高等数学上试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A
卷）
2011~2012学年第1学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．0
lim
2x x
→=。

2．曲线2
x x
e e
y -+=在点(0,1)处的曲率是2014年不做要求。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy =。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞
-⎰=。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．设2,01
(),,12
x x f x x x ⎧<≤=⎨
<<⎩在点1x =处必定（） A ．连续但不可导B ．连续且可导
C ．不连续但可导
D ．不连续，故不可导 2．曲线y =4x =处的切线方程是（）
A ．114y x =
-B ．1
12y x =+ C ．114y x =+D ．1
24
y x =+
3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（） A ．
21x B ．3
x C ．x D ．2
11x + 4．设()f x 为连续函数，则下列等式中正确的是（） A ．()()f x dx f x '=⎰B ．
()()d
f x dx f x C dx
=+⎰
C ．()()d f x dx f x =⎰
D ．()()d f x dx f x dx =⎰ 5．已知()0232a
x x dx -=⎰，则a =（）
A ．1-
B ．0
C ．
1
2
D ．1 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
极限()
01
1lim x x x e x x e →---。

1.求
2.设函数1sin 2 ,0
(), ,0
x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3.设参数方程()1sin cos x t t y t t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。

4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求
d d y x。

5．求函数3
21
x y x =-的单调区间，极值和拐点。

6．计算定积分1
ln e
x xdx ⎰。

7
．求不定积分3。

四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．证明不等式：当0x >时，3
sin 6
x x x >-。

2．设0,()a f x >在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，又()0f a =，试证：存在
(,)a b ξ∈，使得()'()b f f a
ξ
ξξ-=。

3．如图，在区间[]0,1上给出函数2y x =，问a 为何值时，图中阴影部分的面积1A 与2A 之和最小？
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2011~2012学年第1学期 考试科目：高等数学A
Ⅰ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．522．13．
'()()f x dx f x 4．3
221(3)3x C -+5．16
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．A2．C3．D4．D5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1.求极限()
01
1lim x x x e x x e →---。

解：()0011
11lim lim x x x
x
x x x e x e e xe x e →→---=-+-．．．．．．．．．．．２分 =02lim x
x x
x e e xe →+．．．．．．．．．．．．．．．４分 =01
2lim
x x →+．．．．．．．．．．．．５分
=1
2．．．．．．．．．．．．．．．．７分 2.设函数1sin 2 ,0
(), ,0 x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

解：因为函数在点 0x =处可导，所以在点 0x =处连续，
即0
()()(0)lim lim x x f x f x f -+
→→==．．．．．．．．．．．．．．．１分 即0
(1sin 2)()1lim lim x x x a bx -+
→→+=+=．．．．．．．．．．．．．２分 所以
1a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
又函数在点 0x =处可导，所以
00()(0)()(0)
lim lim x x f x f f x f x x
-+
∆→∆→∆-∆-=∆∆．．．．．．．．．．．．５分 即001sin 211
lim lim x x x a b x x x -+
∆→∆→+∆-+∆-=∆∆．．．．．．．．．．６分 所以
2b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分
3.设参数方程()1sin cos x t t y t t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。

解：
cos sin dy
t t t dt
=-．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 1sin cos dx
t t t dt
=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 1.5CM
所以cos sin 1sin cos dy dy t t t dt dx dx t t t dt
-==--．．．．．．．．．．．７分 4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求
d d y x。

解：方程两边对x 求导，．．．．．．．．．．．．．．１分 得2'22'0yy y xy --=．．．．．．．．．．．．．．．．５分 所以
d d y y x y x
=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 5．求函数3
21x y x =-的单调区间，极值和拐点。

解：2222
(3)
'(1)x x y x -=-．．．．．．．．．．．1分
323
2(3)''(1)
x x y x +=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 令'0y =
，得驻点
0,x =3分
令''0y =，得驻点
0x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
讨论得单调递增区间为(,)-∞+∞
，单调递减区间为
(1),(--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．5分
当x =
，当x =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 拐点为(0,0)。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 6．计算定积分1ln e
x xdx ⎰。

解：21
1
1ln ln 2e
e
x xdx xdx =⎰
⎰．．．．．．．．．．２分
＝221111(ln )ln 22e e x x x d x -⎰．．．．．．．．．．．．４分
＝21
1122e
e xdx -⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 ＝214
e +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分
7
．求不定积分3。

解：设sin x t =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分
则33sin tdt =⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
＝2(cos 1)(cos )t d t -⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
＝31
cos cos 3t t C -+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分
C ．．．．．．．．．．．．．．．７分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．证明不等式：当0x >时，3
sin 6x x x >-。

解：设3
()sin 6
x f x x x =-+
则2
'()cos 12
x f x x =-+．．．．．．．．．．．．．．．．１分
所以''()sin f x x x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
当0x >时，''()sin 0f x x x =->，即'()f x 单调递增．．．．．．．．．．．．４分
所以当0x >时，'()'(0)f x f >
即2'()cos 102x f x x =-+>，故3
()sin 6
x f x x x =-+单调递增．．．．．．．．６分 所以当0x >时，()(0)f x f >
1.5CM
即
3
sin 6
x x x >-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．７分
2．设0,()a f x >在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，又()0f a =，试证：存在
(,)a b ξ∈，使得()'()b f f a
ξ
ξξ-=。

证明：令()()()a F x b x f x =-．．．．．．．．．．．．．．．．2分
则()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导．．．．．．．．．．．．．．．．3分 且()()F a F b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由罗尔定理知，存在(,)a b ξ∈，使得
1'()()()()'()0a a F a b f b f ξξξξξ-=--+-=．．．．．．．．．．．．6分
即
()'()b f f a
ξ
ξξ-=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 3．如图，在区间[]0,1上给出函数2y x =，问a 为何值时，图中阴影部分的面积1A 与2A 之和最小？
解：223
102()3a
A a x dx a =-=
⎰．．．．．．．．．．１分
12223112
()33
a A x a dx a a =-=-+⎰．．．．．．．．．２分
所以231214
33A A A a a =+=-+．．．．．．．．．．．３分
2'24A a a =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
令2'240A a a =-+=，得0a =或1
2
a =
．．．．．．．５分 ''28A a =-+，1
''()202
A =>．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分
所以当1
2
a =时阴影部分的面积1A 与2A 之和最小．．．．．７分。