2017届高考数学一轮总复习第四章三角函数平面向量与复数第25讲平面向量的基本定理和向量的坐标运算课

1.(2015 江苏)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)， 若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为 __-_3___.
【解析】根据向量相等，先求 m，n，再求 m－n. ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8，∴mn＝＝52，，∴m－n＝2－5＝－3.
a＝
2b，则mλ 的取值范围是( A )
A.[－6，1]
B.[4，8]
C.[－1，1]
D.[－1，6]
【解析】由 a＝2b
知λλ＋2－2c＝os22αm，＝m＋①2sin α ② ∴λλ＝2－2mm－＝2c，os2α＋2sin α. 又 cos2 α ＋ 2sin α ＝ － sin2 α ＋ 2sin α ＋ 1 ＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
∴14≤m≤2. ∴mλ ＝2mm－2＝2－m2 ∈[－6，1].
1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定 理，平面向量 ―对―应→ 实数对(x，y)，任何一个平面向量 都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量 却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是 一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应
【点评】知识：向量数量积的运算律，向量减法 的几何意义.能力：题中根据向量O→Q，O→P表示点 Q，P 的曲线，考查运算求解能力，根据数形结合思想求出 1<r<R<3，考查抽象概括能力.
〔备选题〕例 5 设两个向量 a＝(λ＋2，λ2－cos2α)
和
b＝m，m2 ＋sin
α，其中
λ、m、α
为实数，若
b＝(x2，y2)，则 a＋
b＝ (x1＋x2，y1＋y2)
，
a－b＝ (x1－x2，y1－y2) .
实数与 向量 的积
若 则
aλ＝a＝(x1，(λxy11)，，λλy1∈) R，.
向量的 若起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)
坐标
2 2|a2－1|.
∵S△ABM＝12，∴12|A→B|·d＝12×4 2× 2|a2－1|＝ 12，解得 a＝±2，故所求 a 的值为±2.
二、向量平行与垂直的条件及应用 例 2 已知：a、b、c 是同一平面内的三个向量， 其中 a＝(1，2). (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c 的坐标；
解析 3：设出点 B 的坐标，转化为坐标运算求解. 同解析 1，得|P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋P→B|.设 B(cos
α，sin α)，则|2P→O＋P→B|＝|2(－2，0)＋(cos α－2， sin α )| ＝ |( － 6 ＋ cos α ， sin α )| ＝
（－6＋cos α）2＋sin2α ＝ 37－12cos α ≤ 37＋12＝7(当 cos α＝－1，即 B 落在点(－1，0)处
的关系，即实数对(x，y) 一一 对应 O→A 一一 对应 点
A(x，y). 2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，
一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本 讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是 向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的 坐标表示混淆.
3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在 引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化， 把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从 而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像 共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运 算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问 题提供了一种有效方法.
时取等号). 故|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为 7.
1.已知点 A(1，3)，B(4，－1)，则与向量A→B同方
向的单位向量为( A )
A.35，－45 C.－35，45
B.45，－35 D.－45，35
【解析】本题主要考查向量的坐标表示.由已知，
得A→B＝(3，－4)，所以|A→B|＝5，因此与A→B同方向的单
＝{P| O→P ＝acos θ＋bsin θ，0≤θ≤2π}，区域Ω
＝{P|0<r≤| P→Q |≤R，r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲 线，则( A )
A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R
【解析】设a＝(1，0)，b＝ (0，1)，则O→Q＝( 2， 2)，O→P ＝(cos x，sin x)，区域Ω表示的 是平面上的点到点Q( 2， 2)的 距离从r到R之间，如右图中的 阴影部分圆环，要使C∩Ω为两段分离的曲线，则 1<r<R<3，故选A.
位向量是15A→B＝35，－45.
2.已知向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，
且(2a－3b)⊥c，则实数 k＝( C )
A.－92
B.0 C.3 D.135
【解析】因为 a＝(k，3)，b＝(1，4)，所以 2a －3b＝(2k－3，－6).又因为(2a－3b)⊥c，所以(2a
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×54＝0， 所以a·b＝－52
∴cos θ＝|aa|··|bb|＝－1， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
【点评】弄清楚向量平行和垂直的等价转化条件 即可.
三、向量基本定理及应用
例 3 已知点 O 是△ABC 内的一点，∠AOB＝150°，
(2)当 t1＝a2 时，O→M＝(4t2，4t2＋2a2). 又A→B＝(4，4)，O→M⊥A→B.
∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－14a2， 故O→M＝(－a2，a2)，又|A→B|＝4 2， 点 M 到直 线 AB： x－ y ＋ 2＝ 0 的 距 离 d＝ |－a2－a2＋2|＝
1.已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则
实数m等于( C ) A.－ 2
B. 2
C.－ 2或 2
D.0
【解析】本题主要考查向量平行的充要条件的坐
标表示.a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，
∴m＝± 2.
