2021高考数学热点问题千题百炼《第75炼 几何问题的转换》

（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系
（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注
意向量的方向是同向还是反向）
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
3、常见几何图形问题的转化
（1）三角形的“重心”：设不共线的三点 A x1, y1 , B x2, y2 ,C x3, y3 ，则 ABC 的重
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
第 75 炼 几何问题的转换
一、基础知识：
在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件
的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列
举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线
B 2,0
kBQ
0 3 k
2 2
3 4k
kBQ kBP
kBP
0 2
12k
4k 2 3 6 8k 2
4k 2 3
12k 16k 2
3 4k
B,Q, P 三点共线
x2
例 2：已知椭圆
a2
y2 b2
1(a b 0) 的右焦点为 F ， M
为上顶点， O 为坐标原点，若
△ OMF 的面积为 1 ，且椭圆的离心率为 2 ．
心
G
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为
向量数量积为零
（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如
图）： IP AC, IQ AQ
I 在 BAC 的角平分线上 AP AQ AIA C AIAB
（3）三点共线问题
① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线
② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线
（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：
a x1, y1 ,b x2, y2 ，则 a,b 共线 x1 y2 x2 y1 ； a b x1x2 y1 y2 0
AC
AB
（4） P 是以 DA, DB 为邻边的平行四边形的顶点
DP DA DB
（5） P 是以 DA, DB 为邻边的菱形的顶点： P 在 AB 垂直平分线上
（6）共线线段长度的乘积：若 A, B,C 共线，则线段的乘积
可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）
例如： AC AB AC AB ， AC BC AC BC
b2 3
x2
椭圆方程为：
y2
1
43
（2）由（1）可得： A2,0, B 2,0, F 1,0
设 AP : y k x 2 ，设 P x1, y1 ，联立直线与椭圆方程可得：
3x2
y
k
4y2
x
12
2
4k 2 3
x2 16k 2x 16k 2 12 0
xAx1
16k 2 4k 2
MP x1, y1 1,FQ x2 1, y2
MP FQ x1 x2 1 y1 1 y2 0 ①
因为 P,Q 在直线 y x m 上
y1 y2
x1 x2
m m
，代入①可得：
x1 x2 1 x1 m 1x2 m 0
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
二、典型例题：
例 1：如图：A, B 分别是椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的左右顶点，F
为其右焦点，2 是
AF , FB 的等差中项， 3 是 AF , FB 的等比中项
（1）求椭圆 C 的方程 （2）已知 P 是椭圆 C 上异于 A, B 的动点，直线 l 过点 A 且垂直 于 x 轴，若过 F 作直线 FQ AP ，并交直线 l 于点 Q 。证明：
12 3
x1
6 8k 2 4k 2 3
y1
k
x1
2
12k 4k 2 3
P
6 8k 4k 2
2
3
,
12k 4k 2
3
另一方面，因为 FQ AP
kFQ
1 k
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
FQ
:
y
1 k
x
1
，联立方程：
y x
1 k
2
x
1
Q
2,
3 k
Q, P, B 三点共线
解：（1）依题意可得： Aa,0, B a,0, F c,0
AF c a, BF a c
2 是 AF , FB 的等差中项 4 AF FB a c a c 2a
a 2 3 是 AF , FB 的等比中项
3
2
AF
FB
a c a c a 2 c 2 b 2
① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些
题目中计算量较大
② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，
ACB 为钝角（再转为向量：CA CB 0 ；若点在圆上，则 ACB 为直角（ CA CB 0 ）；
若点在圆外，则 ACB 为锐角（ CA CB 0 ）
段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为
坐标的运算，与方程和变量找到联系
2、常见几何问题的转化：
（1）角度问题：
① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 k
② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符
号进行判定
（2）点与圆的位置关系
2
2
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点， 且使点 F 为△ PQM 的垂心？若存在，求出
直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1） SOMF
1 OM 2
OF
1 bc 1 22
e c 2 a :b :c 2 :1:1 a2
b c 1 a2 b2 c2 2
椭圆方程为： x2 y2 1 2
（2）设 P(x1, y1) ， Q(x2 , y2 ), 由（1）可得： M 0,1, F 1,0
kMF 1 F 为△ PQM 的垂心
MF PQ
kPQ
1 kMF
1
设 PQ : y x m
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
由 F 为△ PQM 的垂心可得： MP FQ