高三数学第39练数列的前n项和练习51

第39练 数列的前n 项和
一、选择题
1．(2016·东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12
D ．－15
2．(2016·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321
64，则项
数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9
D ．6
3．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f (x )＝x 2
＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列{1
f (n )
}的前n 项和为S n ，则S 20的值为( ) A.325
462 B.1920 C.119256
D.2 010
2 011
4．(2016·衡水期中)1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋1
210)的值为( )
A ．18＋1
29
B ．20＋1
210
C ．22＋1
2
11
D ．18＋1
2
10
5．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *
都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013
等于
( )
A.2 0122 013
B.2 013
1 007 C.
2 0121 007 D.
2 013
2 014
二、填空题
6．(2017·合肥质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n
，则S n ＝________. 7．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋
y )，若a 1＝1
2
，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________________．
8．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos
n π
2
＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.
9．(2016·云南师大附中月考)设S ＝
1＋112＋12
2＋1＋122＋13
2＋1＋132＋1
4
2＋…＋1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]＝________. 三、解答题
10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *
，都有T n <
564
.
答案精析
1．A [依题意可知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝3，…，a 9＋a 10＝3， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×3＝15. 故选A.]
2．D [∵数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
－12n ＝1－1
2n ，
∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－1
2n )
＝n －(12＋14＋18＋…＋1
2n )
＝n －12[1－(12)n ]1－12
＝n －1＋1
2
n .
由S n ＝32164＝n －1＋1
2n ，可得n ＝6.故选D.]
3．A [因为f (x )＝x 2
＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，
又函数f (x )＝x 2
＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行， 所以f ′(0)＝a ＝2， 所以f (x )＝x 2
＋2x ， 所以
1f (n )＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)
＝12(1n －1n ＋2
)， 所以S 20＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(120－122)]＝12(1＋12－121－122)＝325
462.
故选A.]
4．B [设a n ＝1＋12＋122＋…＋1
2n －1
＝1－1
2n
1－12
＝2(1－12n )
＝2－1
2n －1，
∴S n ＝2n －1－12
n
1－12
＝2n －2(1－12n )＝2n －2＋1
2n －1，
∴S 11＝20＋1
2
10，故选B.]
5．B [因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.
用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
，
所以1a n
＝
2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1.
所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013
＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 013－12 014)
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫1－
12 014＝
2 013
1 007
，故选B.] 6．n ·2n
解析 ∵S n ＝2a n －2n
＝2(S n －S n －1)－2n
， 即S n ＝2S n －1＋2n
(n ≥2)，
∴S n 2n ＝2S n －12n ＋1＝S n －1
2
n －1＋1， ∴S n 2n －S n －1
2n －1＝1，且S 1＝a 1＝2，∴S 1
2
＝1， ∴数列{S n
2n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n
2n ＝n ，∴S n ＝n ·2n
.
7．[1
2
，1)
解析 由已知可得a 1＝f (1)＝1
2
，
a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝(12
)2，
a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝(12
)3，…，
a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝(12
)n ，
所以S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ＝12[1－(12)n ]
1－
12＝1－(12
)n
，
因为n ∈N *
，所以12≤S n <1.
8．3 018
解析 由于f (n )＝cos n π
2
的值具有周期性，所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的
和为定值入手解决．
当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)cos 4k ＋1
2π＋1＝1，
当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，
a n ＝(4k ＋2)cos
4k ＋2
2
π＋1＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1， 当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)cos 4k ＋3
2
π＋1＝1，
当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)cos 4k ＋4
2π＋1＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，
∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6. ∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012
＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012) ＝6×503＝3 018. 9．2 014 解析 ∵
1＋1n 2＋1(1＋n )2
＝
(n 2
＋n )2
＋2(n 2
＋n )＋1
n 2(1＋n )2
＝n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝1＋(1n －1n ＋1
)， ∴S ＝1＋(11－12)＋1＋(12－13)＋…＋1＋(12 014－12 015)＝2 015－12 015，故[S ]＝2 014.
10．(1)解 由S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0，得[S n －(n 2
＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2
＋n (n ∈N *)．
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，
n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．
所以a n ＝2n (n ∈N *
)． (2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *
)，
得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋1
4n 2(n ＋2)
2
＝116⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116[⎝
⎛
⎭⎪⎫1－132＋⎝
⎛⎭⎪⎫
1
22－142＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
132－15
2＋…＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2] ＝116⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2 <116⎝
⎛⎭⎪⎫1＋122＝564(n ∈N *
)．
即对于任意的n ∈N *
，都有T n <564.。