高考数学一轮温习第10章第2节排列与组合课后限时自测理苏教版

【高考讲坛】高考数学一轮温习第10章第2节排列与组合
课后限时自测理苏教版
[A级基础达标练]
一、填空题
1．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随意坐在某个座位上候车，则恰好有2个持续空座位的候车方式的种数是________．
[解析]由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．若是是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，以后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共3×2×2＝12种；若是是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共3×2×1＝6种，因此总共12＋6＝18种情况．[答案]18
2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．
[解析]知足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以知足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．[答案]66
3．(2014·福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个．
[解析]分类讨论：若十位数为6时，有A25＝20(个)；若十位数为5时，有A24＝12(个)；若十位数为4时，有A23＝6(个)；若十位数为3时，有A22＝2(个)．
因此一共有40个．
[答案]40
4．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多肯定的圆的个数为________．
[解析]从8个点中任选3个点有选法C38种，因为有4点共圆所以减去C34种再加1种，共有圆C38－C34＋1＝53个．
[答案]53
5．某同窗有一样的画册2本，一样的集邮册3本，从中掏出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有________种．
[解析]分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C24＝6(种)方式；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C14＝4(种)方式，∴不同的赠送方式共有6＋4＝10(种)．[答案]10
6．用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个．
[解析]由题可知，数字5必然在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，按照分步乘法计数原理，可得这样的六位数有2×6×3＝36个．
[答案]36
7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多1张，不同取法有________种．[解析]第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．
由分类计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．
[答案]472
8．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，列位数字之和为偶数的三位数共有________个．
[解析]在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数列位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，
∴符合条件的三位数共有C23·C12·A33＝36(个)．
[答案] 36
二、解答题
9．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生当选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方式种数是多少？(用数字作答)．
[解] 分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 15)＝360(种)；
②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种)；
③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种)．
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方式种数是360＋210＋20＝590种．
10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．
(1)若每一个盒子放一球，则有多少种不同的放法？
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？
[解] (1)每一个盒子放一球，共有A 44＝24(种)不同的放法；
(2)法一 先选后排，分三步完成．
第一步：四个盒子当选一只为空盒，有4种选法；
第二步：选两球为一个元素，有C 24种选法；
第三步：三个元素放入三个盒中，有A 33种放法．
故共有4×C 24A 33＝144(种)放法．
法二 先分组后排列，看做分派问题．
第一步：在四个盒子当选三个，有C 34种选法；
第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C 24
⎝ ⎛⎭⎪⎫即C 24C 12C 11A 22种放法； 第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A 33种放法．
故共有C 34C 24A 33＝144种放法．
[B 级 能力提升练]
一、填空题
1．在航天员进行的一项太空实验中，要前后实施6个程序，其中程序A 只能出此刻第
一或最后一步，程序B和C在实施时必需相邻，则实验顺序的编排方式共有________种．[解析]程序A有A12＝2(种)排法，将程序B和C看做元素集团与除A外的元素排列有A22A44＝48(种)，
∴由分步计数原理，实验编排共有2×48＝96(种)方式．
[答案]96
2．(2014·济南模拟)如图10­2­1所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．
图10­2­1
[解析]当第一组开关有一个接通时，电路接通为C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．[答案]21
二、解答题
3．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法为几种？
(2)现有10个保送上大学的名额，分派给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分派的方式共有多少种？
[解](1)由题意知有5个座位都是空的，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．
由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24(种)．
(2)法一每一个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方式种数就是要求的分派方式种数．
分类：若3个名额分到一所学校有7种方式；
若分派到2所学校有C27×2＝42(种)；
若分派到3所学校有C37＝35(种)．
∴共有7＋42＋35＝84(种)方式．
法二10个元素之间有9个距离，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个距离中，共有C69＝84(种)不同方式．
所以名额分派的方式共有84种．。