北京密云县太师庄中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析

北京密云县太师庄中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量且// ，则=（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
3. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）
参考答案：
B
4. 已知集合，则
( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
由题意可知，另外两个三角形上的数字之和为6，列出所有的基本事件，并确定基本事件的数目，并确定事件“两个三角形上的数字之和为6”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率.
【详解】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，
则另外两个三角形上的数字之和恰为.从1、2、3、4、5中任取两个数字的所有情况有、、、、、、、、、，共10种，而其中数字之和为6的情况有、，共2种，
因此，该图形为“和谐图形”的概率为，故选：B.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出基本事件，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
6. 已知三棱锥A-BCD中，，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A. B. C. D. 4π
参考答案：
A
【分析】
先作出图形，结合长度关系证明△为直角三角形，确定球心，求出半径得到体积.
【详解】∵
∵，∴△为直角三角形；
取中点,如图，则，
∴为三棱锥外接球的球心，且半径；
∴外接球的体积为，故选A.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的体积，此类问题的一般求解思路是：根据条件确定球心位置，然后求出半径，代入公式可得体积；或者构造模型借助模型求解.
7. 复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．
【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），
故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，
故选 D．
8. 已知，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A :试题分析：由题意可知，,因此=
故选A
考点：向量的数量积运算
9. 过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与轴所成角，再得到所求角.
【详解】由得圆的方程为：
则半径为：3；圆心与原点之间距离为：
设一条切线与轴夹角为，则
根据对称性可知，两条切线所成锐角为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件，得到半角的正弦值.
10. 过双曲线x2－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有
A．1条B．2条 C．3
条 D．4条
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面上三点、、满足，，，则
的值等于_______．
参考答案：
略
12. 点（-2，-1）在直线下方，则m的取值范围为_______________；
参考答案：
（-∞,-3）∪（0,∞）
13. 从中，得出的一般性结论是__________.
参考答案：
本题考查归纳推理的应用.观察等式可以看到，等个等式的等号左边有
个数，第一个为，此后依次递增，因此最后一个数字为，而等号右边为，∴得出的一般性的结论是.
【备注】归纳推理通常与数列通项公式的求解或求和等问题相结合进行考查,有时候会融入新的定义等,考查阅读理解能力与归纳推理能力的应用.
14. 已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
参考答案：
(6，＋∞)
略
15. 函数的最小正周期是__________．
参考答案：2
【分析】
直接利用余弦函数的周期公式求解即可．
【详解】函数的最小正周期是：2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查．
16. 已知，
若则( )
A．1 B． C． D．
参考答案：
B
略
17. 已知﹣=，则C8m
= ．
参考答案：
28
【考点】D5：组合及组合数公式．
【分析】根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．
【解答】解：根据组合数公式，
原方程可化为：﹣=×，
即1﹣=×；
化简可得m2﹣23m+42=0，
解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）
则m=2；
∴C8m=C82=28；
故答案为28．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数在其定义域上为奇函数．
⑴求m的值；
⑵若关于x的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
当时，，由得定义域为..
⑵设在是增函数，在是增函数. 又为奇函数，
综上，的取值范围是.
19. （本小题12分）设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最小值；
参考答案：
20. (14分).在平面上有一系列的点, 对于正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆P n+1又彼此外切，若，且
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设圆的面积为，求证：
参考答案：
（1）证明：的半径为，的半径为，………1分
和两圆相外切，则…………………………2分
即………………3分整理，得………………5分又所以………………………………6分
即故数列是等差数列………………………………7分
（2）由（1）得即，………………8分
又所以………………………9分
法（一）：
………………11分
……13分
………………………………14分
法（二）：
………………10分
…………………………………………11分
……………12分
……………………………13分
…………………………………………14分
21. （本小题满分12分）＋＋＋…＋，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？
参考答案：
解n＝1时，＝；
n＝2时，＋＝＋＝；
n＝3时，＋＋＝＋＝；
n＝4时，＋＋＋＝＋＝.
观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.
所以猜想＋＋＋…＋＝.
证明如下：
由＝1－，＝－，…，＝－.
∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝.
略
22. 如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA ＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为，
若存在，求出CQ的值？若不存在，请说明理由.
参考答案：
解法一：
（1）取AB的中点H，连接GH，HE，
∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH∥AD∥EF，∴E、F、H、G四点共面.
又H为AB的中点，∴EH∥PB.
又EH面EFG，PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.
（4分）
（2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.
在Rt△MAE中，EM＝＝，
同理EG＝，又GM＝MD＝
∴在△MGE中，cos∠EGM＝＝＝，
故异面直线EG与BD所成角的余弦值为.
（8分）
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD. ∵四边形ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA.又AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB.
又∵E、F分别是PA、PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离.
设CQ＝x(0≤x≤2)，则BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1，
在Rt△EAR中，AT＝＝＝
解得x＝.故存在点Q，当CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为
（13分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C （2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.
（1）∵PB＝（2，0，－2），FE＝（0，－1，0），FG＝（1，1，－1），
设PB＝
s FE＋t FG，即(2，
0，－2)＝s(0，－
1，0)＋t(1，1，－
1)，
∴解得s＝t＝2.
∴PB＝2FE＋2FG
又∵FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面.
∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.
（4分）
（2）∵EG＝（1，2，－1），BD＝（－2，2，0）.
∴cos＜EG，BD＞＝＝＝
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为
（8分）
（3）假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m，∴点Q的坐标为（2－m，2，0）
∴EQ＝（2―m，2，―1）
而EF＝（0，1，0），设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，则
∴
令x＝1，则n＝（1，0，2－m），又AE＝（0，0，1），
∴点A到平面EFQ的距离d＝＝＝
即(2－m)2＝，
∴m＝或m＝，又m＝＞2不合题意，舍去.
故存在点Q，当CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为. （13分）略。