新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理3 1 3 2组合数的应用学案含解析新人教B版选择性必修第二

第2课时组合数的应用
知识点一组合与排列的异同点
共同点：排列与组合都是从n个________对象中取出m(m≤n)个对象．
不同点：排列与对象的________有关，组合与对象的________无关．
知识点二应用组合知识解决实际问题的四个步骤
(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．
(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．
(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．
(4)结论：根据计算结果写出方案个数．
〖基础自测〗
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．
2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．
题型一无限制条件的组合问题
例1在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
状元随笔本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．
方法归纳
解答简单的组合问题的思考方法
1．弄清要做的这件事是什么事．
2．选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．
3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．跟踪训练1现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
题型二有限制条件的组合问题
例2高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
状元随笔可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．
方法归纳
常见的限制条件及解题方法
1．特殊对象：若要选取的对象中有特殊对象，则要以有无特殊对象，特殊对象的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．跟踪训练2“抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
题型三组合在几何中的应用
例3平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
状元随笔解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．
方法归纳
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．跟踪训练3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
题型四分组分配问题
例4将6本不同的书分为三组，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
方法归纳
一般地，n 个不同的对象分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m p
A k k ，简言之，部分平均
分组，有“几个”平均分就除以“几”的阶乘．跟踪训练4 将6本不同的书分给甲、乙、丙
三人，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？
(1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；
(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本．
题型五 排列、组合的综合应用
状元随笔 1.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？
〖提示〗 共有C 24 ＝4×3
2
＝6(个)不同结果． 完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象并相乘．
2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？
〖提示〗 共有A 24－2 ＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同对象并相除．
3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同对象组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？
〖提示〗 由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A 24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中
取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C12C13C13＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A24＋C12C13C13＝30(种)不同的结果．
例5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
状元随笔(1)按选中女生的人数多少分类选取．
(2)采用先选后排的方法．
(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．
(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．
方法归纳
解决排列、组合综合问题要采用先选后排的方法．
解决时通常从以下三个途径考虑：
1．以对象为主考虑，即先满足特殊对象的要求，再考虑其他对象；
2．以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
3．先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．跟踪训练5某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法________种．
教材反思
第2课时 组合数的应用
新知初探·自主学习
知识点一
不同 顺序 顺序 〖基础自测〗
1．〖解 析〗把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C 310＝10×9×8
3×2×1＝120(种)． 〖答 案〗120
2．〖解 析〗甲选修2门，有C 24＝6(种)不同方案． 乙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案． 丙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案．
由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)． 〖答 案〗96
3．〖解 析〗有C 13·C 24·A 22＝36种满足题意的分配方案．其中C 1
3表示从3个乡镇中任选定1
个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C 24表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A 22表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数． 〖答 案〗36
4．〖解 析〗每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，
甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C 27＋C 37＋C 47＋C 5
7＝112种分配方案．
〖答 案〗112
课堂探究·素养提升
例1 〖解 析〗 (1)从中任选5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种
选法；再从另外9人中选4人，有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．
跟踪训练1 〖解 析〗(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不
同对象中取出2个元素的组合数，即C 210
＝10×9
2×1
＝45.
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C24种方法，即共有C26＋C24＝21(种)选法．
例2〖解析〗(1)从余下的34名学生中选取2名，
有C234＝561(种)．
∴不同的选法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C334＝5 984(种)．
或者C335－C234＝C334＝5 984种．
∴不同的选法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100(种)．
∴不同的选法有2 100种．
(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方法N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴不同的选法有2 555种．
(5)选取3名的总数有C335，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．
∴不同的选法有6 090种．
跟踪训练2〖解析〗(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．
方法一：(直接法)
按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；
②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；
③选4名外科专家，共有C44·C26种选法．
根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．
方法二：(间接法)
不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C66种选法；
②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；
③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．
所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．
例3〖解析〗方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216(个)．
方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C 312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C 34＝4种．
故这12个点能构成三角形的个数为C 312－C 34＝216个． 跟踪训练3
〖解 析〗如图所示，含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有3C 35种取法，含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C 35＋3＝33种．
例4 〖解 析〗 (1)每组2本，均分为三组共有C 26C 24C 22
A 33
＝15×6×16＝15(种)分配方法．
(2)一组1本，一组2本，一组3本共有C 36C 23C 11＝20×3＝60(种)分配方法．
(3)一组4本，另外两组各1本共有C 46C 12C 11
A 2
2＝15×22
＝15(种)分配方法． 跟踪训练4 〖解 析〗(1)(2)(3)中，由于每人分得的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：
(1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法； (2)共有C 16C 25C 33＝60(种)不同的分配方法； (3)共有C 46C 12C 1
1＝30(种)不同的分配方法．
(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，
属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙三人．因此，
(4)共有C 26C 24C 22÷A 33×A 33＝90(种)不同的分配方法； (5)共有C 16C 25C 33×A 33＝360(种)不同的分配方法； (6)共有C 46C 12C 11÷A 22×A 33
＝90(种)不同的分配方法． 例5 〖解 析〗 (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55
种， 共(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55
＝5 400种． (2)除去该女生后，先选后排，有C 47·A 44＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·
A 44＝3 360种． (4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排有A 33种，共C 36·C 13·A 3
3＝360种．
跟踪训练5 〖解 析〗C 35·C 13·C 24·A 33＝1 080.
〖答 案〗1 080。