轴向受力杆件

在一般情形下，杆件横截面积 A(x)可以
是 x 的函数，沿杆的轴线也可以有轴向分布
载荷 f(x)（图 5－6）。假定此时平面截面假
设仍然成立，由此可以推断同一截面上的应 F1 力仍为均匀分布，但不同截面上的应力是变
化的，即σ x (x) 是 x 的函数。公式（2－9） 已给出轴力的平衡微分关系
dFN dx
f
在微伸长 dδ上做功 fdδ 。如果最终力达
图 5－3
δ Δl
到 F 时的伸长为 Δl ，那么力 F 做的功为
∫ ∫ W =
Δl fdδ =
0
Δl kδ dδ
0
=
kΔl 2
Δl
=
1 2
FΔl
（5－3）
外力做功等于图 5－3 的 f (δ ) 曲线下的面积。这部分功全部转换为杆的应变能，即
U
=W
=
1 2
力集中（stress concentration）。
应力集中的程度用截面上的局部最大应力σmax与名义应力（nominal stress）σ0之比来 表示：
K = σ max σ0
（5－8）
式中σ 0
=
F A0
，A0为开孔处截面的净面积。K称为应力集中系数（stress
concentration
factor）。
F
⋅ Δl
=
1 2
F 2l EA
（5－4）
三、圣维南原理
一般情况下外力将通过夹具、销钉、铆钉、焊接等方式从端部传递给杆件。式（5－1） 对于外力 F 作用点附近的区域并不适用。在 F 力的作用点附近应力分布并不均匀。然而， 只要作用于杆端的分布力的合力的作用线与杆的轴线重合，则可近似地用轴力杆的模型对 杆件做力学分析。法国力学家圣维南（Saint-Venant）指出，作用在弹性体某一局部区域内 的外力系可以用等效力系来代替，这种代替仅仅对原力系作用区域附近的应力有影响。这 就是圣维南原理（Saint-Venant’s principle）。对轴力杆来说，外力作用于杆端的方式的不同， 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内的应力分布受到影响，在较远距离处应力 分布不受影响。
第五章 轴向受力杆件
工程中有许多结构中的杆件 仅承受轴向拉伸或压缩载荷。例 如图 5－1 中起重机，其起重杆受 轴向压力。这一类杆件受力的特 点是杆端外力的作用线与杆的轴 线重合，称为轴力杆件。建筑结 构中的钢屋架，空间网架等都由 细长杆件连接而成。虽然杆件的 连接处采用焊接或铆接，但受载 时杆件产生的弯矩只局限在节点 附近区域，杆件可以近似认为是 轴力杆，结构可以看作是桁架。 这一章将分析轴力杆的应力、应 变和变形，轴力杆的强度条件， 连接件的强度条件，简单桁架的 节点位移，以及拉压静不定问题。
FN (x) EA( x)
dx
+
C
=
ω2ρ 2E
(Ro2 x
−
x3 3
)
+
C
由边界条件 u(Ri ) = 0 可以得到
C
=
−
ω2ρ 2E
(Ro2 Ri
−
Ri3 3
)
所以轴向位移
u(x)
=
ω2ρ 6E
(3Ro2
x
−
x3
+
Ri3
−
3Ro2 Ri
)
叶片外端x=Ro处位移
u(Ro
)
=
ω2ρ 6E
(2Ro3
+
它与截面突变处的几何形状有关。如果开的是圆孔，当板的宽度比孔的直径大得多时，小
孔的应力集中系数为 3。由于局部形状突变引起的应力分布问题的求解已经超出了材料力
学课程的范围，必须求助于弹性理论、数值分析或实验方法来确定。
由塑性材料制成的构件，当局部最大应力达到材料的屈服极限时，那里的材料产生塑
性变形。继续增加载荷时，局部的应力不再增加，所增加的载荷将由其余部分材料承担，
根据平面截面假设，位移 u 仅为 x 的函数。根据轴线方向的应变－位移关系，我们有
εx
(x)
=
du dx
＝
FN (x) EA( x)
（5－5）
上式的积分可以得到轴向位移 u（x）。 对于等截面杆，A 为常数。将上式微分一次，并将方程（2－9）代入，可以得到关于
轴向位移 u 的微分方程：
112
d2u dx2
∫ ∫ FN (x) =
Ro dF* =ω 2 ρ A
x
Ro x
xdx
=
ω
2ρ 2
A
(
Ro
2
− x2)
（a）
该截面上的应力
σ
(x)
=
ω2ρ 2
( Ro 2
−
x2
)
所以，最大应力在叶片根部：
σ max
=σ (x
