数.
【答案】(1)
(2) 230603015222-==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=--≠+≠--m m m m m m m 或
是纯虚数时，或当z 23-==∴m m .。