额尔古纳市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

额尔古纳市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
2．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．
A．B．C．D．
3．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）
A．92% B．24% C．56% D．5.6%
4．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）
A ．n ≤8？
B ．n ≤9？
C ．n ≤10？
D ．n ≤11？
5． 已知双曲线C ：﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线l ⊥x 轴交双曲线C
的渐近线于点A ，B 若以AB 为直径的圆恰过点F 2，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
6． 下列命题中正确的是（ ）
A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d
B ．任何复数都不能比较大小
C ．若
=
，则z 1=z 2
D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1=
7． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
8． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A ．20种
B ．24种
C ．26种
D ．30种
9． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）
A ．20人
B ．40人
C ．70人
D ．80人
10．若当R x ∈时，函数|
|)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3
|
|log x x y a =
的图象大致是
（）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．
11．（2011辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）
A．﹣B．﹣C．D．
12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（）
A．1
3
B．
2
3
C．1D．2
二、填空题
13．已知点M（x，y）满足，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值是．
14．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则值等于．
15．已知两个单位向量,a b满足：
1
2
a b
∙=-，向量2a b
-与的夹角为，则cosθ=.
16．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为．
17．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．
18．若函数y=f（x）的定义域是[，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为．
三、解答题
19．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2
（1）求a ，b 的值；
（2）设函数g （x ）=f （x ）﹣2x+2，求g （x ）在其定义域上的最值．
20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：
222(2)x y r ++=（0r >），设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．[_]
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R S 、（O 为坐标 原点），求证：OR OS ⋅为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
21．求曲线y=x3的过（1，1）的切线方程．
22．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
23．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，B={y|y=2x，1≤x≤2}，求：（1）集合A，B；
（2）（∁U A）∩B．
24．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2EC，EC∥PD．
（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：
（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
额尔古纳市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
2．【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．3．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56
故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
4．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2
n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4
n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，
故选B．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c，
双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c，c）B（﹣c，﹣c）
∵AB为直径的圆恰过点F2
∴F1是这个圆的圆心
∴AF1=F1F2=2c
∴c=2c，解得b=2a
∴离心率为==
故选D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．
6．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
8．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
9．【答案】A
【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4，
则这样的样本容量是n==20．
故选A．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距=是解答的关键．
10．【答案】C
【解析】由||
)
(x a
x
f=始终满足1
)
(≥
x
f可知1
>
a．由函数
3|
| log
x x
y a
=是奇函数，排除B；当)1,0(
∈
x时，
|
|
log<
x
a ，此时0
|
|
log
3
<
=
x
x
y a，排除A；当+∞
→
x时，0
→
y，排除D，因此选C．
11．【答案】A
【解析】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
12．【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=
，选B ． 二、填空题
13．【答案】 4 ．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A （3，4），
显然直线z=ax+by 过A （3，4）时z 取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++
≥2+2
=4，
当且仅当3a=4b 时“=”成立， 故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
14．【答案】
．
【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2），
所以tan α=﹣2．
=
=
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
15．【答案】． 【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 16．【答案】 3π ．
【解析】解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体，如图
∵球与三棱锥各条棱都相切，
∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心， 而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点
由此可得该球的直径为
，半径r=
∴该球的表面积为S=4πr 2
=3π
故答案为：3π
【点评】本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．
17．【答案】（，）．
【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①
∵点A（2，0），点B（0，3），
∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，
∴a=，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C的坐标为（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】 [，4] ．
【解析】解：由题意知≤log
2x ≤2，即log 2≤log 2x ≤log 24，
∴
≤x ≤4．
故答案为：[
，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f （x ）的定义域是[，2]，得到≤log 2x ≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=x+ax 2
+blnx 的导数f ′（x ）=1+2a+（x ＞0），
由题意可得f （1）=1+a=0，f ′（1）=1+2a+b=2，
得
；
（2）证明：f （x ）=x ﹣x 2+3lnx ，g （x ）=f （x ）﹣2x+2=3lnx ﹣x 2
﹣x+2（x ＞0），
g ′（x ）=﹣2x ﹣1=﹣，
可得g （x ）max =g （1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．
20．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =，2
c e a =
=， 1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． （3分）
（3）设),(00y x P 由题意知：01x x ≠，01y y ≠±. 直线MP 的方程为),(01
01
00x x x x y y y y ---=-
令0=y 得101001y y y x y x x R --=
,同理：1
01
001y y y x y x x S ++=，
∴2
1
2
02
1
2
02
02
1y y y x y x x x S R --=
⋅. （10分）
又点P M ,在椭圆上，故
)1(4),1(42
12
12
020y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==，
即OR OS ⋅为定值４.
（13分）
21．【答案】
【解析】解：y=x 3的导数y ′=3x 2，
①若（1，1）为切点，k=3•12=3，
∴切线l：y﹣1=3（x﹣1）即3x﹣y﹣2=0；
②若（1，1）不是切点，
设切点P（m，m3），k=3m2=，
即2m2﹣m﹣1=0，则m=1（舍）或﹣
∴切线l：y﹣1=（x﹣1）即3x﹣4y+1=0．
故切线方程为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．
22．【答案】
【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．
（2）f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）=log a（1﹣x）（x+3）==，
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴≥log a4，即f（x）min=log a4；
由log a4=﹣4，得a﹣4=4，
∴a==．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．23．【答案】
【解析】解：（1）由，解得0≤x≤3
A=[0，3]，
由B={y|y=2x，1≤x≤2}=[2，4]，
（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞），
∴（∁U A）∩B=（3，4]
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F是PA的中点，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF⊂平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE与CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．。