=
Ri )
=
ω2ρ 2
( Ro 2
−
Ri2 )
2，计算位移和伸长
根据式（5－5）
113
∫ u(x) =
×
0.0162
m2
= 12−20 ×103 N
π 4
×
0.022
m2
= −63.66MPa
111
σ3
=
FN 3 A3
=
45 ×103 N
π 4
×
0.0242
m2
= 99.47MPa
所以最大正应力在 AB 段，σ max = 124.34MPa 。
杆的总伸长
Δl
=
=
1 EA
dFN ( dx
x)
＝－
1 EA
f
(x)
（5－6）
当轴向力FN是x的函数时，由式（5－2）可知，长度为dx的杆段产生伸长 dΔ = FN (x) dx EA
这段杆单元的应变能
dU
=
1 2
FN
( x)dΔ
=
FN 2 (x) 2EA
dx
（5－7）
整个杆的应变能
∫ U =
l 0
FN 2 (x) 2EA
一段叶片，其质量为 dm = ρ Adx ，涡轮旋
转时受到的离心力为
x
FN(x) Ro
dF* = xω 2dm = ω 2 ρ Axdx
叶片 x 处的轴向分布力
ω Ri
图 5－7
f
(x)
=
dF * dx
=
ω
2
ρ
Ax
可见离心力沿叶片轴向线性分布。根据 x 处截面以外分离体的平衡可知，x 处的截面上的
轴力为
直至整个截面都达到屈服极限。所以应力集中对静载下的构件强度的影响较小。而脆性材
料制成的构件，局部的最大应力达到强度极限时，构件即刻破坏。因此在设计脆性材料构
件时必须特别关注应力集中的影响。
§5－4 拉压杆件的失效与强度条件
一、失效、安全系数和许用应力
工程结构的构件将按设计要求在各种环境下工作。当它在环境和各种形式的载荷作用 下，由于过载、过度变形或由于材料的抗力或品质的下降，使构件不能正常工作时，称为 失效（failure）。构件的断裂显然是失效，但失效不都是以断裂的形式发生。脆性材料的断 裂是失效，塑性材料由于屈服而产生塑性变形、细长构件的超限变形或失稳、构件在交变 载荷下的疲劳断裂等都是失效。
l
=
FN l EA
=
l EA
F
（5－2）
上式表明拉（压）杆的总伸长量Δl 与轴 向力 F 之间呈线性关系。如果将 EA / l 比作弹簧系数，轴力杆件的力学行为与 弹簧完全类似。
二、轴力杆的应变能
f F
f(δ)
δ
W,U
图 5－3 所示轴力杆，由于外力 f 与
伸长δ 成线性关系，假设 f = kδ ，力 f
110
图 5－4 所示的等直矩形截面杆，F 以集中力方式作用于杆件端部表面。图上给出了在 距离端点 h/4、h/2 和 h 处的 1－1、2－2 和 3－3 截面上正应力的分布。在 1－1 截面上最
h h/2 h/4 1 2 3
F
b F
h
12 3 1σ
2σ
3
F
2.575σ
1.387σ
1.027σ
图 5－4
Ro Ri
( Ro 2
−
x2 )dx
=
ω2ρ 6E
(2Ro3
+
Ri3
−
3Ro2 Ri )
结果与式（b）一致。
§5－3 应力集中
杆件受轴向拉（压） 时，在杆端力的作用点 附近，应力分布一般说 来是不均匀的。在离杆 端较远的横截面上的应 力才均匀分布。然而， 杆端并不是应力不均匀 分布的唯一可能场所。 由于工程应用上的需 要，杆件上经常开有孔、 槽；由于设计的需要， 圆轴的不同部位往往有 不同的直径，在过渡的 区域，截面直径发生突 变。理论和实验都证明， 在截面形状突变的部 位，其应力分布不再是
dx
（5－7’）
例 5－2 涡轮机的叶片在涡轮旋转时受离心力作用（图 5－7）。设叶片的截面积为常数 A，
弹性模量为 E，密度为ρ，涡轮转动的角速
度为ω。涡轮的变形忽略不计。试计算叶片
横截面上的正应力、叶片的位移和总伸长。
f(x)
解：
dx
1，计算横截面的应力
在距离涡轮轴心 x 处，取长度为 dx 的
图 5－1
§5－1 拉压杆的应力与变形
一、拉压杆的应力与变形 如图 5－2a和b所示，等截面杆在作
