2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评练习含解析北师大版必修第一册

模块综合测评
限时120分钟 分值150分 战报得分______
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)
1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，则M ∩N ＝( ) A ．{－2，－1，0，1，2} B ．{－2，－1，0，1，4} C ．{－2，－1，0，1}
D ．{－1，0，1}
【解析】选C.2，3，4∉M ，由交集运算知M ∩N ＝{－2，－1，0，1}． 2．命题“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
【解析】选C.命题：∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定为∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0. 3．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．c <a <b
D ．b <c <a
【解析】选A.a ＝20.3>1，b ＝0.32<1，c ＝log 20.3<0，所以c <b <a . 4．已知实数0<x <1
2 ，则x (1－2x )的最大值为( )
A ．1
B ．1
8
C ．4
D ．14
【解析】选B.因为0<x <12 ，则x >0，1－2x >0，所以x (1－2x )＝12 (2x )(1－2x )≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋1－2x 2 2
＝18 ，当且仅当2x ＝1－2x 时，即x ＝14 时取等号，所以x (1－2x )的最大值为18
. 5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解
析式来琢磨函数图象的特征．我们从这个图片中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()
A.f(x)＝1
||x|－1|
B．f(x)＝1
|x－1|
C．f(x)＝1
x2－1
D．f(x)＝
1 x2＋1
【解析】选A.由图象知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除选项B，D，又因为当x＝0时，C选项中f(0)＝－1，不符合图象f(0)＝1，所以排除C.
6．已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是() A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f(x)一定有最小值
C．当a＝0时，f(x)的定义域为R
D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 【解析】选A.对于A，当a＝0时，解x2－1>0
得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；
对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，
此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误；
对于C，由A知，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C错误；
对于D ，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y ＝x 2＋ax －a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以对称轴x ＝－a
2 ≤2，解得a ≥－4，但当a ＝－4时，f (x )＝
lg (x 2－4x ＋3)在x ＝2处无定义，故D 错误．
7．已知奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）
x －2 <0的
解集是( )
A ．(－3，0)∪(0，2)∪(3，＋∞)
B ．(－∞，－3)∪(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞)
D ．(－3，0)∪(0，3)
【解析】选C.由f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f (3)＝0得，
f (－x )＝－f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递减，f (－3)＝0，所以当x ∈(－∞，－3)时，f (x )>0，当x ∈(－3，0)时，f (x )<0，当x ∈(0，3)时，f (x )>0，当x ∈(3，＋∞)时，f (x )<0，则f （x ）－f （－x ）x －2
<0，
即2f （x ）x －2 <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，x －2<0 或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0
x －2>0 ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，x －2<0 解得x <－3或0<x <2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0，x －2>0
解得x >3， 所以满足条件的x 的范围为(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞).
8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －2，x ≤1
是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(8，＋∞) C ．[4，8)
D ．(1，8)
【解析】选C.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >1，
⎝⎛⎭⎫4－a 2x －2，x ≤1
是R 上的增函数， 所以⎩⎨⎧a >1，
4－a
2>0，4－a 2－2≤log a
1
解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4，8).
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－1，0]上是单调递增的，则( )
A ．f (x )是周期函数
B ．f (x )的图象关于x ＝1对称
C ．f (x )在[0，1]上是单调递增的
D ．f (x )在[1，2]上是单调递减的 【解析】选AB.由于f (x ＋1)＝－f (x )，
所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，周期为2，故A 正确；
由于f (2－x )＝f (－x )＝f (x )，图象关于直线x ＝1对称，故B 正确；
偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故C 不正确； 根据周期性，函数在[1，2]上的单调性与[－1，0]上的单调性相同，故D 不正确．
10．机器人(Robot)是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，它具有感知、决策、执行等基本特征，可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围．为了研究A ，B 两专卖店的机器人销售状况，统计了2020年2月至7月A ，B 两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折线图，则下列说法正确的是( )
A．根据A店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在[34，35]内
B．根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势
C．根据A，B两店营业额的折线图，可得A店的营业额极差比B店大
D．根据A，B两店营业额的折线图，可得B店7月份的营业额比A店多
【解析】选ABD.根据A店的营业额折线图可知该店营业额的平均值为
14＋20＋26＋45＋64＋36
6≈34.17，故A正确；根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势，故B正确；A店营业额的极差为64－14＝50，B店营业额的极差为63－2＝61，故A店营业额的极差比B店小，故C错误；由折线图可知，B店7月份的营业额比A店多，故D正确．
