线性代数知识网络图殷德京

线性代数知识网络图
【矩阵与向量】
1.概念 由n m ⨯个数排列成m 行、n 列的矩形(有序)表。

2.线性运算
加法:),,2,1;,,2,1)((n j m i b a B A ij ij ==±=±.
数乘:n m ij ka kA ⨯=)(.
乘法:设s m ij a A ⨯=)(,n s ij b B ⨯=)(,定义n m ij c AB C ⨯==)(,
其中∑==
s
k kj ik
ij b a
c 1
,),,2,1;,,2,1(n j m i ==.
转置:
3.矩阵的秩
零矩阵的秩定义为零；非零矩阵A 的秩定义为非零子式的最高阶数(即最高阶非零子式的阶数),记为)(A R 。

4.高矩阵
秩等于列数的矩阵(即最高阶非零子式的阶数等于列数的矩阵)称为高矩阵.
●A 为高矩阵⇔存在着矩阵B 使得),(B A 为可逆矩阵(这时B 自然也为高矩阵)⇔存在着矩阵B 使得E A B T =(这时B 自然也为高矩阵)⇔A 的列向量线性无关. 5.可逆矩阵 ●对于方阵A ：A 可逆⇔A 非奇异(非退化,正则)⇔0||≠A ⇔A 满秩⇔n A R =)(⇔A 可初等变换成E ⇔A 等价于E ⇔E A ~⇔A 可表为有限个初等矩阵之积⇔b x =A 有唯一解⇔0x =A 只有零解⇔A 的n 个行(列)向量线性无关⇔n 维向量组n A a a a ,,,:21 线性无关⇔由
0a a a =+++n n k k k 2211可推得系数021====n k k k (将系数组看成解,即只有非零解)⇔任意不全为零的数n k k k ,,,21 总使得0a a a ≠+++n n k k k 2211⇔A 的特征值全不为零⇔按乘法
A n n ),,,(),,,(2121αααβββ =，能由已知的线性无关向量组),,,(21n ααα 产生新的线性无关向量组),,,(21n βββ ⇔按乘法A n n ),,,(),,,(2121αααβββ =，能由已知的n 维线性空间中的一个基),,,(21n ααα 产生该空间中的另一个基),,,(21n βββ (A 就是反映两基关系的过渡矩阵).
以上助记为：
非奇异，就可逆， 所含列组线独立； 非零式，就满秩， 零解齐次方程式； 初换Ｅ，等价Ｅ， 非齐方程解唯一； 非零值，初阵积， 右乘旧基变新基。

(其中非零式指非零行列式，非零值指非零特征值).
●矩阵任一非零子式所在的行(列)向量组成的向量组线性无关.
矩阵最高阶非零子式所在的行是矩阵行向量组的一个最大线性无关组;
矩阵最高阶非零子式所在
的列是矩阵列向量组的一个最大线性无关组.
【矩阵与方程】
【向量与方程】
●向量b 能由向量组m A a a a ,,,:21 线性表示
(即存在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m λλλ 21使m
m a a a b λλλ+++= 2211⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m m λλλ 2121),,,(a a a ) ⇔方程b x a a a a a a ==+++),,,(212211m m m x x x 有解(解i x 就是线性表示(组合)系数i λ)
⇔矩阵),,,(21m A a a a =的秩等于增广矩阵),,,,(21b a a a m B =的秩.
●向量组l B b b b ,,,:21 能由向量组m A a a a ,,,:21 线性表示
(即存在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi i i λλλ 21使m mi i i i a a a b λλλ+++= 2211⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mi i i m λλλ 2121),,,(a a a ，),,2,1(l i =
或
存在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ml m m l l λλλλλλλλλ 212222111211使⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ml m m l l m l λλλλλλλλλ 2122221112112121),,,(),,,(a a a b b b ) )
⇔矩阵方程),,,(),,,(2121l m b b b X a a a =有解(解ij x 就是线性表示(组合)系数ij λ) ⇔矩阵),,,(21m A a a a =的秩等于增广矩阵),,,,,,,(2121l m B b b b a a a =的秩.
【矩阵的特征值和特征向量】
●对于n 阶方阵A ，若存在数λ及n 维非零列向量x ，使得x Ax λ=，则称λ是A 的一个特征值，称x 是A 的对应于特征值λ的一个。

