广东省肇庆市实验中学高中数学二：4.1.2圆的一般方程“三四五”高效课堂教学设计

所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 100
【点评】求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法
来求解。利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待
定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质,
这是解题的捷径.
对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半
径等）时，常可用配方法或公式法加以求解。
学必求其心得，业必贵于专精
【思路分析】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程， 而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐 标，不妨试着先写出圆的一般方程, 并求出圆的圆心与半 径. 【解法 1】设所求的圆的方程为 , x2 y2 Dx Ey F 0
1144 D 12E F 0,
C. D2 E2 4F 0
D。 D R, E R, F R
4. 方程 Ax2 By2 Dx Ey F 0 表示圆的条件是(
）
A. A B 0
B。 D2 E2 4F 0
C。 且 A B 2 E2 4F 0
5. 已知圆过 O(0,0), A(1,0), B(0,1) 三点，则圆的方程是（ ）
A. B。 x2 y2 x y 0
x2 y2 x y 0
C. x2 y2 x y 0
D. x2 y2 x y 0
6. 求下列各圆的圆心坐标和半径：
学必求其心得，业必贵于专精
(1)x2+y2－6x=0 的圆心为
学必求其心得，业必贵于专精
☆自主探究 2 求经过三点 A(1,1), B(1,4),C(4,2) 的圆的方程.
三、总结提升 1、本节课你主要学习了
四、问题过关
1. 圆 x2 y2 的圆心 2x 4y 6 0 C 和半径 r 分别为（ )
A． C(1,2), r 11
B. C(1,2),r 11
得 (x 1)2 (y 2)2 8 ,所以原方程表示圆心为 (1, 2) 半径长为 r 2 2 的
圆的方程.
（2） 由 ，得 ，所以原方程表示 x2 y2 4x 8y 20 0
(x 2)2 ( y 4)2 0
一个点 (2,4) 。
(3）
由 ，得 ，所以原方程不表示 x2 y2 6x 2y 12 0
学生
活动
设计
一、先学后讲
1。圆的方程的一般式:
，其中( ）为 x2 y2 Dx Ey F 0
D, E
，
22
为 1 D2 E2 4F
2
,其中 D、E、F 满足 D2 E2 4F 0。
二、合作探究
1. 判断方程表示的图形
例 1 判断下列方程表示的图形
（1) ； (2) ； x2 y2 2x 4y 3 0
半径长等于
（2)x2+y2+2by=0 的圆心为
半径长等于
7。方程 x2+y2－2ax－ 2 3a y+3a2=0 表示圆,则圆心坐标为
半径长等于
8。 圆 x2 y2 2x 1 0 的直径的长等于 9。求过三点 A（2，2）、B(5,3)、C(3，－1)的圆的方程.
因材施教：
教学后记：
学必求其心得，业必贵于专精
“三四五”高效课堂教学设计:
（授课日期：
年月
日 星期
班
级
）
拟
课
授课题 目
第 38 课 圆的一般方程
时
第
课
时
明 确 目 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索
标
并掌握圆的标准方程与一般方程。
重 点 难 重点：
点
难点：
课型 □ 讲 授
□习题
□复习
□讨论
□其它
教学内容与教师活动设计
x2 y2 4x 8y 20 0
学必求其心得，业必贵于专精
(3） . x2 y2 6x 2y 12 0
【思路分析】先将二元二次方程配方成 (x D)2 (y E)2 D2 E2 4F
2
2
4
形式,再根据 D2 E2 4F 的符号进行判断.
【解析】(1) 由 x2 y2 2x 4y 3 0
依题意有 49 100 7D 10E F 0, 解得 D=－2,E=－4，F=－95。
81 4 9D 2E F 0.
于 是 所 求 圆 的 方 程 为 x2 y2 2x 4y 95 0 . 将 上 述 方 程 配 方 得
。 (x 1)2 (y 2)2 100 于是,圆的圆心 D 的坐标为 （1，2）,半径
C. C(1, 2), r 11
D。 C(1,2), r 11
2。 圆 x2+y2+2x－2y=0 的面积为( ）
A. 2 π B.2π C. 2 2 π
D.4π
3。 方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件是(
)
A. D2 E2 4F 0
B. D2 E2 4F 0
为 10，
【解法 2】设圆心坐标 D(x,y)，根据圆的定义，可得｜DA｜
=｜DB｜=|DC｜。
即 (x 1)2 ( y 12)2 (x 7)2 ( y 10)2 (x 9)2 ( y 2)2
解得 ,所以 , x 1, y 2
D(1, 2) | DA | 10
于是,圆的圆心 D 的坐标为（1，2),半径为 10。
(x 3)2 ( y 1)2 2
任何图形.
【点评】圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标 准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方 程突出了方程形式上的特点：（1）x2 和 y2 的系数相同，且 不等于 0； （2)没有 xy 这样的二次项.
☆自主探究 1 下列方程各表示什么图形？ （1)x2+y2=0; （2)x2+y2－2x+4y－6=0; （3)x2+y2+2ax－b2=0( ab 0). 2. 用待定系数法求圆的方程 例 2 求过三点 A（1，12）,B(7,10）,C(－9,2)的圆的方程。