四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二数学下学期期末模拟考试试题理【含答案】

x
A． 3 或 3
B． 3
C． 2 或 2
D． 2
11．若函数
f
(x)
1 2
x2
a
x
在区间
3,
4 和
2,
1 上均为增函数,则实数
a
的取值范围是
4, 6
A．
6, 4
B．
C． 2, 3
3, 2
D．
12．点 P 是曲线 x2 y ln x 0 上的任意一点，则点 P 到直线 x y 2 0 的最小距离为
d
,n
a
b
c
d.
19．（12 分）在如图所示的几何体中，平面 PAD 平面 ABCD ，△ PAD 为等腰直角三角形， APD 90 ，四边形 ABCD 为直角梯形， AB / / DC ， AB AD ， AB AD 2 ， PQ / / DC ， PQ DC 1
（Ⅰ）求证： PD / / 平面 QBC ；
所以 PD / /QC ．
因为 PD 平面 QBC ， QC 平面 QBC ， 所以 PD / / 平面 QBC ．即证. （2）取 AD 的中点 O ，连接 OP ， 因为 PA PD ，所以 OP AD ． 因为平面 PAD 平面 ABCD ， OP 平面 PAD ， 平面 PAD 平面 ABCD AD ， 所以 OP 平面 ABCD ． 以点 O 为坐标原点，分别以直线 OD ， OP 为 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，如下图所示：
不同的解，则实数 a 的取值范围是_______.
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
f (x) x2 a
17．(12 分)已知函数
x 1 .
的法向量为
r n
(x,
y,
z)
，由
n n
BQ CQ
0 0
x y z 0, 得 y z 0
r 令 z 1，解得 x 2 ， y 1，得 n (2,1, 1) ．
ur
r ur cos n, m
1
6
由题意得平面 ABCD 的法向量为 m (0, 0, 1) ，所以
6 1 6 ．
四川省宜宾市叙州区第一中学校 2019-2020 学年高二数学下学期期末模 拟考试试题 理
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
x t
在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
4
2t
（
t
为参数）.以坐标原点为极点，以
x
轴
2 2
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
1 cos2 .
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（II）设点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，求 PQ 的最小值.
（II）求二面角 Q BC A 的余弦值.
20．（12
C
分）已知椭圆
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
经过点
A
1,
3 2
，且离心率为
1 2
，过其右焦
点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，交 y 轴于 E 点．若 EM 1 MF ， EN 2 NF ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
1
（2）因为 f (x) 在 x 2 处取得极值，所以 f (2) 0 ，
f (x) x2 2x 8
即 4 4 a 0 ，解得 a 8 ，所以
(x 1)2 （ x 1 ），
x2 2x 8 0
令 f (x) 0 ，即 (x 1)2
，解得 x 4 ， x 2
当 x (, 4) ， f (x) 0 ；当 x (4, 2) 且 x 1 ， f (x) 0 ；当 x (2, ) ， f (x) 0 ，
（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是 ，将频率视为概率，即从大一学生中抽 取一名学生，对冰球有兴趣的概率是 ，
由题意知
，从而 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
，
D
X
np
1
p
5
3 4
1
3 4
15 16
.
19．
（1） 因为 PQ // CD ， PQ CD ，
所以四边形 PQCD 是平行四边形．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
f x x2 ax 4 g x x 2 x 2
已知函数
，
（Ⅰ）当 a
4
时，求不等式
f
x
g
x 的解集；
（II）若不等式
f
x
g
x
2,
的解集包含
4 ，求
a
的取值范围.
2020 年春四川省叙州区第一中学高二期末模拟考试
理科数学参考答案
1．C 2．D 12．D
2 从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 3 ，而男生有 10
人表示对冰球运动没有兴趣．
（Ⅰ）完成下面的 2 2 列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“对冰球是
否有兴趣与性别有关”？
有兴趣
没兴趣
合计
男
55
女
合计
（II）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生，
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
z i 1．已知 i 是虚数单位，复数 i 1 ，则 z 的虚部为
1i A． 2
1i B． 2
1 C． 2
1 D． 2
（Ⅰ）若 f (x) 在 1, f (1)处的切线斜率为1，求 a 的值；
（II）若 f (x) 在 x 2 处取得极值，求 a 的值及 f (x) 的单调区间.
18．（12 分） 2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目 迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机
1
所以
2
x1 1 x1
x2 1 x2
1 1 x1
1 1 x2
2
1
2
x1
x1 x2 x2
x1x2
2
．
将
x1
x2
8k 2 3 4k 2
，
x1x2
4k 2 3
12 4k 2
1
代入上式，化简可得
2
8 3
f x ex ax2 f 'x ex 2ax
21．（1）由
，得
.