●0λ是方阵A 的特征值⇔0λA 的特征多项式||E A λ-的根(零点)
⇔A 的特征方程0||=-E A λ的解(根).
●x 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量⇔x 非零且满足x Ax λ=
⇔x 是齐次方程组0)(=-x E A λ的非零解.
●方阵A 的特征值不同⇒与这些不同特征值对应的特征向量之间线性无关. ●求方阵A 特征值和特征向量的方法：
（1）由已知方阵A ，写出特征方程0||=-E A λ，解此方程，其全部解i λ就是A 的全部特征值； （2）对于上面求出的每一个i λ，解齐次方程组0)(=-x E A i λ，其全部非零解就是A 的属于i λ的全部特征向量，其中按化为行最简形“标准程序”直接求出的所有非零解构成了一个对应于这个i λ的基础解系r n -x x x ,,,21 （其中r 为特征矩阵)(E A i λ-的秩），这个基础解系就是A 的属于特征值i λ的全部线性无关的特征向量。

【相似矩阵】
相似变换与相似矩阵：
对于n 阶方阵A 、B ，若存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，或称B 是A 的相似矩阵，记为A ～B 。

这时运算AP P 1
-称为对A 进行相似变换。

对角化：
●n 阶方阵A 相似于对角阵⇔n 阶方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量
n x x x ,,,21 (这时自然有i i i x Ax λ=且对角阵主对角线上的元素就是A 的n 个特征值i λ)⇔存在有n 个
线性无关的向量n x x x ,,,21 ，且满足i i i x Ax λ=(此时与A 相似的对角阵的对角线上的元素为i λ)①
.
●n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等⇒n 阶方阵A 可对角化.
●n 阶方阵A 可对角化⇒对角阵主对角线上的元素就是A 的n 个特征值i λ.
●n 阶方阵A 的n 个特征值有相等(即有重特征根)⇒A 可能有也可能没有n 个线性无关的特征向量
⇒A 可能可对角化也可能不可对角化.
①
参见陆少华《简明高等代数》P119定理5.1。

【线性空间 线性变换】
●一般抽象向量a 、抽象基向量n ααα,,,21 、坐标n λλλ,,,21 (即具体数组向量)的关系：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+++=n n n n λλλλλλ 21212211),,,(ααααααa (1)
即:坐标=由基线性表示(组合)的系数数组 坐标元=由基线性表示(组合)的系数
或即：抽象向量可以通过在某一基下的坐标表示出来
还即：抽象向量=基左乘坐标(列矩阵)
●一般抽象线性变换A 、抽象基向量n ααα,,,21 、矩阵⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a
a a a a a a A 2
1222
2111211的关系：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++=n
nn n n n n
n n n a a a a a a a a a αααA αααA αααA 22112222112212211111ααα
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛==nn n n n n n n n a a a a a a a a a 21
22221
112
11
211121),,,(),,,(),,,(αααA αA αA ααααA (2)
或即：抽象线性变换可由在某一基下的矩阵表示出来
还即：抽象线性变换去变换基(结果为抽象向量组)=基左乘矩阵
【注】：(1)式和(2)式是类似的，(1)式表明任一向量等于基左乘以坐标；(2)式表明任一线性变换等于基左乘以矩阵。

【内积空间】
●规范正交基r e e e ,,,21 下，n 维向量a 与坐标r λλλ,,,21 以及基的关系：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+++=r r r r λλλλλλ 21212211),,,(e e e e e e a (3)
],[a e a e i T i i ==λ.
即:坐标=由规范正交基线性表示(组合)的系数数组=基与向量的内积
坐标元=由规范正交基线性表示(组合)的系数=基向量与向量的内积
【注】：(3)式和(1)式在内积空间的一个应用。