江苏省东台市创新学校2018-2019学年高二4月检测数学(理)试题(含答案)

东台创新高级中学2018-2019学年度第二学期
2017级数学4月份检测试卷（理科）
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题纸的指定位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{2 3}A =，，{1 1}B a =-，，若{2}A B =I ，则实数a 的值为 ． 2．已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ． 3.设实数，x y 满足0121≥，
≤，
≥，x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
则32x y +的最大值为 4.工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ．
5．函数1()28x f x -=-的定义域为 ． 6.根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1
2
时，则输入的x 的值为
7.已知函数()2
23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 ．
8.函数ln y x x =-的单调增区间是
187
2212
（第4题）
Read x If 0≤x Then 12
+←x y Else 2
1
-←
x y End If Print y
（第6题）
9.已9.已知函数a
x x
x f +=
)(，若函数1)2(-+=x f y 为奇函数，则实数=a . 10.已知双曲线，则点
到双曲线的渐近线的距离为_______.
11.设命题
；命题
，那么是的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、“既不充分也不必要”）．
12. 在中，角所对的边分别为
，若
，则_______.
13.已知函数
与函数
的图象交于
三点，则
的面积为________.
14.已知实数0>a ，若曲线21
()ln (2)+12
f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则a 的最小值为 ．
二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15.（本题14分）
已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *
)，且a 1＝3.
(1)计算a 2，a 3，a 4的值，
(2)由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (3) 求证：当n ≥2时，a n
n ≥4n n
.
16. （本题14分）
设点()x y ，在矩阵M 对应变换作用下得到点(23)x y ，． （1）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；
（2）若曲线C 在矩阵1-M 对应变换作用下得到曲线221C x y '+=：
，求曲线C 的 方程．
17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.
D 是线段BC 的中点.
（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.
18.（本题16分）
某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分16分）
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
（第17题）
已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆经过点。

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，
直线与轴交于点，求四边形的面积。

20.（本小题满分16分）
已知函数()e (1)x
f x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．
（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）已知0a >，b ∈R ，若()≥f x b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．
高二数学4月份月考答案(理科)
一、填空题
1. -1 ．
2. 5
3. 3 4． 225
5. ),4[+∞
6. 4 7．
2
1
8. ___),1(+∞_____． 9. -2 10. 11. 充分不必要 12.
13. 14． 9
二、解答题
15．：(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *
)． ①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立； 5
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2
－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，
即当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *
)． 10
(2)证明 原不等式等价于⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋2n n
≥4.
显然，当n ＝2时，等号成立．
当n >2时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n
＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n
＋C 2n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n 2
＝5－2n
>4.
综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n
.
16.（1）2003⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，det()6=M ，所以1
3
100621200
36-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦M ． （2）设曲线C 上任意一点()x y ，在矩阵1-M 对应变换作用下得到点()x y ''，
， 则1
02103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎣⎦，所以1213x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩
，． 又点()x y ''，在曲线C '上，所以2
2
()()1x y ''+=，即22149y x +=．
所以曲线C 的方程为22149
y x +=．
17,解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线
为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．
因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-u u u u r u u u u r
，设平面11
A C D 的法向量1111(,,)n x y z =u u r ， 则1111100
n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r
，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取1113
01x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =u u r ，而1(1,2,3)DB =-u u u u r
，
所以111111
335
cos ,n DB n DB n DB ⋅<>=⋅u u r u u u u r
u u r u u u u r u u r u u u u r 所以直线1DB 与平面11A C D 335
…… 7分 （2）11(2,0,0)A B =u u u u r ，1(1,2,3)DB =-u u u u r
，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ，
则2112100
n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222
032x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，平面11
B A D 的法向量2(0,3,2)n =u u r ， 所以121212
130
cos ,n n n n n n ⋅<>==
⋅u u r u u r
u u r u u r u u r u u r ， 二面角111B A D C --130
． …… 14分 18.解：（1）由已知有1123432
101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13
．…5分
（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． …
2223342104
(0)15C C C P X C ++===；1111
33342
10
7(1)15C C C C P X C +===； 11
34210
4(2)15C C
P X C === ． …10分
所以随机变量X 的分布列为
X 0 1 2
P 4
15
7
15
4
15
分
数学期望()1
E X ．………16分
19.【答案】（1）；（2）。

【解析】
【分析】
（1）利用椭圆定义可得a值，结合c值即可得出；
（2）设，由三点共线可得，同理得，进而
，结合点在椭圆上可得结果.
【详解】(1)因为椭圆焦点坐标为，且过点，
所以，所以，
从而，
故椭圆的方程为。

6
(2)设点，，，
因为，且三点共线，所以，解得，
所以，
同理得，
因此
，
，
因为点在椭圆上，所以，即，
代入上式得：。

16
20 解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．
若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，
当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，
所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． 6 （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．
因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤．
设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，
令()0t a '=，得1
2e a -=，
当1
20e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在(
)12
0e
-，上单调递增；
当12
e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在(
)
1
2e -∞，+上单调递减，
所以()t a 在1
2
e a -=处取最大值，且最大值为12e
．
所以2
1ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，1
21e 2b -=时，ab 取得最大值为12e
． 10 （3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．
① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤， 1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02
a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；
若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2
a <-时，(0)10F a =->，
又存在010e 2a x a
-=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点． 16。