双曲线的简单几何性质(第一课时)1
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a2
y2 b2
1
(a
0, b
0)的简单几何性质
1、范围
y
x a, x a
-a o a
x
2、对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴;
原点是双曲线的对称中心; 双曲线的对称中心又叫做ห้องสมุดไป่ตู้曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与其对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
y
（2）线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，
44
2
虚半轴长 顶点坐标
2
4 2,0
2 (0,±2)
焦点坐标
6,0
0,2 2
离心率 渐近线
e 3 2 4
y
2 x
4
e 2 y x
小结
方程
ａ、b、c 关系
图象
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
c2 a2 b2
y
M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
a
0, b
0
c2 a2 b2
y p
F1 0 F2
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得，实半轴长a=4，虚半轴长b=3
c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程: y
4 3
x
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
x2 8 y2 32 x2 y2 4
标准方程 实半轴长
x2 y2 1
32 4
42
y2 x2 1
e c e 1
a
ybx a
?
课后作业：
总结双曲线简单几何 性质并完成练习题
§ 双曲线的 简单几何性质
复习引入： 椭圆的几何性质
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
图像
1.范围 a x a, b y b b x b, a y a
2.对称性
关于x轴、y轴、原点对称
3.顶点 a,0、0， b
b,0、0,a
x
F1
0
F2 x
范围 对称性
顶点
离心率 渐近线 准线
x a, y b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
e c 0 e 1
a
无
x a2 c
x a, y R
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
b B2
实轴长为2a, a叫做实半轴长；
线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，
A1 -a o a A2
x
虚轴长为2b, b叫做双曲线的 虚半轴长.
-b B1
渐 如果我是双曲线 近 恩~你就是那渐近线 线 如果我是反比例函数
你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 恩~漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到
4.离心率
e=c/a（0<e<1）
双曲线的标准方程：
形式一：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
（焦点在x轴上，F（1 -c, 0）、F（2 c, 0））
形式二：
y2 a2
x2 b2
1
(a
0, b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0, -c）、F（2 0, c））
c2=a2+b2
一、探究双曲线 x2
离 心 率
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
x a
ya
或
y a
关于 x轴
(a,0)
ybx a
e c
y轴
a
原点 对称
(0,a) y a x
(e 1)
b
例1 求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长, 虚半轴长,
焦点坐标, 离心率，渐近线方程。
0)简单几何性质
（1）范围: y a, y a
y
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）离心率:
e c e 1
a
（5）渐近线:
ya x b
-b o b x -a
双曲线的几何性质 ——对比记忆
双 曲 线
性 质
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
y
N ( x, Y)
Q
b B2
M(x, y)
A1
A2
oa
x
ybx a
B1
yb x a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率.
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
e越大，双曲线开口越大.
二、讨论双曲线 y2
a2
x2 b2
1(a
0, b
y2 b2
1
(a
0, b
0)的简单几何性质
1、范围
y
x a, x a
-a o a
x
2、对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴;
原点是双曲线的对称中心; 双曲线的对称中心又叫做ห้องสมุดไป่ตู้曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与其对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
y
（2）线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，
44
2
虚半轴长 顶点坐标
2
4 2,0
2 (0,±2)
焦点坐标
6,0
0,2 2
离心率 渐近线
e 3 2 4
y
2 x
4
e 2 y x
小结
方程
ａ、b、c 关系
图象
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
c2 a2 b2
y
M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
a
0, b
0
c2 a2 b2
y p
F1 0 F2
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得，实半轴长a=4，虚半轴长b=3
c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程: y
4 3
x
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
x2 8 y2 32 x2 y2 4
标准方程 实半轴长
x2 y2 1
32 4
42
y2 x2 1
e c e 1
a
ybx a
?
课后作业：
总结双曲线简单几何 性质并完成练习题
§ 双曲线的 简单几何性质
复习引入： 椭圆的几何性质
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
图像
1.范围 a x a, b y b b x b, a y a
2.对称性
关于x轴、y轴、原点对称
3.顶点 a,0、0， b
b,0、0,a
x
F1
0
F2 x
范围 对称性
顶点
离心率 渐近线 准线
x a, y b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
e c 0 e 1
a
无
x a2 c
x a, y R
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
b B2
实轴长为2a, a叫做实半轴长；
线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，
A1 -a o a A2
x
虚轴长为2b, b叫做双曲线的 虚半轴长.
-b B1
渐 如果我是双曲线 近 恩~你就是那渐近线 线 如果我是反比例函数
你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 恩~漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到
4.离心率
e=c/a（0<e<1）
双曲线的标准方程：
形式一：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
（焦点在x轴上，F（1 -c, 0）、F（2 c, 0））
形式二：
y2 a2
x2 b2
1
(a
0, b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0, -c）、F（2 0, c））
c2=a2+b2
一、探究双曲线 x2
离 心 率
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
x a
ya
或
y a
关于 x轴
(a,0)
ybx a
e c
y轴
a
原点 对称
(0,a) y a x
(e 1)
b
例1 求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长, 虚半轴长,
焦点坐标, 离心率，渐近线方程。
0)简单几何性质
（1）范围: y a, y a
y
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）离心率:
e c e 1
a
（5）渐近线:
ya x b
-b o b x -a
双曲线的几何性质 ——对比记忆
双 曲 线
性 质
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
y
N ( x, Y)
Q
b B2
M(x, y)
A1
A2
oa
x
ybx a
B1
yb x a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率.
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
e越大，双曲线开口越大.
二、讨论双曲线 y2
a2
x2 b2
1(a
0, b