因为曲线
y
f
x 在点
3．A
4．D
5．B
6．D
7．B
8．D
9．A
10．A 11．D
5 13． 3
9 14． 4
15． 3e
16．
1 3
,
0
17．解：（1）因为
f
(x)
x2 a x 1
，故
f (x)
x2 2x a (x 1)2
，因为
f
x 在点
1,
f
x
处的切线
斜率为1，
所以
f
1 1，即
3 4
a
1 ，解得 a
A．
B．
C．
D．
9．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决 4 个数学问题，且从星期二开始，每天所
解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所 解决问题个数的不同方案共有
A．141种
B．140 种
C． 51种
D． 50 种
10．若直线 y kx 1与圆 x2 y2 1 相交于 P, Q 两点，且 POQ 120 （其中 O 为原点），则 k 的值为.
5． f (x) 在 R 上可导，则 f '(x0 ) 0 是函数 f (x) 在点 x0 处有极值的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
1 1 1 1
6．如图给出的是计算 3 5
2019 的值的一个程序框图，则
图中空白框中应填入
SS 1
A．
2i 3
SS 1
7 4 ln 2 2
5
A．1
B．
8
C． 2
D． 2
第 II 卷 非选择题（90 分）
2、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1 13．在（x 3 x ）6 的展开式中，x3 的系数为_____．
2x y 6 0
14．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件
x
y20
,若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)
抽取 5 次，记被抽取的 5 名学生中对冰球有兴趣的人数为 X ，若每次抽取的结果是相互独立的， 求 X 的分布列、期望和方差．
附表：
P K 2 k0 0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：
K2
a
n ad bc2 bc d a cb
B．
2i 1
SS 1
C．
i 1
SS 1
D．
2i 1
7．将一长为 4，宽为 2 的矩形 ABCD 沿 AB 、 DC 的中点 E 、 F 连线折成如图所示的几何体，若
折叠后 AE AB ，则该几何体的正视图面积为
A．4
B． 2 3
C．2
f (x) ln x 2 cos x
8．函数
的图象大致为
D． 3
2．设命题 p : x R, ex x ，则 p 是
A． x R, ex x B． x0 R, ex0 x0
C． x R, ex x D． x0 R, ex0 x0
A
3．已知集合
x log3 x 2 2
B
，
x x2 9
，则 A B
, 3U2,
3,11
A．
B．
2,
6 又因为二面角 Q BC A 的平面角为锐角，所以二面角 Q BC A 的余弦值是 6 ．
c
a
1 2
1
a
2
9 4b2
1
b2 c2 a2
20．（1）设椭圆的半焦距为 c ，由题意可得
，解得 a 2 ， b
3 ，c 1．
x2 y2 1 所以椭圆的标准方程为 4 3 ．
（Ⅱ） 1 2 为定值．
，易知
x1
1，
x2
1，则
x1
x2
8k 2 3 4k 2
，
x1x2
4k 2 3
12 4k 2
．
EM x1, y1 k ， EN x2, y2 k ， MF 1 x1, y1 ， NF 1 x2, y2 ．
由NF
，可得
1
x1 1 x1
，
2
x2 1 x2
则 x 轴在平面 ABCD 内．
因为 APD 90 ， AB AD 2 PQ CD 1，
所以 A(0, 1, 0) ， B(2, 1, 0) ， C(1,1, 0) ， Q(1, 0, 1) ，
uuur
uuur
则 BQ (1,1, 1) ， CQ (0, 1, 1) ．
设平面 QBC
51 的最大值为 40，则 a ＋ b 的最小值为_____.
15．若 x 1 是函数 f x
x2 ax 5
ex
f x 2,2
的极值点，则
在
上的最小值为______.
f
(x)
1 6
x2
a x
1 2
,
x
0
16．已知函数
ln x x, x 0
，若关于 x 的方程 f (x) f (x) 0 在定义域上有四个
, 3 2,3
C．
D．
4．某公司在十周年庆典中有一个抽奖活动，主持人将公司 150 名员工随机编号为 001，002，003，…，150，采用系统抽样的方法从中抽取 5 名幸运员工.已知抽取的幸运员工中有 一编号为 035，那么以下编号中不是幸运员工编号的是
A．005
B．095
C．125
D．135
由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，
因为直线
l
过点
F
1,
0 ，所以直线
l
的方程为
y
k
x
1
．
令
x
0
，可得
y
k
，即
E
0,
k
．
y k(x 1)
x2
联立 4
y2 3
1 消去 y
可得
3 4k 2
x2 8k 2 x 4k 2 12 0
．
M
设
x1, y1
N
，
x2 , y2
（Ⅱ）试判断 1 2 是否是定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21．（12 分）已知函数
f
x
ex
ax2
，且曲线
y
f
x在点 x
1 处的切线与直线
x e 2 y 0 垂直.
f x
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（II）求证：
x
0
时，
ex
ex
1
x
ln
x
1 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
所以 y f (x) 的单调递增区间为 (, 4) 和 (2, ) ；单调递减区间为 (4, 1) 和 (1, 2) .
18．（1）根据已知数据得到如下列联表：
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
根据列联表中的数据，得到
，
，
所以能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.