5时间序列模型计量经济学.ppt
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i0
既然 xt 是平稳过程，
i0
1i
Li
必须收敛，即一阶自回归系数1
必须满
足 | 1 | < 1。这是容易理解的，如果 | 1 | 1，则(1- 1 L)-1 发散，于是
xt 变成一个非平稳随机过程。
12.2 时间序列模型的分类
由 AR(1) 过程 xt = 1 xt-1 + ut, | 1 | < 1 有 xt = ut + 1 ut-1 + 12 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + …
时间序列分析
时间序列模型 -ARIMA
时间序列分析概论
一、什么是时间序列：
计量经济分析中 常用的数据类型
截面数据 时间序列数据 面板数据
所谓时间序列数据，是指反应社会、经济、自然等现象的某一数量指 标进行时间上的观察所得到的数据。而时间序列就是讲这些观测数据按照 时间先后顺序排列起来所形成的序列。
5 phi=1
0
-5
-10
-15
-20
-25
50
100
150
200
250
300
8 phi=0.8
6 4 2 0 -2 -4 -6
50
100
150
200
250
300
4 phi=0.4
3
2
1
0
-1
-2
-3 50
100
150
200
250
300
4 phi=0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 50
100
150
200
250
推移而发生变化。随机过程的平稳性可以划分为严（强) 平稳和宽（弱）平稳两个层面。 严（强）平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意 子集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时 间子集（t1, t 2, …, tn）以及任何实数k, (ti + k) T, i = 1, 2, …, n 都有F( x(t1) , x(t2), …, x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), … , x(tn + k) )成立，其中F(·) 表示n个随机变量的联合 分布函数，则称其为严平稳过程或强平稳过程。
样本量为500的平稳数据。 X 5.6
5.4
5.2
5.0
4.8
4.6
4.4
4.2
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
平稳数据示例
14
4、常见的随机过程：
白噪声过程：对于随机过程{ xt , tT }, 如果E(xt) = 0, Var (xt) = 2 , tT; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T ,
方差 Va(xrt)2，协方差 C(oxt,vxtk)k2的大小只与k的
取值相关，而与t不相关，则称xt为平稳随机过程。
13
数据的平稳性对时间序列分析非常重要，经典的时间序列回归
分析，都是假定数据是平稳的。直观的看，平稳的数据可以看
作是一条围绕其均值上下波动的曲线。
下面，我们用由Eviews软件模拟一个均值为5、标准差为0.2、
自相关函数（ACF)：
t,st,st,t(t,s)s,sC or(Y t,Y s)
偏自相关函数（PACF)： t,s C o r(Y t,Y sY s 1 , ,Y t 1 ) C o v (Y t,tY ,s tY s 1 ,s,s ,Y t 1 )
3、随机过程的平稳性 随机过程的平稳性是指随机过程的统计特征不随时间的
xt - xt-1 = D xt = (1- L) xt = xt - L xt
其中 D 称为一阶差分算子。L 是滞后算子。k 阶差分表示为
Dk xt = xt - xt - k = (1- Lk ) xt = xt - Lkxt
xt 的 2 次 1 阶差分表示为
D xt = D (Dxt )=Dxt -Dxt -1 = (xt - xt-1) - (xt-1 - xt-2) = xt - 2xt -1+ …, yT-11, yT1}。而在每年中同一
时刻（如t = 2时）的水位纪录是不相同的。{ y21,
y22, …, y2n,} 构成了y2取值的样本空间。
9
2、随机过程的分布及其数字特征
设{Yt}为一个随机过程，对任意一个 t T，Yt的分布函数为：
FYt(y)P(Yt y)
长期趋势分析、季节变动 分析、循环波动分析。
随机性时间序列分析方 法：ARIMA模型等。
一、时间序列分析的几个基本概念
1.随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为Yt,t T ，
简记为Yt。随机过程也可以简称为过程，其中每一个元素Yt都 是随机变量。将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程 的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。 时间序列：随机过程的一次实现称为时间序列，也用{Y t }或 Y t表示。
