子弹击木块模型的解析法

子弹击木块模型中的解析法
袁振卓
1. 模型
如图1所示，一质量为M的木块，静止在光滑的水平面上。

一质量为m的子弹以速度击中木块，当子弹与木块相对静止时，子弹射入木块的深度为d。

图1
（1）求子弹与木块相对静止时的速度v；
（2）若子弹击中木块后所受的阻力为恒力，求其大小；
（3）在此过程中，有多少机械能转化为内能？
解析：（1）将子弹和木块作为一个系统，则该系统在水平方向动量守恒。

对系统在子弹射向木块到子弹与木块有共同速度的过程，由动量守恒定律有
解得
（2）设子弹静止在木块中时，木块的位移为，子弹的位移为。

以木块为研究对象，根据动能定理有
以子弹作为研究对象，根据动能定理有
又
联立以上三式解得
（3）在题设过程中，子弹与木块的相对位移为d，与d的乘积便为系统的机械能转化为内能
对本模型，可得如下结论：
（1）在子弹击木块过程中系统动量守恒；
（2）阻力对木块做正功，对子弹做负功；
（3）子弹动能减少量大于木块动能增加量，差值等于转化为内能的部分；
（4）阻力与相对位移的乘积等于系统机械能的减少量，也等于转化为内能的部分。

2. 模型应用
例1：一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速度射入静止的木块，子弹质
量为m，打入木块深度为d，木块向前移动S，最终以速度v匀速运动，此过程转化为内能的能量为（）。

A. B.
C. D.
解析：设木块的质量为M，子弹与木块之间的作用力为。

子弹击木块过程系统动量守恒有
根据阻力与相对位移的乘积等于系统机械能的减少量，也等于转化为内能的部分，有
由以上二式可得
所以选项A正确。

因为阻力对木块做正功，即
可得
所以
选项C正确。

故本题正确选项为A、C。

例2：子弹质量为m，打入静止在光滑水平面上质量为M的木块，转化为内能的能量为，若子弹以相同速度打入静止在光滑水平面上质量为2M的木块，转化为内能的能量为，若两次子弹均未穿出木块，且，则与之比为（）。

A. 7：8
B. 3：4
C. 7：6
D. 5：6
解析：设子弹速度为，子弹与木块相对静止时的速度为，由前述本模型的结论可得如下方程
将代入方程以上二方程解得
同理可得
则
故选项A正确。

例3：如图2所示，质量为的平板车B原来静止在光滑的水平面上，另一质量的物体A以的水平速度滑向平板车的另一端。

假设平
板车与物体间的动摩擦因数为，g取，求：
图2
①如果A不会从B的另一端滑下，则A、B最终速度是多少？
②要保证A不滑下，平板车至少要有多长？
解析：整个系统作用过程符合子弹击木块模型，使物体A相当“子弹”，小车B 相当“木块”。

①设A、B最终的共同速度为v，则对A、B组成的系统，由动量守恒定律有
解得
②设保证A不滑下，平板车的最短长度为。

由本模型的结论（4）有
代入数据得。