2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(10)：圆锥曲线.pdf

十、圆锥曲线（选修2-1）
1.（2012年东城二模文7）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心为半径的圆和抛物线的准线相交，的取值范围A ）
A． C. D.
2.（2012年西城二模 文5）已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为A． C. D.
3.（2012年朝阳二模文5）已知双曲线）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为C ）
A． B． C． D．
上一点M到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．。

5.（2012年昌平二模文11）已知双曲线的方程为，则其渐近线的方程为___________,若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则.
, 。

6.（2012年海淀二模文10）已知双曲线的渐近线方程是，那么此双曲线的离心率为 .
答案：。

7.（2012年西城二模 文19）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求△（为原点）面积的最大值．
解： （Ⅰ）由 ， 得 ． ① ………2分
由椭圆经过点，得． ② …3分
联立① ②，解得 ，． ……4分
所以椭圆的方程是 ． ……5分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 ．
……7分
令，得．
设，，则，． ……9分
所以 ． ……10分
因为 ，
设 ，
则 ． …13分
当且仅当，即时等号成立，此时△面积取得最大值…14分
8.（2012年朝阳二模文19）在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为.（）写出的方程
；（设过点的斜率为（）的直线与交于不同的两点，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围解：（Ⅰ）,
根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，
则， ，，所以的方程为. ……5分
（II）依题设直线的方程为.将代入得
. . …6分
设，，
则， ……7分
设的中点为，则，，即. ……8分
因为，
所以直线的垂直平分线的方程为，…9分
令解得，， ……10分
当时，因为，所以； …12分
当时，因为，所以. ……13分
综上得点纵坐标的取值范围是. ……14分
的中心在原点，焦点，在轴上，焦距为，是椭圆上一动点，的面积最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，
，求证：为定值．
解：（Ⅰ）．
因为焦距为，所以c=．
当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，
所以此时△PF1F2的面积最大，
所以， 所以．
因为， 所以，
椭圆方程为． …………5分
（Ⅱ）直线斜率存在，设为，则直线．
设，
联立 消y得 显然，，．
因为直线交轴于点，．
所以 ，且，同理.
即为定值是. ………14分
10.（2012年昌平二模文19）已知椭圆C: ，过点B（0，1）, 离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于M，N两个不同的点，且使成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）由题意可知, 解得
故椭圆的方程为 ……分
（Ⅱ） PN的中点，
设 ① ……5分
（1）当直线的斜率不存在时，,易知条件，此时直线方程 ………7分
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由 ，消去y 得 得 解得 （*）……9分 ② ，③由① ②③可得消去，可得，故……13分
综上可知：存在这样直线l的方程为： ………1分
的左焦点，长轴长与短轴长的比是.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过作两直线，交椭圆于，，，四点，若，求证：为定值.
解：（Ⅰ）由已知得 解得 , . ……4分
故所求椭圆方程为. ……5分
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当直线斜率存在时，设直线的方程为 ：.
由 得 . ……7分
由于，设，则有
，，
. ……9分
同理. …11分
所以. …12分
当直线斜率不存在时，此时，.
综上，为定值. ……14分
12.（2012年海淀二模文19）已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），动直线过点，且直线与椭圆交于，两点，证明：为定值.
解：（Ⅰ）由题意知：.
根据椭圆的定义得：，即.…3分
所以 . 所以 椭圆的标准方程为. …4分
证明：（Ⅱ）的斜率为0时，.
则 . …6分
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，.
由可得：.
显然. ……9分
因为 ，，
所以
.
即 . …………13分。