D xt = (1- L)2 xt = (1 - 2L + L2) xt = xt - 2xt -1 + xt - 2
以上两式运算结果相同，说明差分算子和滞后算子可以直接参与运算。 注意：（1）对于差分算子 Dkd，其上标表示差分次数，其下标表示差分阶数。 （2）对于滞后算子 Lk，其上标表示滞后阶数。
对任意给定的 t1, t2 T ，随机过程{Yt}有两个随机 Y t1 , Y与t 2 之对应，其联合分
布函数为：
F Y t1 ,Y t2(y 1 ,y 2 ) P (Y t1 y 1 ,Y t2 y 2 )
一般的，对于任意 m N ,t1 ,t2 , ,tm T ,Y t1 , ,Y 的tm 联合分布函数为：
1- 1L - 2 L2 - … - p Lp) xt = L) xt = ut 其中L) = 1- 1L- 2 L2 - … - p Lp 称为自回归算子，或自回归特征多项式。
12.2 时间序列模型的分类
AR(p) 过程中最常用的是 1 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + ut
和 2 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + ut
12
宽（弱）平稳过程 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且 在任何两期之间的协方差只和两期间隔的时间长度相关，而和 计算该协方差的实际时间不相关，则称该随机过程为平稳随机 过程，也称之为协方差平稳过程、二阶平稳过程或广义随机过 程。
用公式表述就是，对于一个随机过程xt ，如果其均值E(xt)，
滞后算子的性质： 常数与滞后算子相乘等于常数。 滞后算子适用于分配律。
Lc c
(L i L j)x t L ix t L jx t x t i x t- j
•滞后算子适用于结合律。 LiLjxt Lijxt xt-i-j •滞后算子的零次方等于1。L0x t x t
•滞后算子的负整数次方意味着超前。Lixt xti
•n次一阶差分展开式：
n
(1L)n (1)nCniLi
i0
，其中
C
i n
n! i!(n
i)!
12.2 时间序列模型的时分间类序列模型
一般分为四种类型。它们是自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自 回归移动平均过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。
1. 自回归过程 如果一个线性随机过程可表达为
提出ARIMA模型（Box—Jenkins 模型） Box—Jenkins模型实际上是主要运用于单变量、同方差
场合的线性模型
完善阶段：
异方差场合
Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 Bollerslov，1986年GARCH模型
模拟时间序列数据：
确定性时间序列分析方 法：
F Y t 1 , Y t 2 ,, Y t m ( y 1 , y 2 ,, y m ) P ( Y t 1 y 1 ,, Y t m y m )
均值方程：
t E(Yt) ydFYt(y)
方差函数： 自协方差函数：
t2D (Y t) [yE (Y t)]2d F Y t(y)
C o v ( Y t , Y s ) E Y t E Y t Y s E Y s t , s ( t , s )
xt = 1 xt-1 + 2 xt -2 + … + p xt-p + ut 其中i, i = 1, …, p 是自回归参数，ut 是白噪声过程，则这个线性过程 xt 称
为 p 阶自回归过程，用 AR(p) 表示。它是由 xt 的 p 个滞后变量的加权和以 及 ut 相加而成。用滞后算子表示
8
随机过程与时间序列的关系如下所示：
随机过程: {y1, y2, …, yT-1, yT,} 第1次观测：{y11, y21, …, yT-11, yT1} 第2次观测：{y12, y22, …, yT-12, yT2}
第n次观测：{y1n, y2n, …, yT-1n, yTn}
某河流一年的水位值，{y1, y2, …, yT-1, yT,}，可以 看作一个随机过程。每一年的水位纪录则是一个
对于一阶自回归过程 xt = 1 xt-1 + ut ，保持其平稳的条件是特征方程 L)=(1-1 L)=0 的根的绝对值必须大于 1，即满足| 1/1 | 1 或| 1 | < 1。
为什么？在| 1 | < 1 条件下，一阶自回归过程可写为 (1- 1 L) xt = ut
xt = (1- 1 L)-1 ut = [1+1 L+(1 L)2+ (1 L)3+ … ] ut = ( 1i Li ) ut
由随机游走过程产生时间序列
2200
2000
1800
1600
1400
1200
50
100 150 200 250 300
深圳股票综合指数
12.2 时间序列模型的分类
差4. 分单积与（滞整）后自回算归子移动平均过程
