2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第五章 数列》5-4 Word版含解析

课时规范训练
A组基础演练
1．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和S n为() A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2
解析：选 C.S n＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋(2n－1))＝2(1－2n) 1－2
＋
n(1＋2n－1)
2＝2
n＋1－2＋n2.
2．在数列{a n}中，a n＋1－a n＝2，S n为{a n}的前n项和．若S10＝50，则数列{a n
＋a n
＋1
}的前10项和为()
A．100 B．110
C．120 D．130
解析：选C.{a n＋a n
＋1
}的前10项和为(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(a10＋a11)＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.
3．数列{a n}＝1
n(n＋1)，其前n项之和为
9
10，则在平面直角坐标系中，直线(n＋
1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为() A．－10 B．－9 C．10 D．9 解析：选B.数列的前n项和为
1 1×2＋
1
2×3
＋…＋
1
n(n＋1)
＝1－
1
n＋1
＝
n
n＋1
＝
9
10，
∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，∴直线在y轴上的截距为－9.
4．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()
A．2 B．lg 50
C．5 D．10
解析：选C.由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10＝10，即a1a2…a9a10＝105，∴数列{lg a n}的前10项和等于lg a1＋lg a2＋…＋lg a9＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5.故选C.
5．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1
，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )
A.n n ＋1
B.4n n ＋1
C.3n n ＋1
D.5n n ＋1 解析：选B.a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1
＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1
. 6．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________.
解析：设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，
则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12
n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22
n ＋1. ∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12
－n ＋22n ＝4－n ＋42n .
答案：4－n ＋42n
7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2
＝2－2n
1－2
＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋1
1－2
＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2
8．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 019a 2 019
＝________.
解析：由题意可知n ＋1a n ＋1
＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n a n －1是以－14为首项，14为公比的等比数列，所以n a n －1＝－14n ， 所以n a n ＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝n －13＋13·14n ，可知1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 019a 2 019
＝2 019－13＋13×142 019＝6 0563＋13×42 019. 答案：6 0563＋13×42 019
9．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2
(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)设b n ＝12S n
，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：∵S n ＝a n (a n ＋1)2
，n ∈N *， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2
(a n ＞0)，∴a 1＝1. 当n ≥2时，由⎩⎨⎧
2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1
得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1. 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，
∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．
所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，
b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)
＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. 10．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n 2a n
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，
∵S 3＝6，S 5＝15，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋12×3×(3－1)d ＝6，
5a 1＋12×5×(5－1)d ＝15，
即⎩⎨⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3， 解得⎩⎨⎧
a 1＝1，d ＝1.
∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .
(2)由(1)得b n ＝a n 2a n ＝n 2n ， ∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12
n －1＋n 2n ，① ①式两边同乘12
，得 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2
n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2
n ＋1
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12
－n 2n ＋1
＝1－12n －n 2n ＋1， ∴T n ＝2－1
2
n －1－n 2n . B 组 能力突破
1．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )
A ．31
B ．120
C ．130
D ．185 解析：选 C.a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－(2＋20)×102
＝240－110＝130. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里
解析：选B.由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则
a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1261－12
＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.
3．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．16
解析：选C.根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.
4．数列{a n }的通项为a n ＝(－1)n (2n ＋1)sin n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 100＝
________.
解析：由a n ＝(－1)n (2n ＋1)sin n π2＋1可得所有的偶数项为1，奇数项有以下规律：
⎩⎨⎧ a 1＝－2，a 5＝－10，a 9＝－18，…⎩⎨⎧ a 3＝8，a 7＝16，a 11＝24，…
所以a 1＋a 5＋…＋a 97＝25×(－2)＋
25×242×(－8)＝－2 450， a 3＋a 7＋…＋a 99＝25×8＋25×242×8＝2 600，a 2＋a 4＋…＋a 100＝50×1＝50 所以S 100＝－2 450＋2 600＋50＝200.
答案：200
5．若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项的和，对任意正整数n ，a n ＝2(n ＋1)，3A n －B n ＝4n .
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)记c n ＝2A n ＋B n
，求{c n }的前n 项和S n . 解：(1)由于a n ＝2(n ＋1)，∴{a n }为等差数列，且a 1＝4.
∴A n ＝n (a 1＋a n )2＝n (4＋2n ＋2)2
＝n 2＋3n ， ∴B n ＝3A n －4n ＝3(n 2＋3n )－4n ＝3n 2＋5n ，
当n ＝1时，b 1＝B 1＝8，
当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝3n 2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b 1＝8适合上式，
∴b n ＝6n ＋2.
(2)由(1)知c n ＝2A n ＋B n ＝24n 2＋8n
＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋2，
∴S n ＝14⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16 ⎦
⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.。