2020届陕西省高三第三次联考文科数学试题(学生版)

陕西省2020届高三年级第三次联考
文科数学
一、选择题
1.全集U =R ，集合(){}
ln 1A x y x ==-
，{
B y y ==，则()U A B =I ð（ ）
A. ()1,2
B. (]1,2
C. [)1,2
D. []1,2
2.已知复数51i
z i
+=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知向量()2,1a =-r ，()6,b x =r ，且//a b r r
，则a b -=r r （ ）
A. 5
B.
D. 4
4.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A.
110
B.
310
C.
35
D.
25
5.命题“存在R x ∈，210x x ++≤的否定是（ ） A. 不存在R x ∈，210x x ++> B. 存
R x ∈，220x x ++≥
C. 对任意的R x ∈，210x x ++≤
D. 对任意的R x ∈，210x x ++> 6.设函数()()21,04,0
x
log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）
A .
9
B. 11
C. 13
D. 15
7.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C. 若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r
8.已知,44ππα⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，24sin 225α=-，则tan α=（ ）
A. 34-
B. 34-
或43
- C.
3
4
D.
34
或43-
9.抛物线24y x =的焦点为F ，点()3,2A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为（ ） A. 4
B. 5
C. 4+
D. 5+10.若关于x 的不等式2
1cos 2cos 03
x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 1
3
-
B. 13
C. 23
D. 1
11.若函数3
2
1y x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）
A .
1
,3
⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
B. 1,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
12.设1F 、2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，
2c =，21
3PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 2y x =±
B. y =
C. y x =
D. y =
二、填空题
13.若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪+-≤⎩
，则3z x y =+的最大值为______．
14.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单
位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，
(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.
15.甲船在岛B 的正南A 处，6AB km = ，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km .
16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2M ，为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为_________．
三、解答题 （一）必考题
17.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥平面PAB ，1AD AP PB ===，
90APB ∠=︒，点E 、F 分别为BC 、AP 中点．
（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）求三棱锥D PEF
-的
体积．
18.已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宜传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
x （万元） 2
4
5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程.
（2）已知这种产品的年利润z （万元）与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，预测该产品的年销售量及年利润； ②估计该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值.
附：回归方程ˆˆy bx a =+$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
1
22
1
n i i
i n
i
i x y nx y b
x
nx ==-=-∑∑$()()
()
1
2
1
,n
i
i
i n
i
i x x y y x x ==--=
-∑∑ˆa y bx
=-$. 参考数据：
5
1
88.5,i i
i x y
==∑5
21
90i i x ==∑.
20.已知函数()ln f x x ax =-，2
()g x x =.a R ∈.
（1）求函数()f x 的极值点；
（2
）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围.
21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2
e =，(
是椭圆C 上一点．
（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为
1
2
，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．
（二）选考题
[选修4—4：坐标系及参数方程]
22.
已知直线l
的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6
π
θρ=
∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.
[选修4—5，不等式选讲]
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()2|2||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；
（2）[1,2]x ∃∈，使得不等式2
()f x x a >-+成立，求实数a 的取值范围.。