差分：用变量 xt 的当期值减去其滞后值从而得到新序列的计算方法称为差分。 若当期减滞后一期变量则称为 1 阶差分，若当期减滞后 k 期变量则称为 k 阶差分。 对于随机过程 xt，一阶差分可表示为
300
12.2 时AR间(p)序模列型的模平型稳的性分条类件
k 0 , 则称{xt}为白噪声过程。
3 2 1 0 -1 -2
white noise -3
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由白噪声过程产生的时间序列（nrnd）
4 DJ P Y
2
0
-2
-4 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
因为 ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的 AR(1) 过程， E(xt) = 0
Var(xt) = E(xt)2 = E(ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + …)2
=
u2+12u2+14u2
+
…
=
1
1 12
u2
12.2 时间序列模型的分类
不同自回归系数的 AR(1) 序列 xt = 1 xt-1 + ut,：
日元对美元汇率的收益率序列
15
随机游走（random walk）过程 对于下面的表达式：
xt = xt -1 + ut 如果ut 为白噪声过程，则称xt 为随机游走过程。
5 random walk
0 -5 -10 -15 -20 -25
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
4
200
D(Y)
2
100
0
0
-2
-100
-4
-200
-6
-300
50
100 150 200 250 300
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
AR(1)序列
中国旅游人数差分序列
12自.2回归时模间型序的平列稳模性 型的分类
与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。
1978-2012年国内生产总值不变 价
2007年上证综指3分钟收益率数据
时间序列分析方法的发展过程
基础阶段：
G.U.Yule 1927年，AR模型 G.T.Walker1931年，MA模型，ARMA模型
核心阶段：G.E.P.Box和 G.M.Jenkins
1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》
时间序列具有如下几个特点：
时间序列中数据的位置与时间有关，数据的取值随时间 的变化而变化。
24,000 20,000
GDP
16,000
12,000
8,000
4,000
0 1980
1985
1990
1995
2000
2005
4
SH
2
0
-2
-4
-6 2010
2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500
既然 xt 是平稳过程，
i0
1i
Li
必须收敛，即一阶自回归系数1
必须满
足 | 1 | < 1。这是容易理解的，如果 | 1 | 1，则(1- 1 L)-1 发散，于是
xt 变成一个非平稳随机过程。
12.2 时间序列模型的分类
由 AR(1) 过程 xt = 1 xt-1 + ut, | 1 | < 1 有 xt = ut + 1 ut-1 + 12 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + …
时间序列分析
时间序列模型 -ARIMA
时间序列分析概论
一、什么是时间序列：
计量经济分析中 常用的数据类型
截面数据 时间序列数据 面板数据
所谓时间序列数据，是指反应社会、经济、自然等现象的某一数量指 标进行时间上的观察所得到的数据。而时间序列就是讲这些观测数据按照 时间先后顺序排列起来所形成的序列。
5 phi=1
0
-5
-10
-15
-20
-25
50
100
150
200
250
300
8 phi=0.8
6 4 2 0 -2 -4 -6
50
100
150
200
250
300
4 phi=0.4
3
2
1
0
-1
-2
-3 50
100
150
200
250
300
4 phi=0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 50
100
150
200
250
推移而发生变化。随机过程的平稳性可以划分为严（强) 平稳和宽（弱）平稳两个层面。 严（强）平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意 子集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时 间子集（t1, t 2, …, tn）以及任何实数k, (ti + k) T, i = 1, 2, …, n 都有F( x(t1) , x(t2), …, x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), … , x(tn + k) )成立，其中F(·) 表示n个随机变量的联合 分布函数，则称其为严平稳过程或强平稳过程。