2.已知向量a、b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝ 5 .
2.(2015 湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上 运动，且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2，0)，则|P→A＋P→B ＋P→C|的最大值为( B )
A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】解析 1：画出图形，利用向量加法的几何意 义通过数形结合求解.
AC 为圆周上 Rt△ABC 的斜边，则 AC 为圆 x2＋y2 ＝1 的一条直径，故 AC 必经 过原点，如图，则P→A＋P→C＝ 2P→O，|P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O ＋P→B|≤2|P→O|＋|P→B|，当 P，O，B 三点共线时取等号， 即当 B 落在点(－1，0)处时|P→A＋P→B＋P→C|取得最大值，
2017届高考数学一轮总复习第四章三角 函数平面向量与复数第25讲平面向量的
基本定理和向量的坐标运算课件文
【学习目标】 1.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面 向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.
【基础检测】
∠BOC＝90°，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，且|a|＝2，|b|
＝1，|c|＝3，试用 b 和 c 表示 a.
【解析】以 O 为原点，OC，OB
所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图
所示的坐标系.
由 OA＝2，∠AOx＝120°，所
以 A(2cos 120°，2sin 120°)，即
A(－1， 3)，易求 B(0，－1)，C(3，
4.向量a，b，c在正方形网格中 的位置如图所示.若c＝λa＋μb(λ，
μ∈R)，则μλ＝__4__.
【解析】本题考查平面向量的线性运算、平面向 量基本定理等基础知识，意在考查方程思想和考生的 运算求解能力.设i，j分别为水平方向和竖直方向上的 正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－ 3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向
此时，P→O＝(－2，0)，P→B＝(－3，0)，2|P→O|＋|P→B|＝2×2 ＋3＝7，故|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为 7.
解析 2：利用向量的线性运算及数量积求解. 同解析 1，得|P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋P→B|. 又P→B＝O→B－O→P， ∴|P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋O→B－O→P|＝|O→B－3O→P| ＝ O→B2＋9O→P2－6O→B·O→P ＝ 12＋9×22－6×1×2cos∠POB ＝ 37－12cos∠POB≤ 37＋12＝7， 当且仅当∠POB＝180°时取“等号”，故|P→A＋ P→B＋P→C|的最大值为 7.
则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
4.两向量平行和垂直的坐标表示 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ y1x2＝0. (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y1y2＝0.
一、用向量解决平面几何问题
例1已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)， O→M ＝t1O→A＋t2A→B.
(1)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、 M三点都共线；
(2)若t1＝a2，求当O→M⊥A→B且△ABM的面积为12 时a的值.
【解析】由条件知O→M＝t1O→A＋t2A→B＝t1(0，2)＋ t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).
(1)证明：当 t1＝1 时，O→M＝(4t2，4t2＋2). ∵A→B＝O→B－O→A＝(4，4)，A→M＝O→M－O→A＝(4t2， 4t2)＝t2A→B， ∴A、B、M 三点共线.
【解析】当λa＋b＝0，则b＝－λa，于是|b|＝ |λ|·|a|，因为b＝(2，1)，所以|b|＝ 5 ，又因为|a|＝1， 所以|λ|＝ 5.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知 O→A ＝(－1，t)， O→B＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为__5__.
【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算，考 查转化思想和运算能力.A→B＝O→B－O→A＝(3，2－t)，由 题意知O→B·A→B＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.
(2)若|b|＝ 25，且 a＋2b 与 2a－b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ.
【解析】(1)设 c＝(x，y)，由 c∥a 和|c|＝2 5可得： 1x·2＋y－y22＝·x2＝00，∴xy＝＝42或xy＝＝－－42 ∴c＝(2，4)，或 c＝(－2，－4). (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即 2a2＋3a·b－2b2＝0，
相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面上任一 向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实 数 x，y，使得 a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向 量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，把 a＝(x，y)叫做向量
的坐标表示，|a|＝ x2＋y2叫做向量 a 的长度(模).
量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以μλ＝4.
【知识要点】 1.平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一个平面内的两个不共线 向量， 那么对于该平面内的任意向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量 e1，e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴方向
0)，设O→A＝λ1O→B＋λ2O→C，即(－1，
3)＝λ1(0，－1)＋λ2(3，0)，
－31＝＝－3λλ21，λλ21＝ ＝－ －13
3
.∴a＝－
3b－13c.
【点评】若题设条件中向量种类较多时，可考虑 应用向量的基本定理，利用基向量表示所研究的全体 向量.
四、平面向量与函数的综合问题 例4 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b， a ＝ b ＝1，a·b＝0，点Q满足 O→Q ＝ 2 (a＋b).曲线C