11．定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，其中a>c>b>0，给出下列四个结论正确的是()
A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f(x)]＝0有且仅有四个解
C．方程f[f(x)]＝0有且仅有八个解
D ．方程g [g (x )]＝0有且仅有一个解
【解析】选AD.对于A ，设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，
当f (t )＝0时，则t ＝g (x )有三个不同的值，由于y ＝g (x )是减函数，所以有三个解，所以A 正确； 对于B ，设t ＝f (x )，则由g [f (x )]＝0，即g (t )＝0，解得t ＝b ， 因为c >b >0，所以f (x )＝b 只有3个解，所以B 不正确；
对于C ，设t ＝f (x )，若f [f (x )]＝0，即f (t )＝0，则t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，则 f (x )＝－b 或f (x )＝0或f (x )＝b ，
因为a >c >b >0，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C 错误； 对于D ，设t ＝g (x )，若g [g (x )]＝0，即g (t )＝0，所以t ＝b ， 因为y ＝g (x )是减函数，所以方程g (x )＝b 只有1解，所以D 正确．
12．函数f (x )的定义域为D ，若存在区间[m ，n ]⊆D 使f (x )在区间[m ，n ]上的值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]为函数f (x )的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2－2x ＋2 C ．f (x )＝x ＋1
x
D ．f (x )＝1
x
【解析】选ABD.由题得，若f (x )在区间[m ，n ]上的值域也是[m ，n ]，则f (x )存在“和谐区间”[m ，n ]，
可知，m <n ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ，f （n ）＝n 或⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝n
f （n ）＝m ，
A ：f (x )＝x (x ≥0)，若⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ＝m
f （n ）＝n ＝n ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝0
n ＝1 ，所以f (x )＝x 存在“和谐区间”[0，1]；
B ：f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈R )，
若 ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2－2m ＋2＝m f （n ）＝n 2
－2n ＋2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2
，
所以f (x )＝x 2－2x ＋2存在“和谐区间” [1，2]；
C ：f (x )＝x ＋1
x
(x ≠0)，若
⎩⎨⎧f （m ）＝m ＋1m
＝m
f （n ）＝n ＋1n
＝n ，得⎩⎨⎧1m
＝01
n ＝0
，故无解；若⎩⎨⎧
f （m ）＝m ＋1m
＝n
f （n ）＝n ＋1
n
＝m ，
则m ＋1m ＋1
m ＋
1
m ＝m ，
即2m 2＋1m 3＋m
＝0，故无解， 所以f (x )＝x ＋1
x
不存在“和谐区间”；
D ：f (x )＝1
x
(x ≠0)，函数在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递减，
则⎩⎨⎧f （m ）＝1m
＝n
f （n ）＝1
n
＝m ，不妨令⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12
n ＝2
，
所以f (x )＝1
x 存在“和谐区间”⎣⎡⎦⎤12，2 ；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min 后茶水的温度为y ℃，且y ＝k ×0.908 5x ＋25(x ≥0，k ∈R ).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为________min(结果保留整数).(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)
【解析】由题意可知，当x ＝0时，y ＝85，即85＝k ＋25，k ＝60，故y ＝60×0.908 5x ＋25. 当y ＝55时，55＝60×0.908 5x ＋25，0.908 5x ＝0.5， x ＝log 0.908 50.5＝－ln 2ln 0.908 5 ≈0.693 10.096 0 ≈7.
答案：7
14．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，至多有一件一等品的概率是________．
【解析】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).恰有2件一
等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P 0＝3
10 ，其对立事件是“至
多有一件一等品”，概率为P ＝ 1－P 0＝1－310 ＝7
10 .
答案：7
10
15．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，
ln x ，x >0， 则f [f (1)]＝________；设g (x )＝f (x )＋x ＋a ，若函数g (x )存在
2个零点，则实数a 的取值范围是________．
【解析】因为f (1)＝ln 1＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝e 0＝1；因为g (x )有2个零点，所以y ＝f (x )，y ＝－x －a 的图象有两个交点，作出y ＝f (x )，y ＝－x －a 的图象如图所示：
当y ＝f (x )，y ＝－x －a 有两个交点时，可知－a ≤1，所以a ≥－1，即a ∈[－1，＋∞). 答案：1 [－1，＋∞) 16．下列几个命题：
①方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0若有一个正实根，一个负实根，则a <0； ②函数y ＝
x 2－1 ＋
1－x 2 是偶函数，但不是奇函数；
③函数f (x )的值域是[－2，2]，则函数f (x ＋1)的值域为[－3，1]；
④ 一条曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. 其中正确的有________．
【解析】①由一元二次方程根与系数的关系，得x 1x 2＝a <0，故①正确；
②根据函数的定义域可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，
1－x 2
≥0
解得：x ＝±1，此时y ＝0，所以y ＝
0(x ＝±1) ，所以函数既是奇函数，又是偶函数；故②不正确；
③y ＝f (x ＋1)由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数f (x ＋1)的值域为[－2，2]，故③不正确；
④因为y ＝|3－x 2|是偶函数，并且图象如图所示，y ＝a 与图象的交点有2个，3个或4个，不可能有1个的时候，故④正确．
答案：①④
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )是奇函数，且f (1)<f (2). (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；
(2)求y ＝log 22 f (x )＋log 12
[2f (x )]，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 的值域． 【解析】(1)因为幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )是奇函数，且f (1)<f (2). 所以－2m 2＋m ＋3是正奇数，且m ∈Z ， 所以m ＝0，f (x )＝x 3.