样本量为500的平稳数据。 X 5.6
5.4
5.2
5.0
4.8
4.6
4.4
4.2
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
平稳数据示例
14
4、常见的随机过程：
白噪声过程：对于随机过程{ xt , tT }, 如果E(xt) = 0, Var (xt) = 2 , tT; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T ,
方差 Va(xrt)2，协方差 C(oxt,vxtk)k2的大小只与k的
取值相关，而与t不相关，则称xt为平稳随机过程。
13
数据的平稳性对时间序列分析非常重要，经典的时间序列回归
分析，都是假定数据是平稳的。直观的看，平稳的数据可以看
作是一条围绕其均值上下波动的曲线。
下面，我们用由Eviews软件模拟一个均值为5、标准差为0.2、
自相关函数（ACF)：
t,st,st,t(t,s)s,sC or(Y t,Y s)
偏自相关函数（PACF)： t,s C o r(Y t,Y sY s 1 , ,Y t 1 ) C o v (Y t,tY ,s tY s 1 ,s,s ,Y t 1 )
3、随机过程的平稳性 随机过程的平稳性是指随机过程的统计特征不随时间的
xt - xt-1 = D xt = (1- L) xt = xt - L xt
其中 D 称为一阶差分算子。L 是滞后算子。k 阶差分表示为
Dk xt = xt - xt - k = (1- Lk ) xt = xt - Lkxt
xt 的 2 次 1 阶差分表示为
D xt = D (Dxt )=Dxt -Dxt -1 = (xt - xt-1) - (xt-1 - xt-2) = xt - 2xt -1+ …, yT-11, yT1}。而在每年中同一
时刻（如t = 2时）的水位纪录是不相同的。{ y21,
y22, …, y2n,} 构成了y2取值的样本空间。
9
2、随机过程的分布及其数字特征
设{Yt}为一个随机过程，对任意一个 t T，Yt的分布函数为：
FYt(y)P(Yt y)
长期趋势分析、季节变动 分析、循环波动分析。
随机性时间序列分析方 法：ARIMA模型等。
一、时间序列分析的几个基本概念
1.随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为Yt,t T ，
简记为Yt。随机过程也可以简称为过程，其中每一个元素Yt都 是随机变量。将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程 的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。 时间序列：随机过程的一次实现称为时间序列，也用{Y t }或 Y t表示。
D xt = (1- L)2 xt = (1 - 2L + L2) xt = xt - 2xt -1 + xt - 2
以上两式运算结果相同，说明差分算子和滞后算子可以直接参与运算。 注意：（1）对于差分算子 Dkd，其上标表示差分次数，其下标表示差分阶数。 （2）对于滞后算子 Lk，其上标表示滞后阶数。
对任意给定的 t1, t2 T ，随机过程{Yt}有两个随机 Y t1 , Y与t 2 之对应，其联合分
布函数为：
F Y t1 ,Y t2(y 1 ,y 2 ) P (Y t1 y 1 ,Y t2 y 2 )
一般的，对于任意 m N ,t1 ,t2 , ,tm T ,Y t1 , ,Y 的tm 联合分布函数为：
1- 1L - 2 L2 - … - p Lp) xt = L) xt = ut 其中L) = 1- 1L- 2 L2 - … - p Lp 称为自回归算子，或自回归特征多项式。
12.2 时间序列模型的分类
AR(p) 过程中最常用的是 1 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + ut
和 2 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + ut
12
宽（弱）平稳过程 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且 在任何两期之间的协方差只和两期间隔的时间长度相关，而和 计算该协方差的实际时间不相关，则称该随机过程为平稳随机 过程，也称之为协方差平稳过程、二阶平稳过程或广义随机过 程。
用公式表述就是，对于一个随机过程xt ，如果其均值E(xt)，
滞后算子的性质： 常数与滞后算子相乘等于常数。 滞后算子适用于分配律。
Lc c
(L i L j)x t L ix t L jx t x t i x t- j
•滞后算子适用于结合律。 LiLjxt Lijxt xt-i-j •滞后算子的零次方等于1。L0x t x t
•滞后算子的负整数次方意味着超前。Lixt xti
•n次一阶差分展开式：
n
(1L)n (1)nCniLi
i0
，其中
C
i n
n! i!(n
i)!
