2016届高考数学理一轮复习(山东专版)课后作业第5章数列第4节数列求和

课后限时自测
[A 级 基础达标练]
一、选择题
1．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15
等于( )
A ．－5
B ．－1
C ．0
D ．6
[解析] 由题意可得S 6＝－3，S 10＝－5，S 15＝1＋7＝8，所以S 6
＋S 10＋S 15＝0.
[答案] C
2．(2015·烟台质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn(a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．32
[解析] 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，可知数列{a n }是等差数列， 由S 25＝
（a 1＋a 25）×25
2
＝100，解得a 1＋a 25＝8， 所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8. [答案] B
3．(2015·菏泽联考)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋2
10
＋310＋…＋9
10，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为( )
A .n n ＋1
B .4n n ＋1
C .3n n ＋1
D .5n n ＋1
[解析] a n ＝
1＋2＋3＋…＋n n ＋1
＝n
2，
∴b n ＝1a n a n ＋1＝4
n （n ＋1）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，
∴S n ＝4[⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1
. [答案] B
4．已知数列2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 015项之和S 2 015等于( )
A ．1
B ．2 015
C ．4 030
D ．0 [解析] 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.
故数列的前几项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 015＝6×335＋5， ∴S 2 015＝S 5＝1. [答案] A
5．(2015·临沂模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n ＋12π，
则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝( )
A .2 013×2 0142
B .2 014×2 015
2 C .2 013×2 0132
D .2 014×2 0142
[解析] a n ＝n 2
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2n ＋12π
＝n 2
cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2
（n 为奇数），n 2（n 为偶数），
所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝－12＋22－32＋42＋…－2 0132＋2 0142
＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0142－2 0132) ＝3＋7＋11＋…＋4 027
＝1 007（3＋4 027）2＝2 014×2 015
2. [答案] B 二、填空题
6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1
.若前n 项和为10，
则项数n ＝________．
[解析] a n ＝n ＋1－n （n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）＝n ＋1－n ，
所以a 1＋a 2＋…＋a n
＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n) ＝n ＋1－1＝10.
即n ＋1＝11，∴n ＋1＝121，n ＝120. [答案] 120
7．(2015·聊城调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1
－2.
[答案] 2n ＋1－2
8．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________．
[解析] 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ， 知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0， 所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1， 数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .
所以S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝50＋（100＋2）×502＝2 600. [答案] 2 600 三、解答题
9．(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意
n ∈N *
，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＝
0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *
，f ′(π
2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，
即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，可得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1
＝2n ＋1
2n ＋2知，
S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋12⎣⎢⎡
⎦⎥
⎤1－（12）n 1－1
2＝n 2
＋3n ＋1－12n .
10．(2015·淄博调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋1
2n ＝λ(λ为常数)，令c n
＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .
[解] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得
⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.
因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知T n ＝λ－n
2
n －1，
所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n
2n －1＋n －12n －2＝n －2
2
n －1.
故c n ＝b 2n ＝2n －22
2n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1
，n ∈N *.
所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1
，
则1
4R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －
1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n
.
两式相减得
3
4R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪
⎫14n 1－14
－(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n
＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n ，
整理得R n ＝19⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4－3n ＋14n －1.
所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛
⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.
[B 级 能力提升练]
1．已知函数f(x)＝x a 的图象过点(4，2)，令a n ＝1
f （n ＋1）＋f （n ），
n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015＝( )
A. 2 015－1
B. 2 016－1
C. 2 015－1
D. 2 016＋1
[解析] 由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝1
2， 则f (x )＝x 1
2.
∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1
n ＋1＋n
＝n ＋1－n ，
S 2 015＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 015＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 016－ 2 015)＝ 2 016－1.
[答案] B
2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 015＝________．
[解析] 因为a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，
所以a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，a 6＝－2，
从而该数列是周期为4的数列，且S 4＝－2， 所以S 2 015＝503×(－2)＋a 1＋a 2＋a 3＝－1 008. [答案] －1 008
3．(2014·山东高考)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，
求T n .
[解] (1)由题意知(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）
2
＝n(n ＋1)， 所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n
2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）
2， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )
＝（n －1）（n ＋1）2－n(n ＋1)＝－（n ＋1）22
.
所以T n ＝⎩
⎨⎧
－（n ＋1）22
，n 为奇数，n （n ＋2）
2
，n 为偶数.。