用于两端的轴向拉力F作用下产生拉伸 变形。从分离体的平衡条件可知，截面 上的轴力FN = F（图 5－2c）。那么截面 上的应力是怎么分布的？是不是均匀 分布？我们需要作进一步的分析。截面 上应力分布与变形有关。为此，考虑变 形前等间距的一系列杆段‘ab’、‘bc’， F …（图 5－2d），这些单元处于相同的受 力条件，它们的变形也应相同。假如单 元‘ab’的aa′截面变形后成为向外凸起 的形状（见图 5－2d），根据‘ab’单元 F 对自身中间截面的对称性，bb′截面也应 向 外 凸 起 。‘ bc ’ 单 元 的 情 况 应 该 与 ‘ab’相同。可见变形后的几何协调条 件被破坏。由此推断，杆件横截面在变 形后仍然保持为平面，并且与轴线垂 直。这一叙述在许多材料力学教材中称
次为d1＝16mm，d2＝20mm，d3＝24mm。求杆的最大正应力 σ max ，杆的总伸长 Δl 。
解：对图示的结构和载荷情况可以做如下 假设：（1）集中力F1，F2 ，F3 表示作用 在A、B、C处的合力，其作用点在截面中 心，方向与轴线一致。外载荷具体施加方 式及对局部应力分布的影响忽略不计。
= − f (x)
（2－9）
由于同一截面上的应力均匀分布，因此
l
f(x) Fi
F2
f(x)
FN
FN+dFNx
图 5－6
dx
σ x (x)
=
FN (x) A( x)
这里我们仍然近似地假设σ x 是杆件中唯一的非零应力分量。根据单向应力的胡克定律可以 将应变表示为
εx (x)
=
σ x (x) E
=
FN (x) EA( x)
F
σ0 σmax
σmax＝σS
F （a）
F （b） 图 5－8
114
F （c）
均匀的。以一开有小孔的受拉薄板为例（图 5－8a），圆孔所在的截面处的应力分布并不是
均匀的。事实上，在离小孔较远的地方应力基本上均匀分布，接近小孔时应力骤然增大（图
5－8b）。这种由于杆件截面突然变化或局部不规则而引起的局部应力骤然增加现象称为应
D l3
F3
C l2
F2
B l1
A F1 (a)
（2）轴向拉压变形的平面截面假设成立，
FN
应力和应变逐段均匀分布。
先利用分离体平衡条件，求各段轴向
45kN
25kN x
力FN，并将结果用轴力图表示(图 5－5b)。 三段相应的正应力为
图 5－5
−20kN (b)
σ1
=
FN1 A1
=
25 ×103 N
π 4
1 0.198σ
2 0.668σ
3 0.973σ
大正应力为 2.575 倍平均值，应力集中在力的作用点附近。随着与端点的距离增加，应力 分布逐渐趋于均匀。在 3－3 截面上，应力已经基本上均匀分布。
例 5－1 图 5－5a所示为一同轴变截面圆杆，所用材料的弹性模量E＝210GPa。已知轴向
力F1＝25kN，F2＝45kN，F3＝65kN，长度l1＝l3＝300mm，l2＝400mm。三段圆杆直径依
Δl1
+ Δl2
+
Δl3
=
FN1l1 EA1
+
FN 2l2 EA2
+
FN 3l3 EA3
=
4 210 ×109 Pa ×π
(
25
×103 N 0.0162
× 0.3m m2
−
20
×103 N × 0.4m 0.0202 m2
+
45
×103 N × 0.3m 0.0242 m2
)
=
0.198mm
§5－2 轴力的平衡微分方程
σ x = Eε x
可见截面上应力也为常数，即截面上的正应力为均匀分布力，所以
σx
=
FN A
（5－1）
式中 A 是截面面积。
由于各截面的轴力都等于 F，所以对于等截面杆，σ x 沿轴向也是常数。由此，沿轴向
的应变 ε x 也是常数。原长为 l 的杆的总伸长
∫ Δl =
l 0
ε
x
dx
=
εxl
=
σx E
Ri3
−
3Ro2 Ri
)
(b)
因为叶片根部的位移为零，所以 u(Ro ) 即为叶片的总伸长Δl。 总伸长也可直接从公式（5－2）来求。考虑 x 处的长度为 dx 的微段，其伸长量等于
d(Δl) = FN (x)dx EA
轴力由式（a）确定，所以
∫ ∫ Δl =
Ro Ri
FN (x)dx EA
=
ω2ρ 2E
109
a bc
a′ b′ c′ Δl
l abc
a′ b′ c′ σ
FN
(a) F (b)
(c)
a bb c
(d)
a′ b′ b′ c′
图 5－2
为平面截面假设（plane cross-section hypothesis）。在轴向拉压问题中杆件内各点都处于单 向应力状态，σ x 是唯一非零的应力分量。根据平面截面的几何关系可以推断，截面上各点 的轴向正应变为常数。根据单向拉伸的胡克定律可知