(2)y ＝ log 22 f (x ) ＋ log 12
[2f (x )] ＝ log 22 x 3
＋
log 12 (2x 3)＝(3log 2x )2＋log 12 2＋log 12
x 3＝9(log 2x )2－3log 2x －1＝9
⎝⎛⎭⎫log 2x －16 2
－54
，因为
x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ，
所以－1≤log 2x ≤1，所以当log 2x ＝16 时，y 取最小值－5
4
，当log 2x ＝－1时，y 取最大值11.
所以y ＝log 22 f (x )＋log 12
[2f (x )]，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 的值域为⎣⎡⎦
⎤－54，11 . 18．(12分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 【解析】(1)甲品牌产品使用寿命小于200小时的频率为5＋20100 ＝1
4 ，用频率估计概率，所以，
甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率为1
4
.
(2)根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，使用寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145 ＝1529 ，用频率估计概率，
所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15
29
.
19．(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45 ，乙当选的概率为3
5 ，丙当
选的概率为7
10
.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45 ，P (B )＝35 ，P (C )＝7
10 .
(1)因为A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A B C )＋ P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＝45 ×25 ×310 ＋15 ×35 ×310 ＋15 ×25 ×710 ＝47
250
.
(2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－45 ×35 ×710 ＝83
125 .
20．(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量n (单位：枝)整理得下表：
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
【解析】(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85.当日需求量n ＜17时，利润y ＝
10n －85.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17， (n ∈N ).
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1
100 (55×10＋65×20＋75×16＋85×54)
＝76.4(元).
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
21．(12分)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a
e x －a (e 为常数，e ＝2.718 28…).
(1)若a ＝1，求证：函数f (x )为奇函数； (2)若a <0.①判断并证明函数f (x )的单调性；
②若存在x ∈[1，2]，使得f (x 2＋2ax )>f (4－a 2)成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时，函数f (x )＝e x ＋1
e x －1 ，
因为e x －1≠0，则x ≠0，
所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，对任意x ≠0，f (－x )＝e －x ＋1e －x －1 ＝1＋e x
1－e x ＝－f (x )，
所以f (x )＝e x ＋1
e x －1
是奇函数．
(2)①当a <0时，f (x )为R 上的单调增函数，证明如下：
当a <0时，e x －a >0恒成立，故函数f (x )定义域为R .任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则e x 1<e x 2，因为f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a e x 1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋2a e x 2－a ＝
2a （e x 2－e x 1）（e x 1－a ）（e x 2－a ） <0， 所以f (x )为R 上的单调增函数．
②设命题p ：存在x ∈[1，2]，使得f (x 2＋2ax )>f (4－a 2)成立．
下面研究命题p 的否定：p ：∀x ∈[1，2]，f (x 2＋2ax )≤f (4－a 2)恒成立． 若p 为真命题，由①知，f (x )为R 上的单调增函数，故∀x ∈[1，2]，x 2＋ 2ax ≤4－a 2恒成立．
设g (x )＝x 2
＋2ax ＋a 2
－4，x ∈[1，2]，⎩⎪⎨⎪
⎧a <0，g （1）≤0，g （2）≤0
解得－3≤a <0.
因为p 为真，则p 为假命题， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－3).
22．(12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )
＝g （x ）x .
(1)求a ，b 的值；
(2)若不等式f (log 2x )－2k log 2x ≥0在x ∈[4，8]上恒成立，求实数k 的取值范围； (3)若f (|2x －1|)＋k 2
|2x －1| －3k ＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
【解析】(1)函数g (x )＝ax 2－2ax ＋b ＋1＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 因为a ＞0，所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝1，3a ＋b ＋1＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.
(2)由(1)可得f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x
－2，
不等式f (log 2x )－2k log 2x ≥0在x ∈[4，8]上恒成立，等价为log 2x ＋1
log 2x －2≥2k log 2x 在x ∈[4，
8]上恒成立，
即2k ≤1（log 2x ）2 －2
log 2x ＋1在x ∈[4，8]上恒成立，
令t ＝1
log 2x ，则2k ≤t 2－2t ＋1，因为x ∈[4，8]，
所以t ∈⎣⎡⎦⎤
13，12 ，
则函数m (t )＝t 2－2t ＋1在t ∈⎣⎡⎦⎤13，12 上递减，可得m (t )的最小值为m ⎝⎛⎭⎫12 ＝14 ，则2k ≤1
4 ，即k ≤1
8
. (3)原方程可化为|2x －1|2－(3k ＋2)|2x －1|＋(2k ＋1)＝0， 可令t ＝|2x －1|，则t ＞0，
由题意可得t 2－(3k ＋2)t ＋(2k ＋1)＝0有两个不等实根t 1，t 2， 其中0＜t 1＜1，t 2＞1或0＜t 1＜1，t 2＝1， 设h (t )＝t 2－(3k ＋2)t ＋(2k ＋1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k <0 或⎩⎨⎧
2k ＋1>0，
h （1）＝－k ＝0，0<
3k ＋2
2<1
解得k ＞0或k ∈∅， 则k 的取值范围是(0，＋∞).。