2021-2022学年湖南省株洲市明阳学校高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年湖南省株洲市明阳学校高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，且）的四个零点构成公差为2的等差数列，则的所有零点中最大值与最小值之差是
A、4
B、
C、
D、
参考答案：
D
略
2. 已知三边长分别为4，5，6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若三棱锥P ﹣ABC体积的最大值为（）
A．8 B．10 C．12 D．14
参考答案：
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】利用正弦定理和余弦定理求出△ABC的外接圆的半径即球的半径，则当P到平面ABC的距离为球的半径时，棱锥的体积最大．
【解答】解：设△ABC的最大角为α，则cosα==，
∴sinα==．
∴S△ABC==．
设△ABC的外接圆半径为r，则=2r，∴r=．
∴当P到平面ABC的距离d=r时，三棱锥P﹣ABC体积取得最大值
V===10．
故选：B．
【点评】本题考查了棱锥的体积计算，正余弦定理解三角形，属于中档题．3. 已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）
A.，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
B
略
4. 设集合，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
5. “”是“对任意的正数，”的
A.必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分且必要条件
D.非充分非必要条件
参考答案：
B
6. 如果函数的图象关于点成中心对称，且，则函数
为
A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递减 D．奇函数且在上单调递减
参考答案：
D
7. 如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
参考答案：
D
【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数的几何意义即可得出．
【解答】解：由图可知：z=﹣2+i．
故选：D．
8. 如图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．41π D．31π
参考答案：
C
9. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且
，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．1
参考答案：
B
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案．
【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，
则B（1，0），E（﹣1，1），
∴=（1，0），=（﹣1，1），
∵=（λ﹣μ，μ），
又∵P是点P为CD的中点，
∴=（，1），
∴，
∴λ=，μ=1，
∴λ+μ=，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量加减的几何意义，数形结合思想，难度中档．
10. 平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点
P
满足，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x ﹣y=0
B ．x+y=0
C ．x+2y ﹣3=0
D ．（x+1）2+（y ﹣2）2=5
参考答案：
C
【考点】J3：轨迹方程；9H ：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由已知向量等式可知P 在AB 所在的直线上，由直线方程的两点式得答案． 【解答】解：由，且λ+μ=1，得=
，
∴
，即
，则P 、A 、B 三点共线．
设P （x ，y ），则P 在AB 所在的直线上， ∵A（1，1）、B （﹣3，3）， ∴AB 所在直线方程为
，整理得：x+2y ﹣3=0．
故P 的轨迹方程为：x+2y ﹣3=0． 故选：C ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中，
为钝角，设
,则
的大
小关系
参考答案：
12.
的展开式中
的系数是___________.
参考答案：
【知识点】二项式定理 J3 【答案解析】56 解析：
的展开式的通项为：
，
当时，可得的系数为：，
故答案为：56 【思路点拨】写出
的展开式的通项，当
时，就得到含
的项，再求其系数即可。

13. 已知P ，Q 为抛物线上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2，过P 、Q 分别作抛
物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。

参考答案： 4
因为点P ，Q 的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.
由所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点
P ，Q 的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得
故点A 的
纵坐标为 4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

14. 直线
的一个单位法向量为
（填一个即可）．
参考答案：
或
15.
的展开式中常数项是 . （用数字作答）
参考答案：
16. 下面给出的四个命题中：
①以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
； ②若
，则直线与直线相互垂直； ③命题“
，使得
”的否定是“
，都有
”；
④将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象。

其中是真命题的有______ _____（将你认为正确的序号都填上）。

参考答案：
①②③
略
17. 方程的实数解为_________．
参考答案：
试题分析：由题意有，令（），则，即.
考点：1.换元法；2.指数，对数的运算.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题12分）
将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？
（1）小球不同，盒子不同，盒子不空
（2）小球不同，盒子不同，盒子可空
（3）小球相同，盒子不同，盒子不空
参考答案：
(1) (2) (3)
19. 如图，四边形是⊙O的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.
（I）证明：；
（II）设不是⊙O的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.
参考答案：
(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE= E ,
所以D=E? ……………5分
（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC?,知MN⊥BC?所以O在MN上，又AD不是O的直径，M 为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=E???由(Ⅰ)（1）知D=E，所以△ADE为等边三角形．……………10分
20. 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数的单调递增区间．
参考答案：
略
21. 设函数，其图象与轴交于，两点，且．
⑴求的取值范围；
⑵证明：（为函数的导函数）；
⑶设,若对恒成立，求取值范围
参考答案：
解：（1）．
若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则．
当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；于是当时，取得极小值．因为函数的图象与x轴交于两点，（），所以，
即．此时，存在；
存在，
又在R上连续，故为所求取值范围. (4)
分
（2）因为两式相减得
．
记，则，
设，则，所以是单调减函数，
则有，而，所以．
又是单调增函数，且
所以． (8)
分
（3）设
是偶函数
对恒成立对恒成立
，设
在上单调递增，
①当时，在上单调递增
，在上单调递增
对恒成立
②当时，
在上单调递增，又
故，使
当时，在单调递减
当时，单调递减，此时，
对不恒成立
综上，当时，对恒成立，即对恒成立
……………………14分
略
22. 已知函数．
（）若曲线与直线相切于点，求点的坐标．
（）令，当时，求的单调区间．
（）当，证明：当，．
参考答案：
（）
（）单调增区间为
单调减区间为（）略
（）设，
，
由题意，
解出，
∴，
∴．
（），
，
令，
则，
，
∵，，
∴．
只需考虑的正负即可．
∴时，，
时，，
单调减区间为，
单调增区间为．
（）∵，设，
，
当时，∵，
∴，
∴，
在单调递增，
∴，
当时，令，
解出，
令，解出，
，解出，
∴在单调递减，
在单调递增，
∴，
综上，时，．
∴在单调递减，
在单调递增．
极小值，∴在成立．。