12.2 时间序列模型的时分间类序列模型
一般分为四种类型。它们是自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自 回归移动平均过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。
1. 自回归过程 如果一个线性随机过程可表达为
提出ARIMA模型（Box—Jenkins 模型） Box—Jenkins模型实际上是主要运用于单变量、同方差
场合的线性模型
完善阶段：
异方差场合
Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 Bollerslov，1986年GARCH模型
模拟时间序列数据：
确定性时间序列分析方 法：
F Y t 1 , Y t 2 ,, Y t m ( y 1 , y 2 ,, y m ) P ( Y t 1 y 1 ,, Y t m y m )
均值方程：
t E(Yt) ydFYt(y)
方差函数： 自协方差函数：
t2D (Y t) [yE (Y t)]2d F Y t(y)
C o v ( Y t , Y s ) E Y t E Y t Y s E Y s t , s ( t , s )
xt = 1 xt-1 + 2 xt -2 + … + p xt-p + ut 其中i, i = 1, …, p 是自回归参数，ut 是白噪声过程，则这个线性过程 xt 称
为 p 阶自回归过程，用 AR(p) 表示。它是由 xt 的 p 个滞后变量的加权和以 及 ut 相加而成。用滞后算子表示
8
随机过程与时间序列的关系如下所示：
随机过程: {y1, y2, …, yT-1, yT,} 第1次观测：{y11, y21, …, yT-11, yT1} 第2次观测：{y12, y22, …, yT-12, yT2}
第n次观测：{y1n, y2n, …, yT-1n, yTn}
某河流一年的水位值，{y1, y2, …, yT-1, yT,}，可以 看作一个随机过程。每一年的水位纪录则是一个
对于一阶自回归过程 xt = 1 xt-1 + ut ，保持其平稳的条件是特征方程 L)=(1-1 L)=0 的根的绝对值必须大于 1，即满足| 1/1 | 1 或| 1 | < 1。
为什么？在| 1 | < 1 条件下，一阶自回归过程可写为 (1- 1 L) xt = ut
xt = (1- 1 L)-1 ut = [1+1 L+(1 L)2+ (1 L)3+ … ] ut = ( 1i Li ) ut
由随机游走过程产生时间序列
2200
2000
1800
1600
1400
1200
50
100 150 200 250 300
深圳股票综合指数
12.2 时间序列模型的分类
差4. 分单积与（滞整）后自回算归子移动平均过程
差分：用变量 xt 的当期值减去其滞后值从而得到新序列的计算方法称为差分。 若当期减滞后一期变量则称为 1 阶差分，若当期减滞后 k 期变量则称为 k 阶差分。 对于随机过程 xt，一阶差分可表示为
300
12.2 时AR间(p)序模列型的模平型稳的性分条类件
k 0 , 则称{xt}为白噪声过程。
3 2 1 0 -1 -2
white noise -3
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由白噪声过程产生的时间序列（nrnd）
4 DJ P Y
2
0
-2
-4 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
因为 ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的 AR(1) 过程， E(xt) = 0
Var(xt) = E(xt)2 = E(ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + …)2
=
u2+12u2+14u2
+
…
=
1
1 12
u2
12.2 时间序列模型的分类
不同自回归系数的 AR(1) 序列 xt = 1 xt-1 + ut,：
日元对美元汇率的收益率序列
15
随机游走（random walk）过程 对于下面的表达式：
xt = xt -1 + ut 如果ut 为白噪声过程，则称xt 为随机游走过程。
5 random walk
0 -5 -10 -15 -20 -25
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
4
200
D(Y)
2
100
0
0
-2
-100
-4
-200
-6
-300
50
100 150 200 250 300
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
AR(1)序列
中国旅游人数差分序列
12自.2回归时模间型序的平列稳模性 型的分类
与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。
1978-2012年国内生产总值不变 价
2007年上证综指3分钟收益率数据
时间序列分析方法的发展过程
基础阶段：
G.U.Yule 1927年，AR模型 G.T.Walker1931年，MA模型，ARMA模型
核心阶段：G.E.P.Box和 G.M.Jenkins
1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》
时间序列具有如下几个特点：
时间序列中数据的位置与时间有关，数据的取值随时间 的变化而变化。
24,000 20,000
GDP
16,000
12,000
8,000
4,000
0 1980
1985
1990
1995
2000
2005
4
SH
2
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-6 2010
2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500