高考数学(人教A版 理科)大一轮复习配套第六章 数列 第1讲ppt版本

【训练 1】 (1)数列 0，23，45，67，…的一个通项公式为( )
A.an＝nn－ ＋12(n∈N*)
B.an＝2nn－＋11(n∈N*)
C.an＝2（2nn－ －11）(n∈N*)
D.an＝2n2＋n 1(n∈N*)
(2)数列－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…的一个通项公式
递推公式. 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 an＝S__S1__n_－__S_n－__1（ _ n＝ （1n） ≥， 2）.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (4) 根 据 数 列 的 前 几 项 归 纳 出 的 数 列 的 通 项 公 式 可 能 不 止 一 个.( )
【训练2】 (1)(2017·河南八校一联)在数列{an}中，Sn是其前 n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式 an＝________.
解析 (1)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1， 两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an， 又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1， 所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an ＝－2n－1.
(1)若 a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式 an＝________.
(2)若 a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2)，则通项公式 an＝________.
(3)若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________. 解析 (1)由题意得，当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…
(2)原递推公式可化为 an＋1＝an＋1n－n＋1 1， 则 a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13， a4＝a3＋13－14，…，an－1＝an－2＋n－1 2－n－1 1， an＝an－1＋n－1 1－1n ，逐项相加得，an＝a1＋1－1n， 故 an＝4－1n.
答案 (1)3×2n－1－2 (2)4－1n
5.(2016·浙江卷改编)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4， an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则S5＝________. 解析 由an＋1＝2Sn＋1，an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝3Sn＋ 1，又S2＝4，∴S3＝13，S4＝40，S5＝121. 答案 121
考点一 由数列的前几项求数列的通项
(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列 9， 99，999，…的通项为 10n－1，故所求的数列的一个通项公式
为 an＝59(10n－1). 规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观 察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征； (4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观 察、归纳、联想.
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与_序__号__n_之间的关系可以 用一个式子_a_n＝__f_(_n_) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通 项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二 项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
(2)形如 an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为aan＋n 1＝f(n)的形式，可 用累乘法，也可用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 代入求出通项. (3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an ＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.
an＝________.
解析 (1)注意到分子 0，2，4，6 都是偶数，对照选项排除 即可. (2)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒 数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)nn（n1＋1）. 答案 (1)C (2)(－1)nn（n1＋1）
考点二 由Sn与an的关系求an (易错警示) 【例 2】 (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数
解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2017·长沙模拟)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此
归纳该数列的通项不可能是( )
A.an＝(－1)n－1＋1
【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，145，365，683，1909，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)5，55，555，5 555，….
解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式 (－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项 的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数 列，则实数λ的取值范围是________. 解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有 an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理， 得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*) 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立， 只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)
(2)(－2)n－1
规律方法 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.①当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的 情况可并入 n≥2 时的通项 an；②当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn －Sn－1，则用分段函数的形式表示. 易错警示 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略 先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的 形式，但它只适用于n≥2的情形.
令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，
且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.
所以{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.
∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，
∴an＝2n＋1－3.
答案
(1)n（n＋ 2 1）＋1
1 (2)n
(3)2n＋1－3
规律方法 (1)形如 an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求 和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
【训练 3】 (1)已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝ 3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝________. (2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋n（n1＋1），则通项公 式 an＝________. 解析 (1)由 an＋2＋2an－3an＋1＝0，得 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴数列{an＋1－an}是以 a2－a1＝3 为首项，2 为公比的等比数列， ∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2 时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2 ＝3×2，a2－a1＝3， 将以上各式累加得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)， ∴an＝3×2n－1－2(当 n＝1 时，也满足).
＋
(an
－
an
－
1)
＝
2
＋
(2
＋
3
＋
…
＋
n)
＝
2
＋
（n－1）（2＋n） 2
＝
n（n＋ 2 1）＋1.
又 a1＝2＝1×（12＋1）＋1，符合上式，因此 an＝n（n＋ 2 1）＋1.
(2)法一 因为 an＝n－n 1an－1(n≥2)，所以 an－1＝nn－ －21·an－2，…， a2＝12a1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n. 法二 因为 an＝aan－n 1·aann－ －12·aann－ －23·…·aa32·aa21·a1＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －12·…·1＝1n. (3)设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋t＝2(an ＋t)，即 an＋1＝2an＋t，解得 t＝3. 故 an＋1＋3＝2(an＋3).
2.数Байду номын сангаас的分类
分类原则 类型
满足条件
有穷数列 按项数分类
无穷数列
项数_有__限_ 项数_无__限__
按项与项间 递增数列 的大小关系 递减数列
an＋1—＞——an an＋1—＜——an
其中n∈N*
分类
常数列
an＋1＝an
按其他标准 分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
从第二项起，有些项大于它的前一项， 摆动数列
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
显然当 n＝1 时，不满足上式.
∴an＝42·，3nn－＝1，1n，≥2.
答案
(1)－2n－1
4，n＝1， (2)2·3n－1，n≥2
考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例 3】 在数列{an}中，
B.an＝20，，nn为为奇偶数数，
C.an＝2sinn2π
D.an＝cos(n－1)π＋1
解析 对 n＝1，2，3，4 进行验证，an＝2sinn2π不合题意，
故选 C.
答案 C
3.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A.15
B.16
C.49
D.64
解析 当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案 A
第1讲 数列的概念及简单表示法
最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列 表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的 一类特殊函数.
知识梳理
1.数列的概念 (1)数列的定义：按照_一__定__顺__序__排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数叫做这个数列的__项___. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正 整数集N*(或它的有限子集)为_定__义__域__的函数an＝f(n)，当 自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数 值. (3)数列有三种表示法，它们分别是__列__表__法___、__图__象__法__ 和__通__项__公__式__法__.
(2)由 Sn＝23an＋13，得当 n≥2 时，Sn－1＝23an－1＋13，
两式相减，得 an＝23an－23an－1，∴当 n≥2 时，an＝－2an－1，
即aan－n 1＝－2.又 n＝1 时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1，
∴an＝(－2)n－1.
答案
2，n＝1 (1)6n－5，n≥2
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解 为 1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相 邻奇数的乘积，分子依次为 2，4，6，…，相邻的偶数.故所求 数列的一个通项公式为 an＝（2n－1）2n（2n＋1）. (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项 都统一成分数再观察.即12，42，92，126，225，…，分子为项数的 平方，从而可得数列的一个通项公式为 an＝n22.
列{an}的通项公式 an＝________. (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则{an}的通项公 式 an＝________. 解析 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－ 1)＋1]＝6n－5，显然当 n＝1 时，不满足上式.故数列的 通项公式为 an＝26，n－n＝5，1，n≥2.