2021年北京密云县新城子中学高三数学理月考试题含解析

2021年北京密云县新城子中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为
A． B．
C． D.
参考答案：
A
略
2. 已知函数和，其中且，则它们的反函数的图像关于（）
A.轴对称
B.轴对称
C.直线对称
D.原点对称
参考答案：
A
3. 设，则 A、 B、 C、 D、
参考答案：
B
4. 设x，y满足，则z＝x＋y：()
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
参考答案：
B
5. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
A． B． C． D．
参考答案：
D
本题主要考查了古典概型的概率计算问题，关键是基本事件数的列举与计算，难度中等。

设3个红球分别为a1、a2、a3，2个白球分别为b1、b2，那么从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的基本事件为：a1a2a3、a1a2b1、a1a2b2、a1a3b1、a1a3b2、a1b1b2、a2a3b1、a2a3b2、a2b1b2、a3b1b2，共计10种；而所取的3个球中至少有1个白球的基本事件为，a1a2b1、
a1a2b2、a1a3b1、a1a3b2、a1b1b2、a2a3b1、a2a3b2、a2b1b2、a3b1b2，共计9种；则所求的概率是P=，故选D；
6. 已知函数满足，则的最小值（）
A.2
B.
C.3
D.4
参考答案：
B
略
7. 若函数是函数的反函数，则的值是 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
C
8. （5分）（2015?陕西校级二模）两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（）
A． 40 B． 48 C． 60 D． 68
参考答案：
B
【考点】：排列、组合及简单计数问题．
【专题】：排列组合．
【分析】：由题意得到只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达，需要分三类，根据分类计数原理即可得到．
解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．
若奥迪车上没有小孩，则有=10种；
若有一个小孩，则有（++）=28种；
若有两个小孩，则有+=10种．
故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种．
故选：B．
【点评】：本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．9. 已知（）
A． B．－ C． D．－
参考答案：
D
10. 设，且=sin x+cos x，则（）
A．0≤x≤π B．―≤x≤
C．≤x≤ D．―≤x≤―或≤x＜
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知两个实数a,b满足且，则三个数由小到大的排列顺序是
_______________(用“<”表示)
参考答案：
略
12. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为
▲
参考答案：
13. 将函数的图像向左平移
个单位后所得的图像关于y 轴对
称，则
的最小值为_____________.
参考答案：
略
14. 设是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若
，则
；
④若
，则
；
其中正确命题有_____________．（填上你认为正确命题的序号）
参考答案：
①④
15. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则
”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD
的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则
= ．
参考答案：
3
【考点】类比推理．
【分析】设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM=
，又因为O 为四面体ABCD
外接球的球心，结合四
面体各条棱长都为1，可得O 到四面体各面的距离都相等，所以
O 也是为四面体的内切球的球心，设
内切球半径为r ，则有r=，可求得r 即OM ，从而结果可求．
【解答】解：设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM=
，又
∵O 为四面体ABCD 外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1， ∴O 到四面体各面的距离都相等，O 为四面体的内切球的球心，
设内切球半径为r ，
则有四面体的体积V=4??
r=
，
∴r=
=
，即OM=
，
所以AO=AM ﹣OM=
，所以
=3 故答案为：3
16. 已知圆
与直线
相交于
、
两点，则当
的面积最大
时，实数的值为 ．
参考答案：
17. 已知函数 若函数有3个零点，
则实数
的取值范围是___________．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）
如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，
折起（如图2），使二面角A-BD-C 的余弦值等于
.对于图2，完成以下各小
题：
（1）求A ，C 两点间的距离； （2）证明：AC ⊥平面BCD ；
（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值. 参考答案：
19. 已知函数f （x ）=xe x
﹣ae
x ﹣1
，且f′（1）=e ．
（1）求a 的值及f （x ）的单调区间；
（2）若关于x 的方程f （x ）=kx 2﹣2（k ＞2）存在两个不相等的正实数根x 1，x 2，证明：|x 1﹣x 2|＞ln （）．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）f′（x）=e x+xe x﹣ae x﹣1，由f′（1）=e．解得a=e．可得f′（x）=xe x．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，函即可得出函数f（x）的单调区间．
（2）方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），即（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2）=0，令g（x）=（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2），令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．k＞2，可得ln（2k）＞1．不妨设x1＜x2．可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．即可证明．
【解答】（1）解：f′（x）=e x+xe x﹣ae x﹣1，
∴f′（1）=e+e﹣a=e．解得a=e．
∴f′（x）=e x+xe x﹣ee x﹣1=xe x．
∴x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x＜0时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
即函数f（x）单调递增区间为（0，+∞）；函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，0]．
（2）证明：方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），
即（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2）=0，
令g（x）=（x﹣1）e x﹣（kx2﹣2），
g′（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），
令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．
∵k＞2，∴ln（2k）＞1．
g（0）=1，g（1）=2﹣k＜0，g（ln（2k））＜0．x→+∞时，g（x）→+∞．
因此关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，不妨设x1＜x2．
可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．
∴|x1﹣x2|＞ln（2k）﹣1=＞ln（）．
20. 公差不为零的等差数列{a n}中，，又成等比数列.
（Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式. （Ⅱ）设，求数列{ b n }的前n项和S n.
参考答案：
（Ⅰ）解：设公差为d（d）
由已知得：∴，
又∵，∴
解得：………………6分
（2）
18.（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知cosA=，sinB=C。

（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积。

参考答案：
22. 已知，且．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
参考答案：
（1），（2）
（1）
．当且仅当取“＝”．所以，的最大值为．
（2）
．当且仅当取“＝”．10分。